Crecimiento poblacional per cápita y crecimiento exponencial

en el vídeo anterior empezamos a hablar sobre la tasa de crecimiento poblacional y de cómo se relaciona con la tasa de natalidad y de mortalidad en una población y eso lo relacionamos con algunas fórmulas que se podrían encontrar en el formulario de un examen ape de biología y que parecen muy complicadas ahora vamos a extender esa conversación para discutir otras fórmulas que podrían encontrar y vamos a demostrar que las operaciones se pueden realizar intuitivamente usando un poco de notación matemática entonces como un pequeño repaso aquí tenemos el ejemplo que ya habíamos visto que es una población donde la tasa de natalidad era de 60 conejitos al año aquí hablamos de una población de conejitos y la tasa de mortalidad era de 15 conejitos al año cuál será la tasa de crecimiento poblacional para este ejemplo bueno en un año se espera que nazcan 60 conejitos con lo que incrementarán la población también se espera que morirán 15 conejitos lo que le resta a la población así al final se obtiene un incremento neto de 45 conejitos al año ahora para poner eso en el lenguaje matemático del formulario que encontrarán en un examen ap de biología la notación que se utiliza para la tasa de crecimiento poblacional es una notación muy elegante y la voy a escribir por acá les van a poner que n es igual a la población n es igual a la población y después para la tasa de crecimiento poblacional se usa una notación de cálculo que se expresa como el cambio de la población entre el cambio en el tiempo aquí estamos hablando de algo que en cálculo se conoce como cambio instantáneo pero por ahora no tenemos que ser tan específicos así que para la tasa de crecimiento poblacional podemos usar esta anotación y esto es igual a la tasa de natalidad que en este caso es de 60 conejitos por año la notación que usan en el formulario para la tasa de natalidad es simplemente una b mayúscula aquí no usan la misma anotación de acá si se podría pero esta forma es más fácil de entender y bueno después a eso se le resta la tasa de mortalidad que se expresa con d mayúscula esta es una de las fórmulas que se podrán encontrar pero como pueden ver también la pueden deducir intuitivamente bien la siguiente idea que me gustaría que analicemos es un concepto conocido como tasa de crecimiento poblacional per cápita primero lo escribiré con palabras vamos a pensar en el concepto de tasa de crecimiento poblacional per cápita bueno mire per cápita se refiere a un promedio por persona o individuo y nos dice cuál es aproximadamente la tasa de crecimiento por individuo en este caso cuál creen que sea pausa en el vídeo y reflexionen un poco una forma de definirla es como la tasa de crecimiento poblacional dividida entre la población neta es decir entre el número total de personas o individuos que hay entonces es igual a la tasa de crecimiento poblacional entre la población et ahora supongamos que tenemos una población de 450 conejitos cuál será la tasa de crecimiento poblacional per cápita pausa en el vídeo y traten de resolver bueno si tenemos una población netas de 450 conejitos la tasa de crecimiento poblacional por el número de individuos que en este caso son conejos es igual a vamos a ver ya sabíamos que la tasa de crecimiento poblacional es de 45 conejitos por año y eso será por cada 450 conejitos entonces 45 entre 450 es igual a 0.1 y para las unidades conejitos se cancela y nos queda 0.1 por año pero porque la tasa de crecimiento poblacional per cápita es tan interesante bueno en la mayoría de las poblaciones necesitamos al menos un macho y una hembra para que se puedan reproducir pero hay algunos organismos que se pueden partir en dos y reproducir a sexualmente de cualquier manera esto nos da una idea aproximada de qué tanto crece una población por año por individuo ahora en el formulario de un examen ap de biología la notación matemática que se podrán encontrar se ve así la tasa de crecimiento poblacional per cápita generalmente se representa con la letra r minúscula y esto es igual a la tasa de crecimiento poblacional que ya vimos que es la relación de cambio de la población con respecto al tiempo de n dt entre la población et y ahora vamos a manipular esto un poco algebraica mente para obtener otra expresión multipliquemos ambos lados de la ecuación por n mayúscula es decir por la población neta y nos queda que de n dt es igual a n por r&r por n vamos a escribirlo en limpio nos queda que de n dt es igual a la tasa de crecimiento poblacional per cápita por la población et y nuevamente esto tiene mucho sentido porque miren si este es el número de individuos que hay actualmente y en un año incrementa en promedio esta cantidad entonces al multiplicar estas dos cosas podemos conocer que tanto creció la población en ese año pero si por alguna razón no conociéramos estos números vamos a verlo de otra manera supongamos que tenemos una población de 1.000 conejitos entonces ahora n es igual a 1000 conejitos y supongamos que tenemos el mismo tipo de conejitos con la misma probabilidad de reproducción por lo tanto ya sabemos que r es igual a 0.1 por año entonces ahora para esta población de conejitos cuál será la tasa de crecimiento poblacional pausa en el vídeo y traten de descubrir bueno podemos decir que n de t es igual a la tasa de crecimiento poblacional per cápita que en este caso es 0.1 por año por la población neta es decir por 1000 conejitos así que mil por una décima es igual a 100 esto es igual a 100 conejitos por año espero que con esto les quede un poco más claro por qué son tan útiles este tipo de fórmulas que en realidad son relativamente sencillas observen que aunque esta es una anotación de cálculo muy extravagante simplemente nos dice que la tasa de cambio de nuestra población es igual a r por la población y en realidad esta es una ecuación diferencial porque si pensamos en cómo describe la población esto nos está diciendo que es una población que crece exponencialmente y a eso se le conoce como ecuación de crecimiento de exponencial lo escribiré crecimiento y exponencial en sus clases de matemáticas y de cálculo o incluso en pre cálculo estudiarán el crecimiento exponencial pero en una clase de biología solamente necesitamos pensar en cómo aplicar la ecuación pero si se preguntan qué es el crecimiento exponencial imagínense que tienen una población de conejos aquí tenemos el tiempo y este eje representa a la población al principio tenemos una cierta población aquí pero que después crecerá exponencialmente y entre más grande sea la erre la curva de crecimiento exponencial será más empinada ahora esto describe qué tanto pueden crecer las poblaciones si no son limitadas por el medio ambiente es decir si tienen suficiente terreno agua y comida como necesiten si esto fuera cierto en algún momento los conejos podrían ocupar toda la superficie de la tierra y del universo pero obviamente sabemos que eso no es realista porque cualquier ecosistema tiene una capacidad de carga natural es decir hay una cantidad limitada de comida y de terreno y en realidad habría tantos conejos que sería más fácil para los depredadores que se los pudieran comer pero eso lo platicaremos en el siguiente vídeo cómo podríamos adaptar la ecuación de crecimiento exponencial a una situación real si en algún momento la población estuviera alcanzando la capacidad de carga natural del medio ambiente