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El influencia de la masa en la rapidez orbital

Pregunta de ejemplo que explora cómo la masa influye en la rapidez orbital.

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Transcripción del video

un satélite de masa m orbita la tierra con un radio r y una rapidez v0 como se muestra en el diagrama un ingeniero aerospacial decide lanzar un segundo satélite que tiene el doble de masa a la misma órbita aquí en el diagrama vemos que es la misma órbita con radio r mayúscula y este segundo satélite tiene una masa 2 m la masa de la tierra es m cual es la rapidez v del satélite con mayor masa en términos de v0 la rapidez es la magnitud de la velocidad y es por eso que usamos v mayúscula si en el símbolo de vector arriba nos piden la magnitud de la velocidad necesaria para que el segundo satélite se mantenga en órbita a que será igual v minúscula pausa en el vídeo y piensen en esto por su cuenta recordemos que la única razón por la que algo se mantiene en órbita en lugar de seguir una trayectoria recta en el espacio es porque hay una aceleración centrípeta de magnitud constante cuya dirección es hacia el centro de la tierra que es lo que hace dar vuelta por decirlo de alguna manera la trayectoria del satélite y lo mantiene en una ruta circular en videos hemos visto que la magnitud de esta aceleración centrípeta es igual a la magnitud de la velocidad por ahora vamos a usar la velocidad de este primer satélite así que es la magnitud de esta velocidad al cuadrado dividida entre el radio que en este caso es la r mayúscula pero qué es lo que determina esta aceleración centrípeta podemos utilizar la ley de gravitación de newton para determinar la fuerza de gravedad sabemos que es igual a g mayúscula que es la constante de gravitación universal multiplicada por el producto de las masas cuya fuerza nos interesa en este caso es el producto de la masa de la tierra que es m mayúscula multiplicada por la masa del primer satélite que es m minúscula recordemos que por ahora estamos analizando el primer satélite todo esto dividido entre el cuadrado de la distancia que hay entre los centros de masa que en este caso es r mayúscula al cuadrado si queremos conocer la aceleración centrípeta solamente tenemos que dividir la fuerza entre la masa recordemos que esto viene de la segunda ley de newton sabemos que f es igual a m por a si nos interesa la aceleración centrípeta entonces usar la fuerza de gravedad que le está ocasionando si queremos despejar la aceleración centrípeta tenemos que dividir ambos lados entre la masa que es la masa del satélite por lo que la aceleración centrípeta es igual a g mayúscula que es la constante de gravitación universal multiplicada por la masa de la tierra y dividida entre el radio al cuadrado ahora podemos tomar esto y sustituirlo aquí arriba y despejar la magnitud de la velocidad que nos piden tenemos la constante de gravitación universal multiplicada por la masa de la tierra dividida entre el radio al cuadrado que es igual a la magnitud de la velocidad de al cuadrado dividida entre mayúscula multiplicamos ambos lados por r mayúscula e intercambiamos los lados para que quede más claro v0 al cuadrado es igual a g mayúscula por m mayúscula entre r mayúscula aplicamos la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad y nos queda que v0 es igual a la raíz cuadrada de la constante de gravitación universal por la masa de la tierra entre la distancia de los centros de masa aquí observamos algo interesante de la rapidez necesaria para mantener esta órbita no aparece para nada la masa del satélite en esta expresión no aparece la m minúscula para nada y ya que esto es independiente de la masa que esté en órbita no importa si duplicamos la masa del satélite si pasamos de m minúscula a 2 m minúscula esto no modifica la rapidez orbital necesaria así que cuál es la rapidez v necesaria para el satélite con mayor masa en términos de v0 pues va a ser la misma v es igual a v0 no importa que hagamos con la masa que está aquí arriba siempre vamos a necesitar la misma rapidez orbital con eso terminamos y nos vemos en el siguiente vídeo