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La magnitud exponencial compleja

Una mirada más cercana al término de la exponencial compleja en la fórmula de Euler. En este video vemos que el término representa un número complejo a una distancia de 1 unidad al origen del plano complejo. Creado por Willy McAllister.

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Transcripción del video

en este vídeo vamos a hablar sobre este fantástico número que es el a la j omega t y algo genial que vamos a hacer es usar todo lo que sabemos sobre números complejos esta forma exponencial de números complejos y senos y cosenos como función del tiempo y vamos a finalizar con la idea de un número que gira creo que esto es algo genial con respecto a la electrónica y es la esencia de la teoría de procesamiento de señales este número de acá y al aj por omega t se basa en la fórmula de hoy leer y recordemos que la fórmula de hoy leer es que a la jota por teta que es nuestra variable es igual a coseno detecta más j por el seno de teta esta es una forma de la fórmula de hoy leer la otra forma es con el negativo en el exponente es la menos jt está igual a coseno detectan menos jota por el seno de teta si gráfica mos esto va a lucir más o menos así sí gráfica mos esto en un plano complejo que es un plano que tiene un eje real y un eje imaginario ahora recordemos que j es la variable que usamos para indicar la unidad imaginaria j al cuadrado es igual a menos 1 y la usamos en ingeniería eléctrica en lugar de la y una forma de expresar este número es graficándolo en este plano complejo si yo ubico un número complejo en este plano por ejemplo aquí y dijo que la coordenada horizontal es este coseno de teta y este valor en el eje vertical es el seno de teta y si dibujo una línea hacia nuestro número este será el ángulo theta así que esta es una representación de los números complejos y así también podemos graficar esta fórmula de hoy leer en su forma exponencial así que podemos representarla así también sé que esta anotación es un poco complicada al ver esto no puedo evitar ver que tenemos una exponencial que se eleva a un número imaginario y todo lo que yo sé sobre exponencial es como que me confunde con esto pero con el tiempo lo que he aprendido a hacer es decir bueno tengo el elevado a cualquier cosa toda esa cosa es un número complejo y es así como luce un número complejo así que veamos algunas propiedades de este número complejo una de las cosas que nos podemos preguntar es cuál es la magnitud de esta es elevado a la jota por theta ponemos nuestro símbolo de magnitud de aquí y esto significa cuál es el valor que tiene esto está r y podemos calcularla usando el teorema de pitágoras sabemos que esto al cuadrado va a ser igual el valor horizontal al cuadrado que es el coseno más el valor vertical al cuadrado que es seno es igual al coseno cuadrado de teta más el seno cuadrado de teta acabamos de aplicar el teorema de pitágoras ya que este es un triángulo rectángulo nosotros por trigonometría sabemos cuál es el valor de esto el coseno al cuadrado más el seno al cuadrado para cualquier ángulo siempre va a ser igual a 1 y esto nos dice que la magnitud de el elevado a la jota por theta al cuadrado va a ser igual a 1 o que la magnitud del elevado a la jota por theta va a ser igual a 1 también así que lo escribimos la magnitud de la jota por theta es igual a 1 si regresamos aquí arriba esperamos que la longitud de este vector que es un número complejo está a una distancia de una unidad a partir del origen así que sabemos que la magnitud de a la jota por theta es igual a 1 de hecho podemos ir acá y dibujar un círculo más o menos así aquí tenemos el círculo unitario cuyo radio es igual a 1 así que yo sé que para cualquier valor de e j por theta va a estar en algún lugar de este círculo amarillo de este círculo amarillo así que a la j por theta va a estar en algún lugar de este círculo amarillo y el ángulo teta esto que está aquí va a ser igual a cualquier cosa que esté multiplicando a jota aquí en el exponente cualquier cosa que esté multiplicando a jota va a ser el ángulo theta y qué tal si yo quisiera algo que no se encuentra en el círculo unitario algo que esté más alejado del origen pues lo que voy a hacer es tomar a que es una amplitud cualquiera multiplicada por el elevado a la jota por theta y esta amplitud va a expandir la longitud de este vector si yo quisiera saber qué tan lejos está la magnitud de la jota por theta es 1 y la magnitud de a esa así que esto es igual a aa si yo fuera a dibujar un círculo para esto digo que es un poco más grande que uno y esto de aquí tendrá un valor de a el radio de este círculo será igual a a es una notación bastante flexible y con esta anotación podremos representar cualquier número en el plano complejo con este formato de aquí hasta aquí vamos a llegar en este vídeo en el siguiente vídeo cambiaremos theta por un argumento que tiene que ver con el tiempo y vamos a ver qué sucede con esta exponencial compleja