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Curso: Física avanzada 1 (AP Physics 1) > Unidad 6

Lección 2: Colisiones elásticas y conservación del momento

¿Qué es la conservación del momento?

Aprende qué significa la conservación del momento y cómo usarla.

¿Qué es el principio de conservación del momento?

En física, el término conservación se refiere a algo que no cambia. Esto significa que la variable en una ecuación que representa una cantidad conservativa es constante en el tiempo. Tiene el mismo valor antes y después de un evento.

Hay muchas cantidades conservativas en física. A menudo son muy útiles para hacer predicciones en lo que de lo contrario serían situaciones muy complicadas. En mecánica, hay tres cantidades fundamentales que se conservan. Estas son el momento, la energía y el momento angular. La conservación del momento se usa más para describir colisiones entre objetos.

Así como con otros principios de conservación, hay un truco: la conservación del momento solo se aplica a sistemas aislados de objetos. En este caso, un sistema aislado es uno sobre el cual no actúan fuerzas externas al sistema. Es decir, no hay un impulso externo. En el ejemplo práctico de la colisión de dos objetos, esto significa que necesitamos incluir los dos objetos y cualquier otra cosa que le aplique una fuerza a cualquiera de los objetos durante cualquier cantidad de tiempo en el sistema.

Si los subíndices

i

f

denotan los momentos inicial y final de los objetos en un sistema, entonces el principio de conservación del momento dice que:

p_{1 i} + p_{2 i} + \dots = p_{1 f} + p_{2 f} + \dots

¿Por qué se conserva el momento?

La conservación del momento en realidad es una consecuencia directa de la tercera ley de Newton.

Considera una colisión entre dos objetos, el objeto A y el objeto B. Cuando los dos objetos colisionan hay una fuerza sobre A debida a B,

F_{AB}

. Pero por la tercera ley de Newton hay una fuerza igual en la dirección opuesta, sobre B debida a A,

F_{BA}

F_{AB} = - F_{BA}

La fuerzas actúan entre los objetos cuando están en contacto. El tiempo durante el cual los objetos están en contacto,

t_{AB}

t_{BA}

, depende de las características específicas de la situación. Por ejemplo, sería más largo para dos pelotas esponjosas que para dos bolas de billar. Sin embargo, este tiempo debe ser igual para ambas bolas.

t_{AB} = t_{BA}

En consecuencia, el impulso experimentado por los objetos A y B debe ser igual en magnitud y en dirección opuesta.

F_{AB} \cdot t_{AB} = - F_{BA} \cdot t_{BA}

Si recordamos que el impulso es equivalente al cambio en momento, se sigue que el cambio en momentos de los objetos es igual pero en direcciones opuestas. Esto se puede expresar de manera equivalente como que la suma del cambio en los momentos es igual a cero.

\begin{aligned} m_{A} \cdot Δ v_{A} & = - m_{B} \cdot Δ v_{B} \\ m_{A} \cdot Δ v_{A} + m_{B} \cdot Δ v_{B} & = 0 \end{aligned}

¿Qué es interesante acerca de la conservación del momento?

Hay por lo menos cuatro cosas que son interesantes, y a veces contraintuitivas, acerca de la conservación del momento:

El momento es una cantidad vectorial, y por lo tanto necesitamos usar la suma vectorial al sumar los momentos de varios cuerpos que conforman un sistema. Considera un sistema de dos objetos parecidos que se alejan entre sí en direcciones opuestas con la misma rapidez. Lo interesante es que los vectores en direcciones opuestas se cancelan, de modo que el momento del sistema como un todo es cero, aunque ambos objetos se estén moviendo.
Las colisiones son particularmente interesantes de analizar al usar la conservación del momento. Esto es porque las colisiones típicamente ocurren rápido, así que el tiempo que los objetos que colisionan pasan interactuando es corto. Un tiempo corto de interacción significa que el impulso, $F \cdot Δ t$ ‍, debido a fuerzas externas (como la fricción) durante la colisión, es muy pequeño.
A menudo es fácil medir y llevar un registro del momento, incluso con sistemas complicados de muchos objetos. Considera una colisión entre dos discos de hockey. La colisión es tan contundente que uno de los discos se rompe en dos pedazos. Es probable que la energía cinética no se conserve en la colisión, pero el momento sí se va a conservar.
Si conocemos las masas y las velocidades de todos los pedazos justo después de la colisión, podemos seguir usando la conservación del momento para entender la situación. Esto es interesante porque, en contraste, sería virtualmente imposible usar la conservación de la energía en esta situación. Sería muy difícil calcular exactamente cuánto trabajo se hizo al romper el disco.

Las colisiones con objetos "inamovibles" son interesantes. Claro, ningún objeto es en realidad inamovible, pero algunos son tan pesados que parecen serlo. Considera el caso de una pelota de masa $m$ ‍ que viaja a una velocidad $v$ ‍ hacia una pared de ladrillo. Pega en la pared y rebota con una velocidad $- v$ ‍. La pared está firme en la tierra y no se mueve, pero el momento de la pelota cambió en $2 m v$ ‍ pues la velocidad pasó de positiva a negativa.

Si el momento se conserva, entonces el momento de la tierra y de la pared también debieron haber cambiado por

2 m v

. Simplemente no nos damos cuenta de este cambio porque la tierra es mucho más pesada que la pelota.

¿Qué tipo de problemas podemos resolver al usar la conservación del momento?

Ejercicio 1a: es probable que el retroceso de un cañón sea familiar para cualquier persona que haya visto una película de piratas. Este es un problema clásico de la conservación del momento. Considera un cañón con ruedas de 500 kg que dispara una bala de 2 kg de manera horizontal desde un barco. La bala sale del cañón a 200 m/s. ¿Con qué rapidez retrocede el cañón como resultado del disparo?

Ejercicio 1b: supón que el cañón se levanta para disparar a un ángulo de

α = 30^{\circ}

con respecto a la horizontal. ¿Cuál es la rapidez del retroceso en este caso? ¿A dónde se fue el momento adicional?

Como el cañón solo puede rodar sobre la cubierta del barco, solo nos interesa la componente horizontal del momento. Dibujar un triángulo y usar trigonometría nos permite encontrar la componente horizontal de la velocidad,

v_{h}

\begin{aligned} v_{h} & = v_{b} \cdot \cos (α) \\ = 173 m / s \end{aligned}

Luego podemos proceder como antes:

\begin{aligned} \frac{m_{b} v_{h}}{m_{c}} & = - v_{c} \\ \frac{2 kg \cdot 173 m / s}{500 kg} & = - 0.69 m / s \end{aligned}

La componente vertical del momento actúa para, momentáneamente, empujar el barco hacia el agua.

Ejercicio 2a: se hace un swing con un palo de golf cuya cabeza tiene una masa de

m_{c} = 0.25 kg

y colisiona con una pelota de golf estacionaria que tiene una masa de

m_{p} = 0.05 kg

. Al usar videos de alta velocidad, se muestra que el palo viaja con una rapidez de

v_{c} = 40 m / s

cuando toca la pelota. Permanece en contacto con la pelota durante

t = 0.5 ms

; después de eso, la pelota viaja con una rapidez de

v_{p} = 40 m / s

. ¿Qué tan rápido viaja el palo después de haberle pegado a la pelota?

Ejercicio 2b: ¿cuál es la fuerza promedio sobre el palo debida a la pelota de golf en el problema anterior?

Sabemos que la rapidez del palo de golf cambia en 8 m/s al pegar con la pelota, así que podemos encontrar la aceleración:

\begin{aligned} a & = \frac{Δ v}{Δ t} \\ = \frac{32 \frac{m}{s} - 40 \frac{m}{s}}{0.5 \cdot 10^{- 3} s} \\ = \frac{- 8.0 m / s}{0.5 \cdot 10^{- 3} s} \\ = - 16 \cdot 10^{3} m / s^{2} \end{aligned}

Entonces, sabemos que la fuerza es:

\begin{aligned} F & = m_{c} a \\ = (0.25 kg) (- 16 \cdot 10^{3} m / s^{2}) \\ = - 4.0 kN \end{aligned}

Puede ser sorprendente que una pelota de golf pequeña pueda ejercer una fuerza tan grande. La fuerza también se aplica a través de un área de contacto muy pequeña, lo que hace que la presión sea muy alta. Esta es la razón por la cual las pelotas y los palos de golf deben ser tan resistentes.

Ejercicio 3: supón que un jugador de futbol americano de 100 kg está en reposo en una pista de hielo. Un amigo le lanza un balón de 0.4 kg con una rapidez de 25 m/s. En un movimiento suave, recibe el balón y lo lanza de regreso en la misma dirección con una rapidez de 20 m/s. ¿Cuál es la rapidez del jugador después del lanzamiento?

En este problema, todo el movimiento de interés es cercano a ser paralelo al piso, así que podemos usar la forma escalar del momento y definir la velocidad positiva como la dirección del amigo al jugador. Aquí vamos a usar los subíndices

b

j

para el balón y el jugador, e

i

f

para inicial y final. Vamos a empezar por escribir la suma de los momentos antes y después del evento:

\begin{aligned} m_{b} v_{bi} + m_{j} v_{ji} & = m_{b} v_{bf} + m_{j} v_{jf} \\ m_{b} (v_{bi} - v_{bf}) & = m_{j} v_{jf} \end{aligned}

Al sustituir los números, necesitamos asegurarnos de que la velocidad final del balón esté en la dirección negativa.

\begin{aligned} v_{jf} & = \frac{m_{b}}{m_{j}} (v_{bi} - v_{bf}) \\ = \frac{0.4 kg}{100 kg} (25 m / s + 20 m / s) \\ = 0.18 m / s \end{aligned}

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Daniela Martí
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Lo que no logro entender,...” de Daniela Martí
Lo que no logro entender, si utilizamos el ejemplo de un cañón disparando una bala, es por qué las reacciones químicas que suceden con la pólvora no cuentan como impulso. ¿Un cuerpo por si solo nunca podrá generar impulso? Nosotros podemos impulsar cuerpos. ¿Perdemos momento cuando lo hacemos? No sé si son preguntas muy simples, pero me cuesta entenderlo.
Botón que navega a la página de registroComentar en la publicación “Lo que no logro entender,...” de Daniela Martí
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Azucena Ramirez
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Que es la consevacion de ...” de Azucena Ramirez
Que es la consevacion de la cantidad de movimiento
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Respuesta
ommadrid
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “en la forma que toma el p...” de ommadrid
en la forma que toma el palo no tiene que ser cualquier palo tiene que ser especail
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321148771
Publicado hace hace 10 meses. Enlace directo a la publicación “¿Por qué en el ejercicio ...” de 321148771
¿Por qué en el ejercicio 2a, el numerador es negativo?
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