Una bola que golpea una varilla: ejemplo de momento angular

saludos en esta ocasión les voy a mostrar algo muy extraño que la primera vez que lo vi me molestó un poco así que quizás ustedes tengan una reacción similar y espero que lo superen al terminar este vídeo esta cosa loca es que digamos que tenemos esta pelota que rebota y si va en línea recta puede tener un momento angular lo digo de nuevo una pelota que viaja en línea recta puede tener momento angular y la primera vez que vi esto dije que como es posible no hay manera de que esta pelota tenga momento angular se está moviendo en línea recta ni siquiera está rotando acaso las cosas no deben de tener cierta rotación para tener momento angular y resulta que no pero la respuesta apropiada es un poco extraña y antes de explicarles el porqué vamos a ver esto podría ser que esto no tenga un momento angular y antes de que se confunda mucho permítanme explicarles que la respuesta apropiada a alguien que pregunta esta pelota tiene momento angular la respuesta es un momento angular sobre que el eje debemos que especificar el eje el eje es el punto sobre el cual vamos a considerar la rotación y si pregunto quién es esta pelota momento angular si la pelota se mueve en línea recta tendrá un momento angular en relación con este eje esa es una pregunta apropiada pero si preguntamos esta pelota tiene momento angular sin especificar el eje pues esta pregunta no tendrá sentido así que vamos a analizarlo porque tendría un momento angular esta pelota sin importar cualquier eje esta es la parte que confunde no está rotando como es posible que si se está moviendo en línea recta tenga un momento angular sabemos que tiene momento regular ya que se está moviendo por lo que tiene masa y velocidad entonces tiene momento pero no está rotando como es posible que tenga un momento angular 1er vamos a explicar conceptualmente porque esto tiene sentido imaginemos que tenemos esta barra que estamos observando por arriba esta barra está sujeta a un eje y puede rotar e imaginemos que todo esto está encima de una mesa y lo estamos observando todo desde arriba imaginamos que lanzamos esta pelota que se está moviendo en una línea recta golpea al borde de esta barra y qué es lo que va a hacer esta barra pues ya sabemos que va a ser va a rotar sobre su eje y la pregunta es esta barra inicialmente no tenía momento angular ya que se encontraba aquí en reposo y después tuvo un momento angular cuando fue golpeada por la pelota ya que los objetos que rotan el círculo tiene el momento angular de donde obtuvo esta barra su momento angular pues lo único con lo que interactúa esta barra fue esta pelota por lo que esta pelota al llegar debió de transferirle cierto momento angular ya que de otra forma como es posible que la barra comenzará a tener momento es decir si tenemos en mente la conservación del momento este momento angular tuvo que venir de alguna parte no salió así de la nada así que el único lugar de donde pudo obtener ese momento angular fue de la pelota ya que es la única otra cosa que tenemos en este problema por lo tanto la pelota tuvo que llegar con su propio momento angular aún cuando se encontraba viajando en línea recta lo cual es extraño pero es lo que sucede así es la física y también explica el por qué esto depende de donde se encuentre el eje si tomamos esta barra y la movemos hasta acá de manera que el eje se encuentre en este punto ahora imaginen que la pelota golpea a la barra en el eje si la golpea aquí no va a hacer que la barra rote ya que la va a golpear en el eje por lo que la ubicación del eje va a determinar el momento angular que un objeto tiene cuando está viajando en línea recta si la pelota golpea a la barra en el eje no le va a transferir momento angular pero si golpea a la barra lejos del eje entonces le puede transferir bastante cantidad de momento angular ya que la barra va a rotar mucho tendremos que se aplica una mayor cantidad de torque porque la fuerza se aplica en un lugar que está bastante alejado del eje y que sea ustedes no están tan impresionados con esto quizás esto les suene a pura brujería física cómo podemos calcular o definir esto exactamente como definimos el hecho de que esta bola tiene momento angular vamos a definir esto con exactitud digamos que esta pelota tiene una rapidez o velocidad de esta pelota tiene una masa m y la distancia del eje a la pelota vamos a dibujarla desde el eje hasta la bola y esto le vamos a llamar r minúscula y ahora sí podemos definir con precisión lo que significa el momento angular de una masa puntual el momento angular de una masa puntual que lo representamos con la letra l mayúscula hacer m la masa de la bola o la masa del objeto que tiene el momento angular m multiplicado por la rapidez de la bola que es ve y nos comienza a parecer bastante familiar ya que m por b es momento hasta aquí tendríamos el momento regular pero queremos el momento angular y esto lo tenemos multiplicando por r&r se define como la distancia desde el eje hasta donde se encuentra el objeto esta es la distancia r pero aún no hemos terminado nos falta un término más y es el seno del ángulo entre los vectores velocidad y r por lo que aquí ponemos el seno de este ángulo de acá entre los vectores velocidad y r y aquí esto podría parecer algo descuidado si hay personas que están poniendo atención me pueden decir que técnicamente este vector r va desde el eje hasta la masa por lo que técnicamente este no es el ángulo entre b y r tendríamos que m r comienza desde acá y entonces si calcular el ángulo entre estos dos sectores pero como estamos calculando el seno el seno de los ángulos suplementarios siempre va a ser el mismo así que si tenemos el seno de estos ángulos pues cualquiera que tomemos como son ángulos suplementarios nos va a dar el mismo resultado con el celo así que no hay ningún problema de que tomemos algunos de estos ángulos de aquí de cualquier manera obtendremos la respuesta correcta pero esto suena complicado es decir m por b por ere por seno de teta no quiere hacer todos estos cálculos y no tienen que hacer tantos cálculos hay un truco si consideramos lo que significa r por seno de teta visualmente que es lo que representa esto aquí esta es toda la cantidad r esto es theta e imaginamos que completamos un triángulo usando r y este ángulo que va de aquí y de aquí a acá así que tenemos este triángulo este ere por el seno de teta es este lado de acá este lado de aquí es el lado opuesto si esto nos confunde recuerden que el seno de teta es igual al lado opuesto entre la hipotenusa y el lado opuesto a este ángulo es r mayúscula y la hipotenusa es esta r minúscula y si multiplicó ambos lados por r minúscula voy a tener r por seno de teta y esta teta de aquí es este ángulo de acá y r por seno de teta es igual a esta r mayúscula de acá que es la distancia de la aproximación más cercana por lo que cuando esta pelota llega hasta este punto de acá viajando en esta dirección a una rapidez b estará a una distancia r del eje por lo que lo único que tenemos que hacer para encontrar el momento angular de un objeto que es una masa puntual aún cuando esta masa puntual viaje en línea recta es tomar la masa borde y si no quieren meterse con senos de ángulos pues esto lo vamos a multiplicar por r mayúscula que es la distancia de mayor acercamiento con el eje esto es lo que significa esta r mayúscula la distancia a la aproximación más cercana al eje y justamente es esta distancia entre este eje y el punto en donde la pelota va a estar más cercana al eje y esta r por seno de teta siempre va a ser igual a esto así que para facilitarnos la vida imaginen que cuando esta pelota se está acercando vemos cuál es el punto en donde ésta va a estar más cercano al eje que es este y luego vemos qué tan lejos está este punto del eje y así obtendremos esta r mayúscula y podremos multiplicar m por b por r que nos va a dar el momento angular de una masa puntual la cantidad total de momento angular que este objeto puede transferir a otro objeto es la cantidad de momento angular que la barra puede obtener al ser golpeada por la pelota veamos un ejemplo un ejemplo clásico de una pelota que golpea a una barra y a los profesores de física les encanta esto así que vamos a prepararnos para resolver esto digamos que tenemos una barra que es golpeada por una pelota la pelota viene por acá y va a golpear a la barra y vamos a poner algunas cantidades en este problema para que así podamos resolverlo la bola tiene una masa de 5 kilogramos tiene una velocidad de 8 metros por segundo golpea al extremo de la barra y la barra tiene una masa de 10 kilogramos y una longitud de 4 metros y vamos a suponer que esta barra tiene una densidad uniforme por lo que la masa en esta barra va a estar distribuida uniformemente en toda ella y va a rotar en el otro extremo así que cuando la bola golpea a la barra la barra va a comenzar a rotar alrededor de su eje vamos a suponer que cuando esta pelota golpea a la barra la pelota se para se detiene así que la pelota se para y la barra comienza a rotar de manera que va a tener todo el momento angular que tenía la pelota y esto nos va a facilitar los cálculos y más adelante veremos qué es lo que sucede cuando esto no ocurre tampoco es tan difícil pero digamos que en este ejemplo la pelota se para cuando golpea a la barra como resolvemos este problema pues vamos a tratar de usar la conservación del momento angular digamos que aunque aquí tenemos un eje que está ejerciendo una fuerza la fuerza que este eje va a ejercer en nuestro sistema va a ocasionar cero torque debido al valor de r el torque es igual a r por efe por seno de teta y en este caso la erre es cero ya que es la distancia del eje a la fuerza quiere decir que no va a haber torque ejercido por este eje y si no hay un torque ejercido externamente no va a haber un momento angular en el sistema así que este sistema de la barra y la pelota no va a tener un torque externo lo que quiere decir que el momento angular va a permanecer igual es un problema clásico de conservación del momento l inicial o el momento angular inicial tiene que ser igual al momento angular final así que para todo nuestro sistema cuál será el momento angular inicial pues está en esta masa y cuál es este momento angular inicial recuerden que esto es m por b por r mayúscula y r mayúscula es la distancia a la aproximación más cercana así que podemos usar esta distancia de los cuatro metros como r podemos considerar esto la hipotenusa r minúscula por el seno del ángulo pero es más difícil de hacer y no hay necesidad de hacerlo lo podemos encontrar como m br y esto es igual al momento angular final recuerden que esta pelota se detiene se para cuando golpea a la barra de manera que solamente la barra es la que tiene el momento angular después del impacto así que solo tenemos que preocuparnos por el momento angular de la barra y para encontrar el momento angular de un objeto rígido tendremos que usar y esto nos va a permitir encontrar cuál es la velocidad angular final de esta barra después de la colisión y es lo que queremos encontrar cuál es la velocidad angular final de la barra después de la colisión y lo podemos calcular tenemos la masa de la pelota conocemos la rapidez inicial de esta pelota y conocemos esta distancia r mayúscula la distancia a la aproximación más cercana que es de 4 metros cuál será el momento de inercia aquí vamos a hacer un poco de espacio para escribir le hacemos esto a un lado y escribimos el momento de inercia para una barra o un objeto extendido de material rígido y que está rotando en uno de sus extremos es de un tercio por m por l al cuadrado un tercio por la masa de la barra por la longitud de la barra al cuadrado y ésta eleva a sido igual a esta r de acá son la misma longitud ya que el punto de la aproximación más cercana coincide con la longitud de la barra ya que la pelota la golpea en el extremo y esto lo multiplicamos por omega vamos a despejar a un mega vamos a poner esto por aquí abajo lado mega final de la barra va a ser igual a la masa de la bola por la rapidez inicial de esta bola multiplicada por la línea de mayor aproximación y lo voy a dividir entre un tercio de la masa de la barra por la longitud de la barra la cual vamos a llamar r ya que es la misma cantidad la longitud de la barra al cuadrado canceló una de estas erres y sustituyó los valores para obtener la cantidad que quiero la velocidad angular de esta barra va a ser igual a 5 kilogramos que es la masa de la pelota por 8 metros por segundo que es la rapidez inicial de esta pelota y lo dividimos entre un tercio de la masa de la barra que es de 10 kilogramos multiplicado por la longitud de la barra que es esta distancia de mayor aproximación 4 metros y si calculamos todo esto nos va a dar 3 radiales por segundo esta es la cantidad de velocidad angular o de rapidez angular que va a tener esta barra después de la colisión con la pelota y se haya transferido el momento angular de la pelota por completo a la barra dándole momento angular a la barra lo que va a ocasionar que ésta comience a rotar y lo va a ser a tres radiales por segundo y que haríamos diferentes y en lugar de que la pelota se detuviera está rebotar y rebota con una rapidez de dos metros por segundo bueno en este caso el momento angular final no sería solamente el momento angular de la barra tendremos que incluir el momento angular de la pelota pero aquí hay una parte curiosa si la pelota venía en esta dirección inicialmente lo que significa que tendría un momento angular en esta dirección inicialmente si la pelota regresa en sentido contrario ahora tendrá un momento angular en esta otra dirección por lo que deberemos tener un signo negativo aquí cuando incluyamos ese término en el lado derecho de ésta hay dos formas en las que podemos incluir lo podemos poner aquí uno más y ponemos la masa de la pelota multiplicada por este menos dos metros por segundo multiplicado por los mismos cuatro metros como la línea de la mayor aproximación o la aproximación más cercana podemos poner el menos aquí con el más acá o podemos poner el menos aquí y el más acá podemos hacerlo de cualquier manera pero este término de acá para el momento final de la pelota va a tener que tener este signo negativo que es diferente al signo que tenía el momento angular inicial de la pelota en resumen una pelota puede tener un momento angular aún cuando se esté moviendo en línea recta y podemos determinar el momento angular de esta pelota usando m por b por r por seno de teta donde la r minúscula es la distancia del eje al objeto al lugar donde se encuentra la pelota y teatre es el ángulo entre r pero si no quieren usar rs no detectan podemos usar m por b por r mayúscula donde la r mayúscula representa la distancia en donde la pelota va a estar más cercana al eje conforme la pelota viaja en línea recta