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Reacción de segundo orden (con cálculo)

La derivación de la ley de velocidad integrada para reacciones de segundo orden usando cálculo. Cómo podemos graficar los datos de la velocidad de reacción de segundo orden para ver una relación lineal.

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Transcripción del video

digamos que tenemos una reacción del segundo orden en a entonces se convierte en nuestros productos y por aquí tenemos el tiempo cero la concentración inicial de a y después de un tiempo t tenemos la concentración de a al tiempo t ahora si queremos expresar la velocidad de esta reacción podemos por ejemplo tomar la velocidad promedio que es igual como estamos tomando el reactivo tenemos que poner un signo menos por aquí y en el numerador ponemos el cambio en la concentración de a y en el denominador ponemos el cambio en el tiempo ya hemos hecho esto en unos vídeos anteriores ahora esta no es la única forma que tenemos de expresar la velocidad de esta reacción también podemos escribir la velocidad instantánea utilizando la ley de velocidad de esta reacción que la velocidad instantánea de la reacción es igual a la constante de velocidad de esta reacción por la concentración de nuestro reactivo y como dijimos que es una reacción de segundo orden en a entonces tenemos que elevar la concentración de a al cuadrado ok y aquí lo que nos gustaría hacer es igualar estas dos expresiones pero aquí hay un pequeño problema porque esta es la velocidad promedio a lo largo de todo este intervalo sin embargo aquí podemos utilizar cálculo que bueno si estás viendo este vídeo espero que se pasó un poco de cálculo pero bueno si tomáramos intervalos en el tiempo cada vez más pequeños esto de aquí es igual a menos la derivada de la concentración de a con respecto al tiempo y ahora sí ya es la velocidad instantánea de la reacción en un tiempo dado y entonces lo podemos igualar a esta parte de aquí aquí o sea es igual a por la concentración de a al cuadrado y listo aunque ya tenemos nuestra ecuación diferencial y nada más la vamos a modificar un poco para poder encontrar una ecuación que describa cómo se modifica la concentración de a a lo largo del tiempo con ok vamos a resolver esta ecuación diferencial y como resultado vamos a obtener una función que describe la concentración de a a lo largo del tiempo y bueno cuando queremos resolver ecuaciones diferenciales generalmente queremos todas las expresiones de un tipo de un lado del igual y las otras del otro vamos a necesitar más espacio pasamos la concentración de al cuadrado dividiendo de este lado y la verdad es que queremos poner el diferencial de t del lado derecho no podemos decir que multiplicamos por el diferencial de t pero pues esta ecuación si es equivalente a la que voy a poner a continuación menos de la concentración de a entre la concentración de a al cuadrado es igual acá de t y ahora sí ya estamos listos para integrar pero para que sea más fácil vamos a volver a escribir esta parte como estamos dividiendo entre la concentración de a al cuadrado esto es igual a tomar la concentración de a y elevarla a la menos 2 y luego tenemos t igual acá dt entonces pues vamos a integrar como que a es una constante sale de la integral y vamos a regresar arriba para ver cuáles son nuestros límites de integración aunque supongo que yo te los imaginas ahora aquí tenemos que cuando el tiempo es igual a cero la concentración del ente es la concentración inicial y cuando ponemos el tiempo igual a una t pues tenemos la concentración de a al tiempo te que hay entonces regresamos y vamos a integrar desde cero hasta t con respecto al tiempo en esta integral y por aquí que estamos integrando con respecto a las concentraciones de a vamos a integrar desde la concentración inicial de a hasta la concentración de a al tiempo t y ahora pues vamos a resolver esta integral aquí realmente lo que tenemos es x a la menos 2 con respecto de x si tomamos a x como la concentración de a y la integral de x a la menos 2 con respecto de x es x a la menos 1 entre menos 1 cierto entonces esta integral es la concentración de a a la menos 1 entre menos uno y por supuesto no se nos puede olvidar este signo menos y la estamos evaluando desde la concentración inicial de a hasta la concentración de al tiempo t ahora esta expresión de aquí se puede simplificar muchísimo por ejemplo podemos cancelar este signo menos con este menos 1 y la concentración de a elevada a la menos 1 es uno entre la concentración de a estamos evaluando desde la concentración inicial d hasta la concentración de a tiempo te aunque todo esto es simplemente esta integral de aquí y bueno es igual ahora por aquí tenemos una acá y esta integral pues es simplemente una t y la estamos evaluando desde cero hasta t desde cero hasta t bueno entonces nada más tenemos que evaluar esta expresión en estos extremos y restar los o sea que tenemos uno entre la concentración de agente concentración de entre menos 1 entre la concentración inicial de a que uno entre la concentración inicial de a y tenemos que esto es igual a la constante de velocidad de la reacción por esta expresión evaluada en estos extremos o sea de menos 0 pero pues eso es simplemente t entonces aquí tenemos la ley de velocidad integrada para reacciones de segundo orden ley de velocidad integrada que bueno algunas personas también les llaman ecuación de velocidad integrada y realmente no importa como le llame siempre y cuando sepas a qué nos referimos pero bueno esta ecuación es súper útil cómo vamos a ver a continuación y la mayoría de las veces la vemos un poquito reordenada 1 entre la concentración de al tiempo t es igual a la constante de velocidad de la reacción por el tiempo más 1 entre la concentración inicial de a y otra vez necesitamos más espacio y aquí si lo observa puedes ver que tenemos otra vez una ecuación de una línea recta que hay porque esto es una constante esta es otra constante entonces tenemos constante por la variable más otra constante esa es una recta de la forma y igual a m x master entonces si por ejemplo gráficas el tiempo en el eje de las equis y luego gráficas 1 entre la concentración de al tiempo t en el eje de láseres pero observa que tiene que ser 1 entre la concentración de al tiempo t en el eje de leyes entonces si se trata de una reacción de segundo orden lo que tiene que quedar es una línea recta donde además la pendiente de esa línea recta es la constante de velocidad de esa reacción y además la ordenada al origen de esa recta es uno entre la concentración inicial de a que llegamos un pequeño dibujo por aquí digamos que tenemos aquí el eje x y el eje y entonces en esta gráfica en el eje de las x vamos a poner al tiempo en el eje de la siesta vamos a poner uno entre la concentración de a al tiempo que hay uno entre la concentración de a al tiempo t entonces si tenemos una reacción de segundo orden la gráfica tiene que ser una línea recta y la pendiente de esta recta diente es igual a la constante de velocidad de la reacción como estábamos viendo por aquí y la ordenada al origen este punto de aquí esta altura como también estábamos viendo por aquí la ordenada al origen es uno entre la concentración inicial de a ok esta altura de aquí es uno entre la concentración inicial de a ok entonces esta es la idea detrás de la ley de la velocidad integrada o ecuación de la velocidad integrada como prefiera llamarle pero de reacción es de segundo orden