Cinética del decaimiento radiactivo

El estroncio 90 es un isótopo radiactivo  que experimenta un decaimiento beta,   debido a que el decaimiento radiactivo es un  proceso de primer orden, los isótopos radiactivos   tienen vidas medias constantes. La vida media se  representa como t ½ y es el tiempo necesario para   que decaiga la mitad de una muestra de un isótopo  radiactivo particular. Por ejemplo, la vida media   del estroncio 90 es igual a 28.8 años. Digamos  que empezamos con 10 gramos de nuestro isótopo   radiactivo estroncio 90. En el eje y vamos a  tener la masa de nuestro isótopo de estroncio en   gramos y en el eje x tendremos el tiempo, así que  cuando el tiempo es igual a 0 tenemos 10 gramos   de nuestro isótopo. Dado que la vida media del  estroncio 90 es de 28.8 años, si esperamos 28.8   años pasaremos de 10 gramos a 5 gramos. Entonces  el siguiente punto de nuestra gráfica será de 5   gramos, y este tiempo debería ser de 28.8 años.  Si esperamos otros 28.8 años vamos a pasar de 5   gramos a la mitad que es 2.5 gramos, entonces el  siguiente punto estaría aquí en 2.5. Si esperamos   otros 28.8 años pasaremos de 2.5 gramos a 1.25  gramos, este punto está aproximadamente por   aquí. Entonces esta gráfica muestra un decaimiento  exponencial. Digamos que nos piden que calculemos   cuánto queda de nuestro isótopo radioactivo  estroncio después de 115.2 años. Lo que haremos   es tomar 115.2 años y lo dividiremos entre la  vida media de 28.8 años, y al hacer eso nos damos   cuenta de que en realidad 115.2 representa sólo  cuatro vidas medias. Entonces, un enfoque con el   que podemos abordar este problema es comenzar con  nuestros 10 gramos y pensar que una vida media nos   lleva a 5 gramos, otra vida media nos lleva a 2.5,  otra vida media nos lleva a 1.25 y finalmente una   vida media más nos lleva a 0.625 gramos. Así que  resolviendo el problema de esta manera podemos ver   que son una, dos, tres, cuatro vidas medias, de  modo que nuestro resultado final es 0.625 gramos   después de 115.2 años. Otro enfoque para abordar  el mismo problema sería comenzar con nuestros 10   gramos y multiplicarlos por ½ para obtener la  cantidad restante después de una vida media,   y podríamos hacer eso tres veces más para obtener  la cantidad que queda después de cuatro vidas   medias. También podríamos haber escrito esto como  10 (½)⁴, ya que necesitamos esperar cuatro vidas   medias. Todos estos enfoques nos darán el mismo  resultado de 0.625 gramos restantes de nuestro   isótopo radioactivo después de 115.2 años.  Para una reacción química con el reactante A,   que es de primer orden, la ley de velocidad  dice que la velocidad de reacción es igual a   la constante de velocidad k multiplicada por la  concentración de A a la primera potencia. Dado   que el decaimiento radioactivo es un proceso de  primer orden, podemos escribir que la tasa de   decaimiento es igual a la constante de velocidad k  multiplicada por N elevada a la primera potencia,   donde N es el número de núcleos radioactivos en  una muestra. Y también debido a que el decaimiento   radioactivo es un proceso de primer orden podemos  usar esta ecuación para la constante de velocidad,   que proviene de la cinética de primer orden, la  cual dice que la constante de velocidad k es igual   a 0.693 dividido entre la vida media. Por ejemplo,  si quisiéramos encontrar la constante de velocidad   para el decaimiento radioactivo del estroncio 90  sería igual a 0.690 dividido entre la vida media   del estroncio 90, que vimos que es de 28.8 años.  Entonces, después de realizar esta operación,   encontramos que k = 0.0241 por 1 sobre años.  Otra ecuación de la cinética de primer orden   es la ley de velocidad integrada para una reacción  de primer orden, y la ley de velocidad integrada   dice que el logaritmo natural de la concentración  del reactante A en algún momento t es igual a -kt   más el logaritmo natural de la concentración  inicial del reactante A. Como estamos usando N,   que es el número de núcleos radioactivos en  nuestra muestra en lugar de la concentración de A,   podemos escribir la ley de velocidad integrada  para nuestro proceso de decaimiento radioactivo   de primer orden, que dice que el logaritmo natural  del número de núcleos radioactivos en algún   momento t es igual a -kt más el logaritmo natural  del número inicial de núcleos radioactivos.   Digamos que empezamos con 1.000 gramos de  nuestro isótopo radioactivo de estroncio 90,   y nuestro objetivo es calcular cuánto queda  después de 2 años. Entonces vamos a esperar   2 años y calcular cuánto queda de nuestro isótopo  radioactivo, de modo que usaremos nuestra ecuación   para la ley de la velocidad integrada. Vamos a  usar lo que sabemos: ya conocemos el valor de k,   lo calculamos en nuestro problema anterior,  así que podemos escribir esto como menos k   ,que es 0.0241; también sabemos qué periodo de  tiempo nos interesa, sabemos que t = 2 años,   así que escribimos 2.00 aquí para el tiempo. A  continuación sumamos el logaritmo natural del   número inicial de núcleos radioactivos de nuestra  muestra, aunque no tenemos el número inicial   tenemos la masa, y como la masa es proporcional  al número de núcleos radioactivos está bien poner   eso en nuestra ecuación. Así que vamos a sumar  el logaritmo natural de 1, y todo esto es igual   al logaritmo natural del número inicial de núcleos  radioactivos en algún momento t. Entonces tenemos   el logaritmo natural de esto, el logaritmo natural  de 1 es 0, así que ahora tenemos que el logaritmo   natural de N es igual a... Y si resolvemos estas  operaciones matemáticas obtendremos -0.0482. A   continuación tenemos que deshacernos del logaritmo  natural, y podemos hacer eso tomando e en ambos   lados. Entonces, si tomamos e en ambos lados  el logaritmo natural se cancela y obtenemos que   N = 0.953 gramos. De modo que esto es lo que queda  de nuestro isótopo radioactivo después de 2 años.