Reacciones de segundo orden

Digamos que tenemos una reacción hipotética  donde el reactante A se transforma en productos,   y también digamos que es una reacción  de segundo orden con respecto a A,   entonces podemos escribir que la velocidad de la  reacción es igual a la constante de velocidad k   por la concentración de A elevada a la segunda  potencia, ya que ésta es una reacción de segundo   orden. También podemos escribir la velocidad de  la reacción como el negativo de la diferencia   en la concentración de A entre la diferencia en  el tiempo: al igualar estas dos expresiones y   después de hacer algunas operaciones, incluyendo  el concepto de integración, llegaremos a la ley   de velocidad integrada para una reacción de  segundo orden, que nos dice que 1 entre la   concentración de A en un tiempo t es igual a  la constante de velocidad k por t más 1 entre   la concentración inicial de A. Observa que la ley  de velocidad integrada tiene la forma y = mx + b,   que es la ecuación de una recta. Si queremos  graficar, pondremos 1/[A] en el eje y y el   tiempo en el eje x, así que vamos a etiquetar los  ejes: en el eje y, 1/[A] y en el eje x el tiempo,   y obtendremos una recta cuya pendiente será igual  a la constante de velocidad k, vamos a escribirlo:   la pendiente de esta recta es igual k, y la  intersección con el eje y = 1 / [A]₀, es decir,   el punto donde se interseca la recta con el eje  y = 1 / [A]₀. Veamos un ejemplo de una reacción   de segundo orden: C₅H₆ es ciclopentadieno,  2 moléculas de ciclopentadieno reaccionarán   entre sí formando diciclopentadieno. Nuestro  objetivo es usar los datos de esta tabla para   demostrar que esta es una reacción de segundo  orden. Ahora bien, debemos tener cuidado, ya que   en esta ecuación balanceada tenemos un 2 como el  coeficiente del ciclopentandieno. Si regresamos a   nuestra reacción hipotética donde el reactante  A se transforma en productos, podemos ver que   tenemos un 1 como coeficiente de A, y si tenemos  1 como coeficiente de A podemos usar esta forma   de la ley de velocidad integrada para la reacción  de segundo orden. Sin embargo, en nuestro ejemplo   tenemos un 2 como coeficiente del ciclopentadieno,  lo que significa que necesitaremos un coeficiente   estequimétrico de ½ por aquí, y esto cambia  los cálculos. Ahora, cuando igualamos estas   dos velocidades de la reacción e integramos  para obtener la ley de velocidad integrada,   dado que tenemos este ½ por aquí, entonces  terminaremos con un 2 como coeficiente de k. Y,   por lo tanto, si pensamos esto como y = mx + b,  ahora la pendiente de la recta es igual a 2k. Por   lo tanto, en nuestra reacción podemos escribir la  ley de velocidad integrada de la siguiente manera:   1, entre la concentración del ciclopentadieno en  un cierto tiempo t, es igual a 2kt + 1 sobre la   concentración inicial del ciclopendatieno.  Si observamos los datos en nuestra tabla,   tenemos el tiempo en segundos y por acá tenemos  la concentración del ciclopentadieno. Sin embargo,   necesitamos otra columna que nos proporcione  la información de 1 entre la concentración   del ciclopentadieno. Entonces aquí escribiremos  1 entre la concentración del ciclopentadieno,   y si la concentración del ciclopentadieno  cuando t = 0 segundos es de 0.0400 molar,   si dividimos 1/ 0.0400 obtendremos 25.0.  Para ahorrar tiempo completé esta última   columna. Observa que conforme el tiempo crece,  es decir, mientras pasamos de 0 segundos a 50   segundos después a 100, a 150 y a 200 segundos,  la concentración del ciclopentadieno decrece,   ya que elciclopentadieno se va transformando  en diciclopentadieno. Entonces es momento de   graficar nuestros datos. Pondremos 1 entre la  concentración del ciclopentadieno en el eje y,   y el tiempo en el eje x, y en nuestro primer  punto cuando t = 0, 1 entre la concentración del   ciclopentadieno es 25.0. Así que por acá podemos  ver nuestra gráfica, podemos ver que cuando t = 0,   1 entre la concentración del ciclopentadieno es  25.0 y al graficar los otros puntos obtenemos una   recta. Ahora busquemos la pendiente de esta recta,  y para eso hay varias formas de obtenerla. Una de   ellas es usar una calculadora gráfica, en la cual  metemos los datos de la tabla y encontramos que   la pendiente de la recta será igual a 0.1634. Si  pensamos esto como y = mx + b nuestra pendiente   es igual a 2k, por lo tanto, si queremos encontrar  la constante de velocidad k, tenemos que dividir   esta pendiente entre 2, lo que nos da 0.0817.  Para encontrar las unidades de k tenemos que   recordar que la pendiente es igual al cambio en  y entre el cambio en x. En nuestro eje y tenemos   como unidades 1/molar y en el eje x las unidades  son los segundos, por lo tanto, podemos escribir   que la constante de velocidad k = 0.0817, cuyas  unidades son 1/molar dividido entre segundos,   que es lo mismo que 1/molar por segundos. Es  importante mencionar que la mayoría de los   libros de texto no hablan de cómo cambia la ley  de velocidad integrada cuando tenemos un 2 como   coeficiente, la mayoría de los libros de texto  simplemente dirán que la pendiente de la recta   para la ley de velocidad integrada de segundo  orden es igual a k, por lo que la mayoría de los   libros dirán que en este ejemplo la respuesta que  buscamos para la constante de velocidad es 0.163,   es decir, dirán que k = 0.163 y como unidades  1/molar por segundo. Sin embargo, dado que el   coeficiente del ciclopentadieno es 2 entonces ésta  es la constante de velocidad correcta. Finalmente,   como obtenemos una recta al graficar 1 entre  la concentración del ciclopentadieno en función   del tiempo, entonces podemos concluir que esta  reacción tiene una cinética de segundo orden.