Visualizar vectores en 2 dimensiones

los problemas que hemos visto hasta el momento han ocurrido en una sola dimensión hemos ido hacia adelante o hacia atrás hacia la derecha o la izquierda o arriba o abajo lo que quiero que veamos en este vídeo es qué sucede cuando extendemos esto a dos dimensiones oa tres oa cuatro oa un número arbitrario de dimensiones aunque si trabajamos con la mecánica clásica sólo tendremos un máximo de tres dimensiones y si vamos a trabajar con más de una dimensión especialmente si trabajamos en dos dimensiones trabajaremos con vectores en dos dimensiones que comprendamos al menos lo básico de los vectores de dos dimensiones recordemos que un vector es algo que tiene una magnitud y una dirección lo primero que quiero hacer es tener una comprensión visual de cómo se suman los vectores imaginemos que tengo un vector acá que le voy a llamar vector a aquí la magnitud está especificada por la longitud de la flecha y la dirección va a estar especificada por la punta de esta flecha digamos que tenemos otro héctor que lo voy a llamar vector b y es más o menos así y lo que quiero que hagamos es ver qué pasa cuando sumamos el vector a con el vector b hay un par de cosas a tomar en cuenta cuando cuando trabajamos con vectores de manera visual lo importante aquí es por ejemplo para el vector a que mantengamos la misma magnitud y la misma dirección este es el vector a también tiene la misma longitud que éste y apunta en la misma dirección no importa en donde lo dibujé siempre y cuando mantenga estas dos cosas este vector va a ser el mismo que este también puedo dibujar el vector a aquí también puedo dibujar el vector ve por acá sigue siendo el vector b porque tiene la misma magnitud y sigue apuntando a la misma dirección estos dos son iguales y noten que el origen de este vector no tiene por qué comenzar en el origen del vector a si quiero puedo dibujar el vector b aquí no importa este es el mismo vector simplemente lo estoy desplazando lo puedo desplazar siempre cuando se mantenga la misma magnitud y la misma dirección será en el mismo vector y estoy haciendo todo esto para ayudarnos a entender cómo se suman vectores de manera visual si yo quisiera sumar el vector a con el vector b y veremos cómo hacer esto de manera analítica en futuros vídeos aquí puedo dibujar el vector este es mi vector y ahora puedo dibujar el vector b pero pondré el origen del vector b en la punta del vector a así que voy a desplazar el vector b de manera que su origen esté en la punta de mi vector y si vamos del origen de a hacia la punta debe toda esta parte y a esto lo llamamos el vector c éste será la suma del vector a y el vector b y esto tiene sentido si ustedes piensan en estos vectores como en desplazamientos nos dice que nos desplazamos esta cantidad en esta dirección y b nos dice que nos desplazamos que esta cantidad de esta magnitud en esta dirección a partir de donde estábamos al final de a si tenemos el desplazamiento de a más el desplazamiento de b cuál va a ser nuestro desplazamiento total pues si estamos aquí vamos a desplazarnos en esta dirección esta distancia y a partir de aquí nos desplazaremos así de lejos en esta dirección así que la cantidad neta que nos desplazamos es esto y es por eso que esta es la suma de estas dos y podemos usar esta misma idea para descomponer cualquier vector en dos dimensiones y en sus componentes vertical y horizontal vamos a explicar esto en un momento si yo aquí tuviera un vector que le voy a llamar vector x yo puedo decir que este vector x es la suma de un vector horizontal que llega hasta acá que dibuje en verde y de otro vector vertical que estoy dibujando en magenta noten que x inicia en el origen del vector verde y x termina en la punta del vector magenta además el vector magenta comienza en la punta del vector verde y termina en donde termina el vector x la razón por la que hago esto que yo espero que a partir de este análisis ustedes lo comprendan mejor es que el vector verde más el vector magenta me va a dar el vector x el vector verde está en el origen del vector magenta la razón por la que estoy haciendo esto es que si puedo expresar x como la suma de estos dos vectores entonces habré descompuesto x en sus componentes horizontal y vertical puedo llamar a este su componente vertical xd y a este de abajo su componente horizontal x h otra forma que puedo dibujar esto es desplazar este vector hacia acá recuerden que no importa en donde dibujemos el vector siempre y cuando se respete la magnitud y la dirección este vector es el mismo que este este es x b así que vemos que podemos expresar este vector x podemos expresar este vector x como la suma de sus componentes horizontal más su componente vertical y veremos en repetidas ocasiones que esto es algo muy poderoso porque nos permite descomponer un problema en dos dimensiones en dos problemas de una dimensión cada uno uno actuando en la dirección horizontal y otro actuando en la dirección vertical veamos esto de una manera matemática pues hemos estado hablando de la longitud y todo eso pero veamos cómo descomponer matemáticamente estos elementos veamos qué significa descomponer esos elementos de un vector imaginemos que tengo un vector así le voy a llamar a y va a tener una longitud de 5 la longitud de mi vector a es igual a 5 vamos a indicar su dirección dando el ángulo con el que este vector se eleva con respecto a la horizontal vamos a dibujar unos ejes por acá para que se comprenda digamos que este es mi eje vertical este de aquí y aquí tengo mi eje horizontal x la parte positiva de mi eje xy la parte positiva de mi eje y para especificar la dirección de este vector voy a tener este ángulo de acá y este ángulo va a tener una medida bastante peculiar que la elegí con un propósito muy particular va a estar en grados para que todas las cantidades al final sean fáciles de manejar está en grados y es 36.8 99 grados elegí este número particular por una razón en particular lo que quiere hacer es encontrar los componentes horizontal y vertical de este vector quiero descomponerlo en algo que vaya directamente hacia arriba y otra cosa que sea completamente horizontal como hacer esto puedo expresarlos visualmente para ver cómo lucen su componente vertical se verá algo más o menos así y su componente horizontal se verá más o menos así el componente horizontal iniciará en dónde está el origen del vector y llega tan lejos en la dirección x como la punta del vector pero solo en la dirección horizontal en la dirección de x y para llegar a la punta del vector a tendremos que usar nuestro componente vertical y podemos llamarle al componente vertical porque va paralelo al eje y y podemos llamar al componente horizontal a equis porque está en la dirección de x ahora lo que quiero hacer es encontrar la magnitud del componente allí y la magnitud de a x como hacemos esto bueno lo que hemos dibujado aquí en esencia es un triángulo rectángulo este es un ángulo recto y de este triángulo rectángulo conocemos la longitud de su hipotenusa que es la magnitud de este vector y ya habíamos visto que ésta es igual a 5 así que la magnitud de este vector a es igual a 5 que eso ya lo habíamos visto aquí como encontramos la magnitud de estos lados pues vamos a usar un poco de trigonometría básica si conocemos el ángulo y conocemos la hipotenusa podemos encontrar estos lados como encontramos el valor del lado opuesto al ángulo este es el lado opuesto al ángulo y si se nos olvidó algo de nuestra trigonometría básica aquí lo podemos recordar vamos a usar nuestro sol acá tohá se no es igual al opuesto entre la hipotenusa jose no es igual a la adyacente entre la hipotenusa tangente si vale lo opuesto entre el adyacente así que aquí tenemos el ángulo queremos el opuesto y tenemos la hipotenusa así que podemos decir que el seno el seno del ángulo 36.8 99 grados va a ser igual a la magnitud de nuestro lado opuesto al ángulo que es la magnitud de a g entre la magnitud de la hipotenusa y aquí tenemos que la magnitud de la hipotenusa es de 5 si multiplicamos ambos lados por 5 nos va a quedar 5 seno de 36.8 99 grados que es igual a la magnitud el componente que hay en nuestro componente vertical de nuestro vector a antes de sacar la calculadora y encontrar el valor de esto voy a hacer lo mismo para encontrar la magnitud de mi componente horizontal a x ya habíamos visto que este lado de aquí es adyacente al ángulo conocemos la hipotenusa y el coche no utiliza el adyacente y la hipotenusa así que sabemos que el coseno de 36.8 99 grados va a ser igual a la magnitud de este componente horizontal a x que es el cateto adyacente al ángulo va a ser la magnitud de a x y va a estar dividido entre la magnitud de la hipotenusa que ya hemos visto es 5 nuevamente multiplicamos ambos lados de esta igualdad por 5 y nos queda 5 x coseno de 36.8 99 grados igual a la magnitud de mi componente horizontal a x pues vamos a encontrar el valor de esto vamos a sacar la calculadora asegurémonos que está en modo de grados y ahora estamos listos para hacer los cálculos el componente vertical es igual a 5 por el seno de 36.8 99 grados que si esta cantidad la redondeamos a las unidades nos va a quedar 3 así que la magnitud de nuestro componente vertical es igual a 3 y hagamos lo mismo para nuestro componente horizontal sacamos de nuevo a la calculadora y ahora vamos a tener 5 por coseno de 36.8 99 grados y si de nuevo esto lo redondeamos a las unidades nos va a quedar que es igual a 4 así que este componente horizontal va a ser igual a 4 y así tenemos un triángulo clásico 345 un triángulo pitagórico la magnitud de nuestro componente horizontal es 4 la magnitud de nuestro componente vertical es 3 y ya teníamos que la magnitud de nuestro vector original es de 5 me pueden decir bueno pues para qué nos sirve esto veremos en los próximos vídeos que si decimos que algo tiene una velocidad en esta dirección de 5 metros por segundo podremos descomponer esto en dos velocidades podremos decir que este es el componente vertical de esa velocidad con esta dirección a tres metros por segundo y también va a ir en esta dirección a la derecha en la dirección horizontal a cuatro metros por segundo así que nos permite descomponer el problema en dos problemas de una sola dimensión cada uno que son muchos más sencillos de resolver que el problema de dos dimensiones