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Curso: Física avanzada 1 (AP Physics 1) > Unidad 5
Lección 1: Periodo de osciladores armónicos simplesPeriodo de un péndulo
Un péndulo se comporta como un oscilador armónico simple. Aprende acerca del período de un péndulo, cómo se puede ajustar y cómo se compara con una masa en un resorte. Creado por David SantoPietro.
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Transcripción del video
Un péndulo simple es una masa
que cuelga de una cuerda. Si jalas esta masa del péndulo y la sueltas, la
gravedad actuará como una fuerza restauradora y esta masa se balanceará hacia adelante
y hacia atrás una y otra vez. Y como este péndulo simple es un oscilador armónico simple,
su movimiento, su ángulo en función del tiempo, se puede describir con precisión
mediante una gráfica de seno o coseno. En otras palabras, si inicialmente jalas
esta masa hasta un ángulo de 15 grados, y la sueltas, obtendrías una
gráfica que se parece a esta. Ahora, cada oscilador armónico simple tiene
un periodo de movimiento característico. El periodo de movimiento es el tiempo que
necesita para recorrer un ciclo completo. Es decir, el tiempo que tarda
en oscilar desde aquí hasta acá, y de regreso, sería un periodo completo. Y en esta gráfica, lo escribí como 0.5 segundos, pero no todos los péndulos simples
tendrán un periodo de 0.5 segundos. El periodo de un péndulo simple
depende de las características de ese péndulo y del entorno en el que se encuentra. Y para obtener la fórmula
del periodo de un péndulo, necesitarás usar el cálculo. Así que voy a
escribirla y vamos a analizarla y después vamos a compararla con la fórmula del
periodo para una masa en un resorte. Para el periodo de un péndulo, va a ser igual a
2 pi por la raíz cuadrada del cociente entre la longitud del péndulo, L, —es decir la longitud
de esta cuerda de aquí, la longitud L— y g, que es la aceleración gravitacional del
planeta en el que está el péndulo. Ahora bien, si miras esta fórmula y has estado prestando atención en la clase de
Física, podrías decir: "Espera, ¡espera! Esto se ve muy similar a la fórmula
del periodo para una masa en un resorte". Así que, si tomas una masa en un
resorte y la desplazas 15 centímetros, obtendrías una gráfica similar y esta también
tendría un periodo de movimiento característico. Y si escribes el periodo para una
masa en un resorte, se ve justo así, su periodo es también 2 pi, así
que esta primera parte es idéntica. Y también la multiplicamos por la raíz cuadrada
de un cociente, pero en lugar de L sobre g, para la masa en un resorte es m, la
masa del bloque conectado al resorte, dividida entre k, que es la constante del resorte. Por lo que, una similitud obvia
entre estas dos fórmulas es su formato. Ambas son 2 pi por la
raíz cuadrada de un cociente. Pero hay otra similitud importante
entre ellas, que podría no ser evidente, y es que ninguna de estas fórmulas
depende de la amplitud del movimiento. Es decir, el periodo de un péndulo no
depende de la amplitud del movimiento y el periodo de una masa en un resorte tampoco
depende de la amplitud del movimiento. Lo que quiero decir es que si jalamos este
péndulo hacia atrás, en lugar de 15 grados, 20 grados hacia atrás y lo soltamos, hará
un recorrido más largo. ¿Cierto? Entonces, su movimiento podría graficarse así, y
bajaremos un poco más y volveríamos a subir, pero… ¡llevará exactamente
la misma cantidad de tiempo! El periodo no cambiará si jalamos más lejos y
aumentamos la amplitud. Lo mismo ocurre con esta masa en un resorte. Si en lugar de jalarla
15 centímetros, la jalamos 20 centímetros, esta gráfica comenzará más arriba, como ocurrió
antes. Y también bajará más. Pero el tiempo que tarda en completar un ciclo completo
no va a cambiar al variar esta amplitud. Y esto puede parecer extraño. Tal vez
te preguntes: "Espera, ¿estos objetos no tienen que ir más lejos ahora que los
has hecho retroceder a una amplitud mayor?" Y es cierto, ambos tendrán que ir más
lejos, pero ahora irán más rápido. Y un movimiento más rápido
compensará una distancia mayor. La amplitud no afecta al periodo del
movimiento de un péndulo ni de una masa en un resorte. En cuanto a las diferencias,
bueno, el denominador aquí para la masa en un resorte depende de k, y esa es la constante
del resorte, k, lo cual tiene sentido. Si aumenta la constante del resorte, tienes
más fuerza restauradora. La fuerza del resorte es la fuerza restauradora. Al haber más
fuerza restauradora, esta masa se va a mover más rápido. Eso significa que va a tardar
menos tiempo en recorrer un periodo completo. Por lo tanto, dividir por un número más
grande, por una constante más grande, te da un periodo menor. Y eso también es
cierto por aquí, pero esta vez no tenemos a k. La fuerza restauradora para
un péndulo no es la de un resorte, sino la fuerza de gravedad.
Así que, mg depende de g. Y una g más grande te daría una
mayor fuerza restauradora para el péndulo. Eso significa que el
péndulo podría moverse más rápido. Moverse más rápido significa que tardará
menos tiempo en completar un periodo completo. Si dividimos por una g más grande, si llevamos
este péndulo a la superficie de Júpiter o algo así, donde g es más grande, se balancearía
hacia adelante y hacia atrás más rápido, y tardaría menos tiempo para completar un
periodo, ya que esa fuerza restauradora es mayor. Así que, aunque estos denominadores
son letras diferentes, provienen de la misma fuente. La fuerza restauradora es
mayor cuando aumentas estos denominadores, y eso aumenta la velocidad del objeto. Ahora, tal vez la mayor diferencia entre
ambas fórmulas es el numerador. Por acá, para la masa en un resorte, depende de la masa, pero en ninguna parte se encuentra
la masa en el periodo de un péndulo. El periodo del péndulo no depende de la masa. Y esto es algo muy interesante.
Imagina que una persona muy grande y pesada sube a un columpio y se
balancea hacia adelante y hacia atrás; después un niño muy pequeño se sube
al mismo columpio, y hace lo mismo. Lo impresionante es que a ambos les llevará la
misma cantidad de tiempo completar un ciclo. Su masa no es un factor
para el periodo del péndulo, pero sí lo es para la masa
en un resorte, ¿por qué? Bueno, una masa más grande en un resorte
aporta más inercia al sistema. Si tienes más inercia en el sistema, le cuesta
más el movimiento. Entonces va a ir más lento. Eso significa que tardará más
tiempo en completar un ciclo completo. Ahora bien, podrías pensar, "Espera un minuto.
¿No es cierto eso también en este caso? Mira, si tenemos una masa más grande en este péndulo, eso debería aumentar la inercia de rotación.
Y por lo tanto, debería llevar más tiempo. Le costará más moverse y debería tardar más
tiempo en recorrer un periodo completo". Pero, observa: la fuerza restauradora para un
péndulo es proporcional a la masa. Así que, si aumentas la masa del péndulo, hay más inercia, pero también hay más fuerza restauradora
porque la fuerza restauradora es la gravedad. Esa masa completamente compensada no
aparece en esta fórmula del péndulo, aunque sí lo hace aquí abajo. Entonces, la fuerza del resorte no es
proporcional a la masa. La fuerza del resorte es kx. Aumentar la masa de este bloque
no aumenta la fuerza restauradora del resorte. Así que esta masa se queda en el numerador
aquí, pero no afecta al periodo del péndulo. Y entonces, ¿por qué aparece esta L? ¿Por qué
está la longitud del péndulo en el numerador? Bueno, la inercia rotacional aumenta cuando
se incrementa la longitud del péndulo. Pero al aumentar esa longitud no aumenta la
fuerza de gravedad. Si quieres ponerte técnico, podemos decir que la inercia rotacional
es proporcional a la longitud al cuadrado, pero la torca solo sería proporcional a la
longitud. Por eso aquí solo aparece una L. Resumiendo, si aumentas la longitud de un
péndulo, va a aumentar la inercia de ese péndulo. Eso va a hacer que tarde más en recorrer un
ciclo completo. Por eso, cuando voy al parque, busco los columpios largos, porque,
entre más largo sea el columpio, más tiempo tardará en oscilar
hacia adelante y hacia atrás. Creo que son más divertidos
que los pequeños columpios cortos que van muy rápido de un lado a otro. Ahora vamos a resolver un problema de ejemplo
para ver cómo funciona esta fórmula del periodo. Imagina que vas al parque y que tienes
una masa de 60 kilogramos. Estás en un columpio y tu amigo te jala 20 grados
en un columpio de un metro de longitud. Vamos a hallar el periodo del movimiento.
Halla el periodo del movimiento. Es decir, el tiempo que tardas en
llegar hasta aquí y volver hasta acá. Para ello utilicemos la fórmula del periodo
para un péndulo. Es 2 pi, raíz de L sobre g. Sustituyendo tenemos 2 pi por la raíz cuadrada
de la longitud del columpio, que es la longitud de la cuerda de aquí.
Entonces, un metro. Técnicamente, sería la longitud hasta donde
está tu centro de masa, pero vamos a suponer que nuestro centro de masa está aquí en
el extremo, dividido por g, bueno… estamos suponiendo que estamos en la Tierra, entonces g
es igual a 9,8 metros por segundo al cuadrado. Ahora, si resuelves todo eso, obtienes
un periodo de aproximadamente 2 segundos. Por lo tanto, esta oscilación tendría
un periodo de alrededor de dos segundos. Ahora bien, observa que no usamos estos
20 grados. Esa es la amplitud. Y recuerda: el periodo no depende de la amplitud. Tampoco usamos el hecho de que tenemos
una masa de 60 kilogramos. El periodo de un péndulo tampoco depende de
la masa al final del péndulo. Solo usamos la longitud y,
como estamos en la Tierra, el denominador aquí siempre va a ser
9,8. Ahora, una cosa que debo aclarar es que un péndulo no es técnicamente
un oscilador armónico simple perfecto. Es solo aproximadamente un
oscilador armónico simple. Entonces, esta fórmula es
solo aproximadamente correcta, pero para ángulos pequeños, es casi perfecta. A 20 grados, el error solo va a ser
alrededor del 1%, que es bastante preciso. Si consideramos de nuevo esta fórmula a 70 grados,
incluso así, el error es solo alrededor del 10%. Por lo tanto, esta es una muy, muy buena aproximación si estás trabajando
con ángulos pequeños, de unos 20 a 30 grados. Sin embargo, cuanto más grande es
el ángulo, peor es la aproximación. Para ángulos pequeños, la mayoría de los físicos tratan un péndulo como si fuera un
oscilador armónico simple perfecto. Pero a medida que trabajamos con ángulos
más grandes, hay que tener cuidado porque esto puede empezar a desviarse más
significativamente del valor real. Así que, para recapitular, el periodo
de un péndulo depende de la longitud del péndulo y de la gravedad de
la superficie del planeta en el que te encuentras. No depende de la
amplitud ni de la masa del péndulo. Y la forma que adopta esta fórmula es
muy similar a la del periodo de una masa en un resorte, donde el numerador
aumenta debido al aumento de la inercia y el denominador aumenta debido al
aumento de la fuerza restauradora.