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Curso: Lecciones de química > Unidad 17
Lección 2: Relación entre las concentraciones y el tiempo de reacción- Reacciones de primer orden
- Reacción de primer orden (con cálculo)
- Graficar los datos para una reacción de primer orden
- Vida media de una reacción de primer orden
- Vida media y datación con carbono
- Ejemplo resuelto: usar la ley de velocidad integrada de primer orden y ecuaciones de vida media
- Reacciones de segundo orden
- Reacción de segundo orden (con cálculo)
- Vida media de una reacción de segundo orden
- Reacciones de orden cero
- Reacción de orden cero (con cálculo)
- Cinética del decaimiento radiactivo
- Respuesta libre 5 de Química AP 2015
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Cinética del decaimiento radiactivo
El núcleo de los elementos radiactivos decae de acuerdo con la cinética de primer orden. Como resultado, la ecuación de vida media y la ley de velocidad integrada para el decaimiento radiactivo se pueden derivar de las leyes de velocidad para las reacciones de primer orden. Las ecuaciones resultantes se pueden utilizar para encontrar la constante de velocidad k para un proceso de decaimiento y determinar la cantidad de isótopo radiactivo que resta después de cierto tiempo. Creado por Jay.
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Transcripción del video
El estroncio 90 es un isótopo radiactivo
que experimenta un decaimiento beta, debido a que el decaimiento radiactivo es un
proceso de primer orden, los isótopos radiactivos tienen vidas medias constantes. La vida media se
representa como t ½ y es el tiempo necesario para que decaiga la mitad de una muestra de un isótopo
radiactivo particular. Por ejemplo, la vida media del estroncio 90 es igual a 28.8 años. Digamos
que empezamos con 10 gramos de nuestro isótopo radiactivo estroncio 90. En el eje y vamos a
tener la masa de nuestro isótopo de estroncio en gramos y en el eje x tendremos el tiempo, así que
cuando el tiempo es igual a 0 tenemos 10 gramos de nuestro isótopo. Dado que la vida media del
estroncio 90 es de 28.8 años, si esperamos 28.8 años pasaremos de 10 gramos a 5 gramos. Entonces
el siguiente punto de nuestra gráfica será de 5 gramos, y este tiempo debería ser de 28.8 años.
Si esperamos otros 28.8 años vamos a pasar de 5 gramos a la mitad que es 2.5 gramos, entonces el
siguiente punto estaría aquí en 2.5. Si esperamos otros 28.8 años pasaremos de 2.5 gramos a 1.25
gramos, este punto está aproximadamente por aquí. Entonces esta gráfica muestra un decaimiento
exponencial. Digamos que nos piden que calculemos cuánto queda de nuestro isótopo radioactivo
estroncio después de 115.2 años. Lo que haremos es tomar 115.2 años y lo dividiremos entre la
vida media de 28.8 años, y al hacer eso nos damos cuenta de que en realidad 115.2 representa sólo
cuatro vidas medias. Entonces, un enfoque con el que podemos abordar este problema es comenzar con
nuestros 10 gramos y pensar que una vida media nos lleva a 5 gramos, otra vida media nos lleva a 2.5,
otra vida media nos lleva a 1.25 y finalmente una vida media más nos lleva a 0.625 gramos. Así que
resolviendo el problema de esta manera podemos ver que son una, dos, tres, cuatro vidas medias, de
modo que nuestro resultado final es 0.625 gramos después de 115.2 años. Otro enfoque para abordar
el mismo problema sería comenzar con nuestros 10 gramos y multiplicarlos por ½ para obtener la
cantidad restante después de una vida media, y podríamos hacer eso tres veces más para obtener
la cantidad que queda después de cuatro vidas medias. También podríamos haber escrito esto como
10 (½)⁴, ya que necesitamos esperar cuatro vidas medias. Todos estos enfoques nos darán el mismo
resultado de 0.625 gramos restantes de nuestro isótopo radioactivo después de 115.2 años.
Para una reacción química con el reactante A, que es de primer orden, la ley de velocidad
dice que la velocidad de reacción es igual a la constante de velocidad k multiplicada por la
concentración de A a la primera potencia. Dado que el decaimiento radioactivo es un proceso de
primer orden, podemos escribir que la tasa de decaimiento es igual a la constante de velocidad k
multiplicada por N elevada a la primera potencia, donde N es el número de núcleos radioactivos en
una muestra. Y también debido a que el decaimiento radioactivo es un proceso de primer orden podemos
usar esta ecuación para la constante de velocidad, que proviene de la cinética de primer orden, la
cual dice que la constante de velocidad k es igual a 0.693 dividido entre la vida media. Por ejemplo,
si quisiéramos encontrar la constante de velocidad para el decaimiento radioactivo del estroncio 90
sería igual a 0.690 dividido entre la vida media del estroncio 90, que vimos que es de 28.8 años.
Entonces, después de realizar esta operación, encontramos que k = 0.0241 por 1 sobre años.
Otra ecuación de la cinética de primer orden es la ley de velocidad integrada para una reacción
de primer orden, y la ley de velocidad integrada dice que el logaritmo natural de la concentración
del reactante A en algún momento t es igual a -kt más el logaritmo natural de la concentración
inicial del reactante A. Como estamos usando N, que es el número de núcleos radioactivos en
nuestra muestra en lugar de la concentración de A, podemos escribir la ley de velocidad integrada
para nuestro proceso de decaimiento radioactivo de primer orden, que dice que el logaritmo natural
del número de núcleos radioactivos en algún momento t es igual a -kt más el logaritmo natural
del número inicial de núcleos radioactivos. Digamos que empezamos con 1.000 gramos de
nuestro isótopo radioactivo de estroncio 90, y nuestro objetivo es calcular cuánto queda
después de 2 años. Entonces vamos a esperar 2 años y calcular cuánto queda de nuestro isótopo
radioactivo, de modo que usaremos nuestra ecuación para la ley de la velocidad integrada. Vamos a
usar lo que sabemos: ya conocemos el valor de k, lo calculamos en nuestro problema anterior,
así que podemos escribir esto como menos k ,que es 0.0241; también sabemos qué periodo de
tiempo nos interesa, sabemos que t = 2 años, así que escribimos 2.00 aquí para el tiempo. A
continuación sumamos el logaritmo natural del número inicial de núcleos radioactivos de nuestra
muestra, aunque no tenemos el número inicial tenemos la masa, y como la masa es proporcional
al número de núcleos radioactivos está bien poner eso en nuestra ecuación. Así que vamos a sumar
el logaritmo natural de 1, y todo esto es igual al logaritmo natural del número inicial de núcleos
radioactivos en algún momento t. Entonces tenemos el logaritmo natural de esto, el logaritmo natural
de 1 es 0, así que ahora tenemos que el logaritmo natural de N es igual a... Y si resolvemos estas
operaciones matemáticas obtendremos -0.0482. A continuación tenemos que deshacernos del logaritmo
natural, y podemos hacer eso tomando e en ambos lados. Entonces, si tomamos e en ambos lados
el logaritmo natural se cancela y obtenemos que N = 0.953 gramos. De modo que esto es lo que queda
de nuestro isótopo radioactivo después de 2 años.