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Transcripción del video

Un péndulo simple es una masa  que cuelga de una cuerda. Si jalas esta masa del péndulo y la sueltas, la  gravedad actuará como una fuerza restauradora   y esta masa se balanceará hacia adelante  y hacia atrás una y otra vez. Y como este   péndulo simple es un oscilador armónico simple,  su movimiento, su ángulo en función del tiempo,   se puede describir con precisión  mediante una gráfica de seno o coseno. En otras palabras, si inicialmente jalas  esta masa hasta un ángulo de 15 grados,   y la sueltas, obtendrías una  gráfica que se parece a esta. Ahora, cada oscilador armónico simple tiene  un periodo de movimiento característico. El periodo de movimiento es el tiempo que  necesita para recorrer un ciclo completo. Es decir, el tiempo que tarda  en oscilar desde aquí hasta acá,   y de regreso, sería un periodo completo. Y en esta gráfica, lo escribí como 0.5 segundos,   pero no todos los péndulos simples  tendrán un periodo de 0.5 segundos. El periodo de un péndulo simple  depende de las características de   ese péndulo y del entorno en el que se encuentra. Y para obtener la fórmula  del periodo de un péndulo,   necesitarás usar el cálculo. Así que voy a  escribirla y vamos a analizarla y después   vamos a compararla con la fórmula del  periodo para una masa en un resorte. Para el periodo de un péndulo, va a ser igual a  2 pi por la raíz cuadrada del cociente entre la   longitud del péndulo, L, —es decir la longitud  de esta cuerda de aquí, la longitud L— y g, que   es la aceleración gravitacional del  planeta en el que está el péndulo. Ahora bien, si miras esta fórmula y has estado   prestando atención en la clase de  Física, podrías decir: "Espera,   ¡espera! Esto se ve muy similar a la fórmula  del periodo para una masa en un resorte". Así que, si tomas una masa en un  resorte y la desplazas 15 centímetros,   obtendrías una gráfica similar y esta también  tendría un periodo de movimiento característico. Y si escribes el periodo para una  masa en un resorte, se ve justo así,   su periodo es también 2 pi, así  que esta primera parte es idéntica. Y también la multiplicamos por la raíz cuadrada  de un cociente, pero en lugar de L sobre g,   para la masa en un resorte es m, la  masa del bloque conectado al resorte,   dividida entre k, que es la constante del resorte. Por lo que, una similitud obvia  entre estas dos fórmulas es su   formato. Ambas son 2 pi por la  raíz cuadrada de un cociente. Pero hay otra similitud importante  entre ellas, que podría no ser evidente,   y es que ninguna de estas fórmulas  depende de la amplitud del movimiento.  Es decir, el periodo de un péndulo no  depende de la amplitud del movimiento y   el periodo de una masa en un resorte tampoco  depende de la amplitud del movimiento. Lo que quiero decir es que si jalamos este  péndulo hacia atrás, en lugar de 15 grados,   20 grados hacia atrás y lo soltamos, hará  un recorrido más largo. ¿Cierto? Entonces,   su movimiento podría graficarse así, y  bajaremos un poco más y volveríamos a subir,   pero… ¡llevará exactamente  la misma cantidad de tiempo! El periodo no cambiará si jalamos más lejos y  aumentamos la amplitud. Lo mismo ocurre con esta   masa en un resorte. Si en lugar de jalarla  15 centímetros, la jalamos 20 centímetros,   esta gráfica comenzará más arriba, como ocurrió  antes. Y también bajará más. Pero el tiempo   que tarda en completar un ciclo completo  no va a cambiar al variar esta amplitud. Y esto puede parecer extraño. Tal vez  te preguntes: "Espera, ¿estos objetos   no tienen que ir más lejos ahora que los  has hecho retroceder a una amplitud mayor?" Y es cierto, ambos tendrán que ir más  lejos, pero ahora irán más rápido. Y un movimiento más rápido  compensará una distancia mayor. La amplitud no afecta al periodo del  movimiento de un péndulo ni de una masa   en un resorte. En cuanto a las diferencias,  bueno, el denominador aquí para la masa en un   resorte depende de k, y esa es la constante  del resorte, k, lo cual tiene sentido. Si aumenta la constante del resorte, tienes  más fuerza restauradora. La fuerza del resorte   es la fuerza restauradora. Al haber más  fuerza restauradora, esta masa se va a   mover más rápido. Eso significa que va a tardar  menos tiempo en recorrer un periodo completo. Por lo tanto, dividir por un número más  grande, por una constante más grande,   te da un periodo menor. Y eso también es  cierto por aquí, pero esta vez no tenemos   a k. La fuerza restauradora para  un péndulo no es la de un resorte,   sino la fuerza de gravedad. Así que, mg depende de g. Y una g más grande te daría una  mayor fuerza restauradora para   el péndulo. Eso significa que el  péndulo podría moverse más rápido. Moverse más rápido significa que tardará  menos tiempo en completar un periodo completo. Si dividimos por una g más grande, si llevamos  este péndulo a la superficie de Júpiter o algo   así, donde g es más grande, se balancearía  hacia adelante y hacia atrás más rápido,   y tardaría menos tiempo para completar un  periodo, ya que esa fuerza restauradora es mayor. Así que, aunque estos denominadores  son letras diferentes, provienen de   la misma fuente. La fuerza restauradora es  mayor cuando aumentas estos denominadores,   y eso aumenta la velocidad del objeto. Ahora, tal vez la mayor diferencia entre  ambas fórmulas es el numerador. Por acá,   para la masa en un resorte, depende de la masa,   pero en ninguna parte se encuentra  la masa en el periodo de un péndulo. El periodo del péndulo no depende de la masa. Y esto es algo muy interesante.  Imagina que una persona muy   grande y pesada sube a un columpio y se  balancea hacia adelante y hacia atrás;   después un niño muy pequeño se sube  al mismo columpio, y hace lo mismo.   Lo impresionante es que a ambos les llevará la  misma cantidad de tiempo completar un ciclo. Su masa no es un factor  para el periodo del péndulo,   pero sí lo es para la masa  en un resorte, ¿por qué? Bueno, una masa más grande en un resorte  aporta más inercia al sistema. Si tienes   más inercia en el sistema, le cuesta  más el movimiento. Entonces va a ir   más lento. Eso significa que tardará más  tiempo en completar un ciclo completo. Ahora bien, podrías pensar, "Espera un minuto.  ¿No es cierto eso también en este caso? Mira,   si tenemos una masa más grande en este péndulo,   eso debería aumentar la inercia de rotación.  Y por lo tanto, debería llevar más tiempo. Le   costará más moverse y debería tardar más  tiempo en recorrer un periodo completo". Pero, observa: la fuerza restauradora para un  péndulo es proporcional a la masa. Así que,   si aumentas la masa del péndulo, hay más inercia,   pero también hay más fuerza restauradora  porque la fuerza restauradora es la gravedad. Esa masa completamente compensada no  aparece en esta fórmula del péndulo,   aunque sí lo hace aquí abajo. Entonces, la fuerza del resorte no es  proporcional a la masa. La fuerza del   resorte es kx. Aumentar la masa de este bloque  no aumenta la fuerza restauradora del resorte. Así que esta masa se queda en el numerador  aquí, pero no afecta al periodo del péndulo. Y entonces, ¿por qué aparece esta L? ¿Por qué  está la longitud del péndulo en el numerador? Bueno, la inercia rotacional aumenta cuando  se incrementa la longitud del péndulo. Pero al aumentar esa longitud no aumenta la  fuerza de gravedad. Si quieres ponerte técnico,   podemos decir que la inercia rotacional  es proporcional a la longitud al cuadrado,   pero la torca solo sería proporcional a la  longitud. Por eso aquí solo aparece una L. Resumiendo, si aumentas la longitud de un  péndulo, va a aumentar la inercia de ese péndulo. Eso va a hacer que tarde más en recorrer un  ciclo completo. Por eso, cuando voy al parque,   busco los columpios largos, porque,  entre más largo sea el columpio,   más tiempo tardará en oscilar  hacia adelante y hacia atrás. Creo que son más divertidos  que los pequeños columpios   cortos que van muy rápido de un lado a otro. Ahora vamos a resolver un problema de ejemplo  para ver cómo funciona esta fórmula del periodo.   Imagina que vas al parque y que tienes  una masa de 60 kilogramos. Estás en un   columpio y tu amigo te jala 20 grados  en un columpio de un metro de longitud. Vamos a hallar el periodo del movimiento.  Halla el periodo del movimiento.  Es decir, el tiempo que tardas en  llegar hasta aquí y volver hasta acá. Para ello utilicemos la fórmula del periodo  para un péndulo. Es 2 pi, raíz de L sobre g.  Sustituyendo tenemos 2 pi por la raíz cuadrada  de la longitud del columpio, que es la longitud   de la cuerda de aquí. Entonces, un metro. Técnicamente, sería la longitud hasta donde  está tu centro de masa, pero vamos a suponer   que nuestro centro de masa está aquí en  el extremo, dividido por g, bueno… estamos   suponiendo que estamos en la Tierra, entonces g  es igual a 9,8 metros por segundo al cuadrado. Ahora, si resuelves todo eso, obtienes  un periodo de aproximadamente 2 segundos. Por lo tanto, esta oscilación tendría  un periodo de alrededor de dos segundos. Ahora bien, observa que no usamos estos  20 grados. Esa es la amplitud. Y recuerda:   el periodo no depende de la amplitud. Tampoco usamos el hecho de que tenemos  una masa de 60 kilogramos. El periodo de   un péndulo tampoco depende de  la masa al final del péndulo. Solo usamos la longitud y,  como estamos en la Tierra,   el denominador aquí siempre va a ser  9,8. Ahora, una cosa que debo aclarar   es que un péndulo no es técnicamente  un oscilador armónico simple perfecto. Es solo aproximadamente un  oscilador armónico simple. Entonces, esta fórmula es  solo aproximadamente correcta,   pero para ángulos pequeños, es casi perfecta. A 20 grados, el error solo va a ser  alrededor del 1%, que es bastante preciso. Si consideramos de nuevo esta fórmula a 70 grados,  incluso así, el error es solo alrededor del 10%. Por lo tanto, esta es una muy,   muy buena aproximación si estás trabajando  con ángulos pequeños, de unos 20 a 30 grados. Sin embargo, cuanto más grande es  el ángulo, peor es la aproximación. Para ángulos pequeños, la mayoría de los físicos   tratan un péndulo como si fuera un  oscilador armónico simple perfecto. Pero a medida que trabajamos con ángulos  más grandes, hay que tener cuidado porque   esto puede empezar a desviarse más  significativamente del valor real. Así que, para recapitular, el periodo  de un péndulo depende de la longitud   del péndulo y de la gravedad de  la superficie del planeta en el   que te encuentras. No depende de la  amplitud ni de la masa del péndulo. Y la forma que adopta esta fórmula es  muy similar a la del periodo de una   masa en un resorte, donde el numerador  aumenta debido al aumento de la inercia   y el denominador aumenta debido al  aumento de la fuerza restauradora.