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Reacción de orden cero (con cálculo)

La derivación de la ley de velocidad integrada para reacciones de orden cero usando cálculo. Cómo podemos graficar los datos de la velocidad de una reacción de orden cero para ver una relación lineal.

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Transcripción del video

digamos que tenemos una reacción de orden cero en la que el reactivo y se transforma en los productos y cuando el tiempo es igual a cero estamos empezando con esta concentración inicial de a y después de un tiempo t tenemos una concentración de a gente menor y ahora si queremos expresar la velocidad de la reacción tenemos dos formas una de ellas es tomar la velocidad promedio velocidad promedio que es igual a menos el incremento en la concentración de a entre el incremento en el tiempo ok esta es la velocidad promedio en este intervalo de tiempo pero por otro lado también podemos escribir por aquí la velocidad instantánea de esta reacción utilizando la ley de la velocidad la velocidad instantánea de esta reacción es igual a la constante de velocidad de la reacción por la concentración de a y como es una reacción de orden cero entonces esta concentración va elevada a la cero pero cualquier número elevado a la cero es simplemente un 1 entonces esto se reduce a que la velocidad instantánea de la reacción es igual a la constante de velocidad porque la velocidad de una reacción de orden cero es una constante es independiente de la concentración de a y por otro lado de la velocidad promedio podemos sacar la velocidad instantánea utilizando las derivadas y aquí podemos obtener que la velocidad instantánea es igual a menos la derivada de la concentración de a con respecto al tiempo y como aquí tenemos dos velocidades instantáneas podemos igualar estos dos entonces tenemos que menos la derivada de la concentración de a con respecto al tiempo es igual a la constante de velocidad de la reacción aunque y también lo podemos escribir como que la velocidad de cambio de la concentración de a es igual a menos la constante de velocidad por la velocidad de cambio en el tiempo y entonces ya estamos listos para integrar hoy vamos a integrar esto de aquí y por acá como acá es una constante la podemos de una vez sacar de la integral ok y tenemos que regresar arriba para encontrar los límites de integración como podemos ver aquí queremos integrar desde que el tiempo es igual a cero hasta que el tiempo es igual a t y en términos de la concentración de a esto es igual a integrar desde la concentración inicial de a hasta la concentración de a al tiempo que entonces regresamos otra vez estamos integrando el tiempo desde cero hasta t y estamos integrando con respecto a la concentración de a desde la concentración inicial de a hasta la concentración de a al tiempo t y estas integrales están súper sencillas porque la integral de 1 con respecto a la concentración de a es simplemente la concentración de a y nada más la tenemos que evaluar desde la concentración inicial de a hasta la concentración de a al tiempo t es igual a igual a menos que por la integral de 0 a t con respecto a 3 o sea te evaluado desde cero hasta entonces evaluamos esta cosa de aquí y nos queda la concentración de gente menos la concentración inicial de a y eso igual a menos que por de menos 0 o sea simplemente t y esto de aquí ya es una forma de la ley de la velocidad integrada para reacciones de orden cero pero por supuesto lo podemos modificar un poco podemos pasar la concentración inicial de a del lado derecho y lo que nos queda entonces es que la concentración de a al tiempo t es igual a menos que te más la concentración inicial de a y esta es otra forma de escribir la ley de la velocidad integrada para reacciones de orden cero y como podemos ver esto está escrito en la forma de una recta que era la forma de igual a m x más bien y entonces si hacemos una gráfica en la que pongamos en el eje x al tiempo que vamos a poner al tiempo en el eje x y en el eje y ponemos a la concentración de al tiempo t entonces estamos graficando la concentración de al tiempo t con respecto al tiempo lo que vamos a obtener es una línea recta cuya pendiente es menos la constante de velocidad de la reacción y la ordenada al origen de esa recta es la concentración inicial de a así es si colocamos por aquí un par de ejes y ponemos en el eje de las x el tiempo y en el eje de la siesta la concentración del reactivo al tiempo te lo que vamos a obtener es una línea recta ok y además este punto de aquí la ordenada al origen es justo la concentración inicial de a y la pendiente de esta recta un diente está pendiente de aquí es igual a menos la constante de velocidad de la reacción es igual a menos y eso es lo que deducimos de la ley de la velocidad integrada para reacciones de orden cero y bueno aquí hay que escribir que este es la concentración inicial de a como lo tenemos aquí bueno ahora vamos a pensar acerca de la vida media y recuerda que la vida media es el tiempo necesario para que la concentración de un reactivo se disminuya a la mitad de la concentración inicial entonces si tenemos la vida media que se representa por t un medio y la queremos sustituir en la ecuación aquí en el tiempo en ese momento cuando el tiempo es igual a la vida media la concentración de a en ese tiempo entre un medio es igual a la mitad de la concentración inicial aunque tenemos la concentración inicial dividida a la mitad así es que si vamos a sustituir en esta ecuación el tiempo por la vida media tenemos que sustituir la en tracción de y al tiempo de la vida media por la concentración inicial sobre dos entonces pues reescribamos lo que tenemos por aquí tenemos la concentración inicial de a sobre dos es igual a menos que por la vida media vida media más la concentración inicial de a concentración inicial de a y pues queremos encontrar la vida media y entonces vamos a despejar la del lado izquierdo tenemos un medio de la concentración inicial y del lado derecho tenemos uno por la concentración inicial que si la pasáramos del otro lado quedaría con un medio menos uno por la concentración de a entonces por aquí tenemos un medio de la concentración de a menos 1 por la concentración de a y esto junto es menos un medio de la concentración inicial de a y por aquí lo que nos queda es que sí a menos que por la vida media dividimos entre menos k menos por menos se cancela y lo que nos queda es que la vida media es igual a la concentración inicial de a entre 2 por k y listo esta es la vida media de una reacción de orden 0 y observa que para estas reacciones de orden 0 si aumentamos la concentración inicial entonces aumenta la vida mediante ok porque la vida media es directamente proporcional a la concentración inicial y bueno para que quede más claro cómo funciona la vida media en reacciones de orden cero vamos a ver un ejemplo tenemos aquí la descomposición de amoniaco en nitrógeno e hidrógeno y esta reacción sucede sobre la superficie de un catalizador metálico entonces digamos que estamos utilizando platino a este ejemplo de aquí le vamos a llamar la situación 1 y digamos que esta es nuestra superficie de platino y como nuestra reacción sucede sobre la superficie de nuestro catalizador metálico entonces las moléculas de amoniaco tienen que estar en contacto directo sobre la superficie de platino entonces dibujemos algunas moléculas de amoniaco por aquí en contacto directo con la superficie del platino y recordemos que se trata de una reacción de orden cero y entonces la velocidad de la reacción es igual a la constante de velocidad por la concentración de amoniaco elevado a la potencia cero pero cualquier número elevado a la cero es un 1 y entonces podemos observar que la velocidad de la reacción no depende de la concentración de amoniaco y de hecho este dibujo de aquí nos ayuda a entender por qué porque si tuviéramos muchas más moléculas de amoniaco no vamos a modificar la velocidad de la reacción porque solo reaccionen estas moléculas de amoniaco que están en la superficie del platino porque la velocidad de la reacción no cambia porque solo estas moléculas de aquí que están en contacto con la superficie de platino son las que pueden reaccionar así es que aumentamos la concentración de amoniaco pero no cambiamos la velocidad de la reacción porque ésta está en limitada por el tamaño de la superficie de platino bueno esa fue la situación 1 ahora vamos con la situación 2 tenemos por aquí nuestra placa de platino y también tenemos muchas moléculas de amoniaco que hay algunas están sobre la superficie de platino pero hay muchas otras flotando encima sin tener contacto con el catalizador metálico porque hay muchísimas moléculas de amoniaco ok hemos incrementado muchísimo la concentración de amoniaco y por lo tanto como tenemos por aquí con la vida media si incrementamos la concentración del reactivo que en este caso es amoniaco lo que obtenemos es que la vida media también incrementa si aumentamos la concentración de a la vida media también aumenta y eso tiene todo el sentido del mundo porque la velocidad de nuestra reacción es constante no creeis entonces entre más moléculas tienes más te vas a tardar en que la mitad de ellas reaccione si la velocidad es constante porque aquí tenemos y sin más moléculas que no están en contacto con el catalizador metálico cada momento solo cierta cantidad de moléculas pueden reaccionar y por lo tanto entre más moléculas tengas más se va a tardar en que la mitad de ellas reaccionen porque estamos limitados por una superficie de catalizador metálico y eso es lo que quería ver en el escenario 2 que si aumentamos la concentración inicial aumenta la vida media