Derivar la fórmula para la aceleración centrípeta a partir de la velocidad angular

ya hemos mencionado en vídeos anteriores que si algo se mueve en una trayectoria circular con una rapidez constante su velocidad va a cambiar constantemente a qué se debe esto a que la velocidad es un vector y un vector no solo tiene magnitud que es su rapidez sino que también tiene una dirección así que aunque este punto tenga la misma rapidez que este otro punto la velocidad tendrá otra dirección aquí dibujamos el vector con la misma longitud para representar que la magnitud es la misma aquí escribo la rapidez como v sin la flecha encima y ésta no cambia pero la dirección apunta a otro lado para que la dirección cambie es necesario que esta pelota que se mueve en una trayectoria circular se esté acelerando esta es la única forma de poder cambiar la velocidad que exista una aceleración al principio esto parece poco intuitivo porque la magnitud no está cambiando solamente cambia la dirección pero cualquier cambio en la velocidad siempre implica una aceleración en vídeos anteriores vimos que estás siempre va a ir hacia adentro si tenemos un movimiento circular uniforme a esta aceleración hacia adentro le llamamos aceleración centrípeta si escribo simplemente esta a c significa que es la magnitud de la aceleración cuando hablamos de la magnitud y la dirección le agregamos una flecha encima de igual forma en vídeos anteriores hemos relacionado la magnitud de la aceleración centrípeta con la velocidad lineal y el radio la fórmula que encontramos es la aceleración centrípeta es igual a la magnitud de la velocidad o la rapidez lineal al cuadrado dividida entre el radio lo que vamos a hacer en este vídeo será relacionar la aceleración centrípeta con la velocidad angular nuestra variable omega omega es la magnitud de la velocidad angular aquí la clave es relacionar la rapidez lineal con la rapidez angular en vídeos anteriores cuando vimos el concepto de la velocidad angular o mejor dicho su magnitud que es la rapidez angular vimos que la velocidad lineal igual al radio de la trayectoria circular uniforme multiplicada por la magnitud de la velocidad angular en general no me gusta memorizar las fórmulas prefiero deducir las recuerden que la magnitud de la velocidad angular se mide en radiales por segundo y a los radiales típicamente los vemos como un ángulo pero si pensamos en los radiales como la longitud de arco podemos pensar en un radial como cuántas longitudes del radio se recorren por segundo por lo que si se multiplica esto por la longitud del radio entonces tendremos una idea de la distancia que se recorre por segundo espero que esto tenga sentido para ustedes demostramos esta fórmula en vídeos anteriores y a partir de esta fórmula es fácil sustituirla en la fórmula original para encontrar una expresión de la magnitud de la aceleración centrípeta en términos del radio y la magnitud de la velocidad angular los invito a que pause en el vídeo y traten de encontrar esta fórmula por su cuenta resolvamos estos juntos si comenzamos con esto tenemos que la magnitud de la aceleración centrípeta va a ser igual a r por omega sustituimos la v por lo que tenemos aquí y la elevamos al cuadrado vamos a escribirlo la rapidez lineal es igual a r por la rapidez angular así que donde encontremos la v vamos a sustituirla por r por omega aquí tenemos r por omega al cuadrado entre r y ahora vamos a simplificar lo usamos una de las propiedades de los exponentes r por omega al cuadrado es igual a r al cuadrado por omega al cuadrado todo esto entre r r al cuadrado entre r va a ser igual a r esta es la fórmula para la aceleración centrípeta en términos de la velocidad angular es igual a r por la magnitud de la velocidad angular al cuadrado en próximos vídeos usaremos esta fórmula para resolver algunos ejemplos con esto terminamos