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Curso: Lecciones de física > Unidad 2

Lección 1: El movimiento de un proyectil en dos dimensiones

¿Qué es el movimiento de un proyectil en 2D?

Aprende acerca de cómo las cosas vuelan por el aire.

¿Qué es un proyectil en 2D?

En un ataque de ira inducido por fructosa, decides lanzar por los aires un limón que sigue la curva punteada que mostramos en el siguiente diagrama. En este caso, consideramos que el limón es un proyectil bidimensional, pues está volando por el aire tanto vertical como horizontalmente, y se encuentra únicamente bajo la influencia de la gravedad.

Sí. Todos los objetos que se mueven por el aire experimentan cierta cantidad de resistencia. Sin embargo, lidiar con ella puede ser complicado, así que típicamente vamos a suponer que la fuerza debida a la resistencia del aire es despreciable (es decir, es suficientemente pequeña como para ignorarla). Esta aproximación no siempre es buena, pero funciona muy bien para objetos cuyos pesos son grandes en comparación con dicha fuerza.

Ten en mente que la fuerza sobre un objeto debida a la resistencia del aire se vuelve más y más grande conforme aumenta la rapidez del objeto. Así que típicamente consideraremos situaciones donde la velocidad del objeto es lo suficientemente pequeña para que la resistencia del aire siga siendo despreciable.

Como la fuerza gravitacional jala hacia abajo, la gravedad solo afectará la componente vertical de la velocidad del limón,

v_{y}

. La componente horizontal,

v_{x}

, no se verá afectada y se mantendrá constante a medida que el limón se mueva a lo largo de su trayectoria.

Intenta deslizar el punto en el diagrama mostrado a continuación para ver que la velocidad vertical

v_{y}

cambia, pero la velocidad horizontal

v_{x}

permanece constante.

Verificación de conceptos: a la altura máxima de la trayectoria del limón, ¿cuál es el valor de la componente vertical de la velocidad?

¿Cómo manejamos matemáticamente el movimiento de un proyectil en 2D?

Una de las formas más fáciles de lidiar con el movimiento de un proyectil en 2D es analizar el movimiento en cada dimensión de forma separada. En otras palabras, usaremos un conjunto de ecuaciones para describir el movimiento horizontal del limón y otro conjunto de ecuaciones para describir el movimiento vertical. Esto convierte un problema difícil en 2D en dos problemas más sencillos en 1D. Podemos hacer esto porque el cambio en la velocidad vertical del limón no afecta su velocidad horizontal. Del manera parecida, lanzar el limón con una velocidad horizontal grande no afecta su aceleración vertical. En otras palabras, si disparas una bala horizontalmente y dejas caer otra en el mismo instante, golpearán el suelo al mismo tiempo.

Sí. Esta idea es, sin duda, contraria a la intuición para muchas personas, pero si la resistencia del aire es despreciable, y la bala es disparada de forma exactamente horizontal, entonces la bala disparada golpeará el suelo al mismo tiempo que la bala soltada.

La razón es que su velocidad horizontal no afecta su aceleración vertical, por lo que ambas balas sufren el mismo cambio en sus velocidades verticales en la misma cantidad de tiempo (es decir, el hecho de que una bala tenga velocidad vertical no cambia la razón a la cual se mueve horizontalmente).

Dirección horizontal:

No hay aceleración en la dirección horizontal, ya que la gravedad no jala el proyectil hacia los lados, solo hacia abajo. La resistencia del aire provocaría una aceleración horizontal, frenando el movimiento horizontal, pero como solo vamos a considerar casos donde la resistencia del aire es despreciable, podemos suponer que la velocidad horizontal es constante para un proyectil.

Así que para la dirección horizontal podemos usar la siguiente ecuación:

Δ x = v_{x} t

Siempre que la velocidad sea constante en una dirección dada podemos usar

Δ x = v t

para encontrar qué tan lejos se mueve el objeto en esa dirección.

Otra manera de pensarlo es que la velocidad horizontal constante significa que

a_{x} = 0

. Así que si sustituimos

a_{x} = 0

en la fórmula cinemática

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

simplemente obtenemos

Δ x = v_{0 x} t

. Y en realidad no tenemos que llamarla la velocidad inicial horizontal, ya que la velocidad horizontal es constante. Al reemplazar

v_{0 x}

con

v_{x}

obtenemos nuevamente

Δ x = v_{x} t

Nota: asegúrate de sustituir solo variables horizontales en esta ecuación. Si conocemos dos de las variables de esta ecuación, podemos resolver para la incógnita restante.

Dirección vertical:

Los proyectiles bidimensionales experimentan una aceleración constante hacia abajo debida a la gravedad de

a_{y} = - 9.8 \frac{m}{s^{2}}

. Como la aceleración vertical es constante, podemos resolver para una variable vertical utilizando alguna de las cuatro fórmulas cinemáticas que se muestran a continuación.

1. v_{y} = v_{0 y} + a_{y} t

2. Δ y = (\frac{v_{y} + v_{0 y}}{2}) t

3. Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

4. v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y

Asegúrate de sustituir solo variables verticales en estas ecuaciones. Si conocemos tres de las variables en estas ecuaciones, podemos resolver para cualquiera de las incógnitas restantes.

Nota: para un proceso dado, el intervalo de tiempo

t

tiene el mismo valor en las ecuaciones horizontales y verticales. Esto significa que si alguna vez resolvemos para el tiempo

t

, podemos sustituirlo

tanto en las ecuaciones para la dirección horizontal como para la vertical. Esta estrategia se usa en muchos problemas. A menudo, usamos las ecuaciones verticales para determinar el tiempo

t

, y luego sustituimos ese tiempo en la ecuación horizontal (o viceversa).

¿Qué es confuso acerca del movimiento de un proyectil en 2D?

La gente muchas veces trata de sustituir las componentes verticales en una ecuación horizontal, o viceversa. Analizar de forma independiente cada dirección (horizontal y vertical) de un proyectil solo funciona si las mantienes en su propia ecuación (

x

y

Las velocidades iniciales que están dirigidas diagonalmente tendrán que separarse en las componentes horizontal y vertical. La gente a veces tiene dificultades al separar un vector de velocidad en sus componentes. Mira este artículo para obtener ayuda con la trigonometría necesaria para separar vectores en componentes.

Cuando un proyectil le lanza horizontalmente, la velocidad inicial vertical es cero

v_{0 y} = 0

(ve el ejemplo 1 a continuación). Muchos estudiantes tienen dificultades para entender que un objeto puede empezar con una componente horizontal de velocidad, y tener cero como componente vertical de velocidad.

¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran el movimiento de un proyectil en 2D?

Ejemplo 1: un globo con agua lanzado horizontalmente

Un globo con agua se lanza horizontalmente con una velocidad de

v_{0} = 8.31 \frac{m}{s}

desde el techo de un edificio de altura

H = 23.0 m

¿Qué tan lejos viaja el globo horizontalmente antes de golpear el suelo?

Podemos empezar por dibujar un diagrama que incluya las variables dadas.

Una vez que encontremos el tiempo de vuelo

t

, seremos capaces de resolver para el desplazamiento horizontal al usar

Δ x = v_{x} t

. Para encontrar el tiempo, considera el hecho de que conocemos tres variables en la dirección vertical (

Δ y = - 23.0 m

v_{0 y} = 0

a = - 9.8 \frac{m}{s^{2}}

La componente vertical de la velocidad inicial es cero (

v_{0 y} = 0

), pues el globo fue lanzado al comienzo de forma horizontal. Para tener una componente vertical de velocidad inicial, el globo debería haber sido lanzado al comienzo de manera diagonal, en un ángulo hacia arriba o hacia abajo.

El desplazamiento vertical es

- 23 m

ya que el globo cayó hacia abajo a través de toda la altura del edificio.

La aceleración de un proyectil en la dirección vertical es siempre la aceleración debida a la gravedad,

a_{y} = - g = - 9.8 \frac{m}{s^{2}}

Entonces usaremos una fórmula cinemática en la dirección vertical para resolver para el tiempo

t

. No conocemos la velocidad final

v_{y}

, y no se nos preguntó por la velocidad final

v_{y}

, por lo que usaremos la fórmula cinemática vertical que no incluye la velocidad final.

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (Usa la fórmula cinemática vertical que no incluye la velocidad final) .

- H = (0) t + \frac{1}{2} (- g) t^{2} (Sustituye los valores verticales conocidos) .

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}} (Resuelve simbólicamente para el tiempo t) .

t = \sqrt{\frac{2 (- 23.0 m)}{- 9.8 \frac{m}{s^{2}}}} = 2.17 s (Sustituye los valores numéricos y encuentra el tiempo de vuelo) .

Ahora necesitamos sustituir este tiempo

t

en la ecuación para la dirección horizontal para encontrar el desplazamiento horizontal

Δ x

Δ x = v_{x} t (Usa la ecuación para el desplazamiento horizontal) .

Δ x = (8.31 \frac{m}{s}) (2.17 s) (Sustituye el tiempo de vuelo y v_{x}) .

Encontramos el tiempo de vuelo

t = 2.17 s

con el cálculo de arriba usando las ecuaciones verticales.

La magnitud de la componente horizontal de la velocidad inicial es igual a toda la velocidad total,

8.31 \frac{m}{s}

, ya que el globo con agua se lanzó horizontalmente al comienzo. Si el globo con agua se lanzara en un ángulo hacia arriba o hacia abajo, tendríamos que usar trigonometría para calcular la componente horizontal de la velocidad inicial.

Δ x = 18.0 m (Calcula y celebra) .

Entonces el globo con agua golpeó el suelo a una distancia horizontal de

18.0 m

desde el borde del edificio.

Sí, y resolver problemas simbólicamente es fantástico, porque al hacerlo resuelves esencialmente todos los problemas posibles de ese tipo.

Por ejemplo, si sustituimos la expresión simbólica para el tiempo,

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}}

, y la velocidad inicial

v_{0}

en la fórmula para el desplazamiento horizontal,

Δ x = v_{x} t

, obtendremos la siguiente fórmula:

Δ x = v_{0} \sqrt{\frac{2 H}{g}}

Esta fórmula funcionará para cualquier proyectil lanzado de manera horizontal a cualquier velocidad

v_{0}

desde la orilla de un edificio de altura

H

. Solo necesitamos sustituir la altura y la velocidad inicial para nuestro problema particular y esta fórmula nos dará la respuesta de qué tan lejos viajará el proyectil de manera horizontal antes de golpear el suelo.

Ejemplo 2: una calabaza lanzada en un ángulo

Se usa un cañón de aire para lanzar una calabaza de un precipicio que tiene una altura de

H = 18.0 m

con una rapidez inicial

v_{0} = 11.4 \frac{m}{s}

a un ángulo de

θ = {52.1}^{\circ}

como se muestra en el diagrama a continuación.

¿Cuál es la rapidez de la calabaza justo antes de que golpee el suelo?

Seremos capaces de determinar la rapidez final de la calabaza si podemos determinar las componentes de la velocidad final (

v_{x}

v_{y}

Estamos buscando la velocidad de la calabaza justo antes de que golpee el suelo, así que no supondremos que la velocidad final es cero.

Además, cuando la calabaza golpee el suelo, su aceleración ya no será

a_{y} = - 9.8 \frac{m}{s^{2}}

, puesto que la colisión causará una enorme aceleración desconocida. Las fórmulas cinemáticas solo son ciertas para intervalos de tiempo donde la aceleración es constante. Esto significa que usualmente no incluimos el tiempo cuando el proyectil toca el suelo, ya que típicamente no tenemos información acerca de la aceleración durante ese tiempo.

Antes de que podamos hacer esto, tendremos que encontrar las componentes de la velocidad inicial (

v_{0 x}

v_{0 y}

) usando las definiciones del seno y del coseno.

cos θ = \frac{cateto adyacente}{hipotenusa} = \frac{v_{0 x}}{v_{0}} (Usa la definición del coseno) .

v_{0 x} = v_{0} cos θ (Resuelve para v_{0 x}) .

v_{0 x} = (11.4 \frac{m}{s}) cos ({52.1}^{\circ}) (Sustituye los valores numéricos).

v_{0 x} = 7.00 \frac{m}{s} (Haz los cálculos para encontrar v_{0 x}) .

(Nota: si esto te pareció como brujería matemática indescifrable, revisa este artículo para obtener ayuda sobre cómo separar un vector en sus componentes).

Este valor que encontramos para la componente horizontal de la velocidad inicial,

v_{0 x} = 7.00 \frac{m}{s}

, también será la componente horizontal de la velocidad final,

v_{x} = 7.00 \frac{m}{s}

, puesto que la componente horizontal de la velocidad permanece constante durante todo el vuelo (suponiendo que no hay resistencia del aire).

Para encontrar la componente vertical de la velocidad inicial usaremos el mismo procedimiento de arriba, pero con el seno en vez del coseno.

sin θ = \frac{cateto opuesto}{hipotenusa} = \frac{v_{0 y}}{v_{0}} (Usa la definición del seno) .

v_{0 y} = v_{0} sin θ (Resuelve para v_{0 y}) .

v_{0 y} = (11.4 \frac{m}{s}) sin ({52.1}^{\circ}) (Sustituye los valores numéricos).

v_{0 y} = 9.00 \frac{m}{s} (Haz los cálculos para encontrar v_{0 y}) .

Como la componente vertical de la velocidad,

v_{y}

, cambia para un proyectil a medida que se mueve por el aire, tendremos que resolver para la componente vertical de la velocidad final,

v_{y}

, usando la fórmula cinemática para la dirección vertical. Como no conocemos el tiempo de vuelo

t

, y no nos pidieron encontrar

t

, usaremos la fórmula cinemática vertical que no incluye el tiempo

t

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y (Usa la fórmula cinemática que no incluye el tiempo) .

v_{y}^{2} = (9.00 \frac{m}{s})^{2} + 2 (- 9.8 \frac{m}{s^{2}}) (- 18 m) (Sustituye los valores conocidos) .

v_{y}^{2} = 434 \frac{m^{2}}{s^{2}} (Calcula) .

v_{y} = \pm \sqrt{434 \frac{m^{2}}{s^{2}}} = \pm 20.8 \frac{m}{s} (Saca la raíz cuadrada) .

v_{y} = - 20.8 \frac{m}{s} (Escoge la raíz negativa ya que la calabaza se estará dirigiendo hacia abajo) .

Ahora que conocemos las componentes horizontal y vertical de la velocidad final, podemos usar el teorema de Pitágoras para determinar la rapidez final (es decir, la magnitud de la velocidad final).

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (Usa el teorema de Pitágoras) .

v^{2} = (7.00 \frac{m}{s})^{2} + (- 20.8 \frac{m}{s})^{2} (Sustituye las componentes horizontal y vertical de la velocidad final) .

v^{2} = 482 \frac{m^{2}}{s^{2}} (Calcula) .

v = 21.9 \frac{m}{s} (Saca una raíz cuadrada) .

Esta rapidez de

v = 21.9 \frac{m}{s}

es la magnitud de la velocidad final de la calabaza justo antes de que golpee el suelo. La relación entre la velocidad final y sus componentes se muestra en el diagrama a continuación.

También podríamos haber resuelto para el ángulo

ϕ

de la velocidad final usando la definición de la tangente.

tan ϕ = \frac{cateto opuesto}{cateto adyacente} = \frac{v_{y}}{v_{x}}

tan ϕ = \frac{20.8 \frac{m}{s}}{7.00 \frac{m}{s}}

Solo vamos a resolver para la magnitud del ángulo entre la horizontal y la velocidad final, así que solo vamos a sustituir las magnitudes de las velocidades horizontal y vertical.

La razón por la que hacemos esto es que la calculadora a menudo no puede determinar si el signo negativo vino del numerador o el denominador de la tangente, lo que la hace poco confiable para decirnos en qué cuadrante se encuentra el ángulo. Para evitarnos el problema del signo negativo, podemos simplemente dibujar en qué dirección apunta la velocidad final, tratar los lados del triángulo de velocidad/componentes de la velocidad como positivos, y entonces encontrar la magnitud del ángulo deseado.

Ahora, tomando la tangente inversa en ambos lados, obtenemos: