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El spin de los complejos exponenciales

Cuando ponemos el tiempo en el exponente de una exponencial compleja, el número complejo que representa rota alrededor de un círculo en el plano complejo. Puedes pensar que ¡es un número giratorio! Creado por Willy McAllister.

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Transcripción del video

en el vídeo pasado dimos un repaso de lo que es el exponencial y vimos cuál es la magnitud de una exponencial la magnitud de un exponencial es igual a 1 ahora veremos con más detalle este exponencial complejo y cómo es que representa parte de un coche no seguiremos combinando algunas de las ideas que hemos visto en los vídeos pasados recuerden que una de las cosas que hicimos fue usar la fórmula de oyler la volteamos y encontramos una expresión para el coseno por lo que puedo decir que el coche no de teta es igual a un medio que multiplica a elevado a la j teta positivo más el elevado a la menos j teta este es el coste no de teta expresado como dos exponenciales separados ahora realizaremos un paso importante ya que voy a poner un argumento aquí que incluye al tiempo voy a decir que el coseno de omega t de ese tiempo y este símbolo de aquí es la letra griega minúscula omega y representa la frecuencia el tiempo tiene unidad de segundos y la frecuencia tiene unidades de hertz o 1 entre segundos cuando éstas se multiplican vamos a tener un número sin dimensión y podremos obtener el coseno de este número sin dimensión y esto va a ser igual a un medio que multiplica a la j omega t positivo más y elevado a la menos j omega t cuando hacemos que te sea el argumento de este coseno de aquí que es aquello que va a seguir aumentando siempre el tiempo siempre va a incrementarse constantemente así que vamos a terminar con una honda tipo coseno la dibujamos más o menos así y esta es una onda coseno que continúa por siempre así que tenemos una idea de cómo luce una onda coseno la frecuencia va a determinar qué tan rápido sube y baja esto pero ahora lo que quiero hacer es ver algo muy especial quiero ver qué es esto de ala j omega t y vemos que este coseno de aquí está representado con dos de estas cosas así que cualquiera que sean estas cosas yo sé que puedo hacer un coseno con ellas así que vamos a ver en detalle qué es esto de e a la j omega t sabemos que este es un número complejo así que vamos a dibujarlo aquí dibujo mis ejes ordenados y voy a poner mi círculo unitario este es mi eje real y este es mi eje imaginario vamos a poner un número por acá y sabemos que cae en el círculo unitario sabemos que su ángulo es cualquier cosa que esté multiplicando a nuestra jota aquí lo que esté en el exponente multiplicando a la jota es el ángulo de este número este ángulo es omega t y conocemos la magnitud de esto que como vimos anteriormente es igual a 1 es por eso que esto está en el círculo unitario y ahora veamos que tenemos esta letra t que nos determina el ángulo esto quiere decir que el ángulo va a aumentar conforme pase el tiempo si el tiempo es igual a 0 el punto estará aquí ya que el ángulo es cero cuando t es igual a cero conforme pasa el tiempo el ángulo va a comenzar a crecer y a crecer cada vez más básicamente sigue aumentando cada vez más y más y más y regresa a este punto después de que t es igual a 2 por pi y luego que sucede pues esto sigue aumentando esto se sigue incrementando y esto va a estar girando durante todo el paso del tiempo así que tenemos este número complejo que se está moviendo sobre el círculo unitario durante el tiempo una y otra y otra vez así que este es un número que está rotando así que aquí escribo que es a la j omega t y yo sé que este número por tener a t aquí va a estar rotando conforme pasa el tiempo ahora voy a dibujar otro número aquí digamos que este otro número va a comenzar en cero y este número va a ser el ala menos j omega t este es este número de aquí así que cuando te es igual a cero tenemos el ángulo igual a cero aquí y él va a ser igual a uno pero ahora conforme avanza el tiempo o aumenta el tiempo el ángulo o lo que está multiplicando a jota es menos omega t por lo que el ángulo se volverá más negativo cada vez así que después de que transcurre algo de tiempo estará acá y cuando pasa más tiempo va a estar acá y lo que notamos es que va a estar rotando en este sentido esto es lo que sucede cuando tenemos a la menos j o mega te va a estar rotando en esta dirección y va a seguir así cada vez más estos números son bastante parecidos en su comportamiento con la diferencia de que uno va a rotar en sentido antihorario y el otro va a rotar en sentido horario en resumen si se encuentra en cualquiera de estas cantidades y al aj omega t positivo o ea la menos j omega t lo que les debe venir a la mente es un número que gira para mí es una idea sencilla tengo estos dos números y cada uno de ellos va a girar en el espacio complejo y para representar los connotación matemática necesito esta anotación aquí que es un poco rara pero nos acostumbramos a ella que a la j omega t es un número que gira y hala - j omega t también es un número que gira esta es una idea muy poderosa y podremos escribir cualquier señal que ocurra con estos términos