El cálculo de la datación o fechamiento por medio de K-Ar

en el vídeo anterior vimos un repaso de la adaptación potasio árbol y en este vídeo me gustaría que veamos un ejemplo concreto en el que involucraremos un poco de álgebra y decaimiento exponencial quiero mostrarles cómo pueden calcular la edad de una roca volcánica aplicando un poco de matemáticas entonces sabemos que cualquier cosa que experimenta un decaimiento radioactivo experimenta un decaimiento exponencial y existe una forma generalizada de describirlo pero eso lo veremos más a fondo en otros vídeos de caná cádiz por ahora sabemos que una cierta cantidad de algo está en función del tiempo y podemos decir que n es la cantidad de muestra radioactiva que vamos a analizar y esto es igual a la cantidad inicial que había de eso antes de la descomposición vamos a llamarla n subíndice 0 y esto por el ala menos acá de donde está constante corresponde particularmente a la vida media de lo que sea que tengamos y para resolver esto veamos un ejemplo con potasio 40 sabemos que después de cada 1.25 mil millones de años nos queda la mitad de la cantidad que teníamos inicialmente entonces vamos a escribirlo así empezamos con n 0 que puede ser un gramo un kilogramo 5 gramos etcétera lo que sea que era la cantidad original por el nada menos que por 1.25 mil millones de años que lo podemos escribir como 1.25 por 10 a la 9 esa es la vida media del potasio 40 1.25 mil millones de años después de ese largo periodo de tiempo la mitad de la muestra se ha descompuesto entonces escribimos un medio de n 0 es decir de lo que había inicialmente después de 1.25 mil millones de años y después de 1.25 mil millones de años sólo nos queda la mitad ok y si ahora dividimos ambos lados entre n 0 para despejar que simplemente aplicamos logaritmo natural en ambos lados y nos queda logaritmo natural de un medio porque ya cancelamos n 0 y esto es igual a logaritmo natural de todo esto el logaritmo natural nos indica a qué potencia se eleva y para obtener el ala menos k por 1.25 mil millones así que el logaritmo natural de esto es decir la potencia a la que elevamos es para tener el ala menos k por 1.25 mil millones es simplemente menos k por 1.25 por 10 a la 9 ok y después para despejar k podemos dividir ambos lados de la ecuación por menos 1.25 mil millones y así nos queda que acá voy a escribirlo del lado derecho acá es igual a logaritmo natural de un medio entre menos 1.25 por 10 a la 9 y observen que el signo negativo puede estar multiplicando únicamente al numerador oa toda la fracción entonces podemos escribir esto como 1.25 por 10 a la 9 estos son 1.25 mil millones y el menos logaritmo natural de un medio bueno miren podemos escribirlo de esta forma si tenemos a por el logaritmo natural de p por las propiedades de los logaritmos sabemos que esto es igual a logaritmo natural de b elevado a la potencia a entonces el menos logaritmo natural de un medio es igual a logaritmo natural de un medio a la menos 1 así que esto es igual a bueno como cualquier cosa elevada a una potencia negativa es igual a su multiplicación inversa esto es igual a logaritmo natural de 2 entonces el menos logaritmo natural de un medio es simplemente el logaritmo natural de 2 así es como podemos despejar acá k es igual a logaritmo natural de 2 entre la vida media de la sustancia y esto lo podemos generalizar para cualquier otra sustancia radioactiva ok y ahora que ya conocemos acá pensemos en una situación en la que en alguna muestra encontramos vamos a suponer que en una muestra encontramos un miligramo de potasio supongamos que encontramos un miligramo de potasio 40 y que de argón 40 encontramos 0.01 miligramos entonces cómo podemos usar esta información junto con lo que acabamos de calcular a partir de la vida media para saber qué tan antigua es esta muestra cómo podemos saber eso bueno sabemos que n la cantidad restante es igual a esto entonces sabemos que nos queda un miligramo un miligramo y esto es igual a una cierta cantidad inicial para la que usamos esta información por el ala menos acá por t y ya conocemos acá porque acá es igual a todo esto pero ahora necesitamos conocer la cantidad inicial para poder calcular t y saber qué tan antigua es la muestra entonces vamos a ver para conocer la cantidad inicial recuerden que el argón 40 a partir de potasio 40 porque recuerden que cuando el potasio se descompone el 11% se descompone en argón 40 y el 89 por ciento restante se descompone en calcio 40 eso lo vimos en el vídeo anterior entonces lo que sea que tengamos de argón 40 corresponde al 11% de la descomposición o mejor dicho del decaimiento radioactivo del potasio 40 así que si queremos pensar en el número total de potasio es 40 que se desintegraron desde que esto se quedó atrapado en la roca porque recuerden que todo el argón 40 que había en el momento en que había lava todo ese argón se liberó antes de que la lava se solidificará y bueno para saber de cuánto potasio 40 proviene todo esto simplemente dividimos entre 11 por ciento entonces podemos decir que acá inicial el potasio 40 inicial es igual a la cantidad de potasio 40 que tenemos ahora qué un miligramo más la cantidad de potasio 40 que necesitamos para obtener esta cantidad de argón 40 entonces si tenemos esta cantidad de argón 40 0.01 miligramos y esa cantidad corresponde únicamente al 11% de la cantidad original que había de potasio 40 y el resto se convirtió en calcio 40 entonces vamos a dividir esto entre 11 por ciento es decir 0.11 y bueno este no es el número exacto pero nos da una idea general entonces inicialmente que sería n 0 esto es igual a vamos a ver un miligramo es igual a un miligramo que es lo que encontramos más 0.01 miligramos entre 0.11 y todo esto por el ala menos acá por t y aquí podemos ver que si despejamos t suponiendo que conocemos que en realidad la cantidad no importa mucho porque lo que más importa es la relación entonces para despejarte primero vamos a dividir ambos lados de la ecuación entre todo esto y así nos queda que del lado izquierdo tenemos un miligramo entre todo esto entonces tenemos uno más mejor de una vez vamos a suponer que las unidades son miligramos entonces mejor simplemente escribimos 1 entre 1 + 0.01 / 0.11 y eso es igual a la menos k porte y si queremos despejar t necesitamos aplicar el logaritmo natural en ambos lados entonces nos queda logaritmo natural de 1 entre 1 + 0.01 entre 0.11 y eso es igual a menos que corte y finalmente vamos a dividir ambos lados de la ecuación entre menos que lo escribiré por acá es un poco largo el proceso matemático pero así es como llegamos a la respuesta entonces tenemos que t es igual a logaritmo natural de uno entre uno más 0.01 / 0.11 y todo eso entre menos que pero que era menos que bueno menos que es simplemente lo negativo de esto entonces entre menos el logaritmo natural de 2 / 1.25 por 10 a la 9 ok ahora si podemos usar nuestra calculadora para saber cuál es el tiempo que será en años porque fue como calculamos esta constante vamos a ver primero resolveré esta parte tenemos uno entre 1 + 0.01 entre 0.11 y eso es igual a este número y si a eso le aplicamos el logaritmo natural nos queda menos 0 puntos 0 87 ese es el numerador y eso lo vamos a dividir entre abrimos paréntesis - el logaritmo natural de 2 / 1.25 por 10 a la 9 entonces entre 1.25 por 10 a la 9 ok cerramos los dos paréntesis y finalmente obtenemos que nuestra t en años es igual a vamos a ver todo eso es igual a 156.9 millones de años entonces si lo redondeamos nuestra muestra es de aproximadamente 157 millones de años millones de años de antigüedad ok y bueno el desarrollo matemático fue un poco largo pero es algo que verán en alguna clase de cálculo o de álgebra de nivel intermedio cuando estudian crecimiento exponencial y decaimiento y bueno la finalidad de hacer todo esto no es que se expanden con toda esta explicación y vayan a pensar que está difícil en realidad estas son matemáticas que les enseñan en la preparatoria y con eso ustedes pueden saber que si tienen una muestra que tiene esta relación de algún 40 con respecto al potasio 40 podrán saber que esta es una roca volcánica de 157 millones de años de antigüedad