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Números complejos

Podemos representar los números complejos de tres maneras en el plano complejo: coordenadas cartesianas, radio y ángulo, y forma exponencial. Creado por Willy McAllister.

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Transcripción del video

en este vídeo vamos a hacer un repaso de los números complejos si ustedes ya estudiaron algo de números complejos en el pasado con esto van a desempolvar un poco sus conocimientos además de que nos ayudará a explicar por qué usamos números complejos en ingeniería eléctrica si los números complejos son nuevos para ustedes los invito a que vayan a khan academy y vean los vídeos que tenemos sobre números complejos estos se encontrarán en la sección de álgebra 2 comencemos los números complejos se basan en el concepto del número imaginario j en ingeniería eléctrica usamos jota en lugar de y porque usamos y para referirnos a la corriente j al cuadrado va a ser igual a menos 1 esta es la definición de j y con esto nos referimos a un número imaginario es un concepto muy útil para la ingeniería eléctrica ahora con esta definición de número imaginario vamos a definir un número complejo que normalmente usamos la letra zeta para denominarlo nuestro número complejo va a tener una parte real que llamamos equis y va a tener una parte imaginaria que le llamamos j y la j está explícita aquí esta es la parte imaginaria de nuestro número y esta es la parte real de nuestro número complejo z con base en cómo luce este número nos sugiere que probablemente podamos graficar lo en un plano bidimensional que le vamos a llamar el plano complejo el plano complejo luce así vamos a graficar dos partes la parte real va aquí y la parte imaginaria va acá la parte real va en el eje horizontal y la parte imaginaria va en el eje vertical y este es nuestro plano complejo si yo tengo un número complejo z lo puedo representar en este plano básicamente así recorre una distancia x sobre este eje y voy hacia arriba una distancia y esto me va a dar un número imaginario zeta ceta es la ubicación en este espacio complejo y esta es una representación de un número complejo otra forma común de representar un número complejo es dibujar una línea a partir del origen hasta el punto z aquí básicamente tenemos un radio r que va del origen hasta la z y se mide con cierto ángulo t está aquí en rojo tenemos a raya teta y en azul tenemos a xy allí estas son dos maneras de representar exactamente al mismo número z aquí puedo decir que z es igual a r con cierto ángulo teta y ahora podemos ver cómo pasar de r contenta a xy yen y viceversa una forma de hacerlo es usando trigonometría simple digamos que conocemos a r esta distancia de aquí x es igual al coseno de teta por la distancia r r coseno de teta así que x es igual a r por coseno de teta si yo quiero encontrar la distancia y conozco la r esta es la distancia y puedo decir que es igual a r por el seno de teta y es igual r por el seno de teta si conozco a r&a teta es así como obtengo a x y allí ahora veamos el lado opuesto supongamos que conocemos x y xi y quiero conocer el rey teta aquí tenemos un triángulo rectángulo por lo que usó el teorema de pitágoras r al cuadrado es igual a x al cuadrado y al cuadrado y si quiero encontrar el ángulo theta voy a usar otro poco de trigonometría la tangente es el lado opuesto entre el lado adyacente el opuesto entre el adyacente es entre x por lo que la tangente de teta es igual ayer entre x si quieren resolverlo en su calculadora van a poner que teta es igual a la tangente inversa de g entre x aquí tenemos dos conversiones entre dos formas diferentes de representar al mismo número complejo queremos usar estas conversiones y queremos pasar a cualquiera de estas representaciones y pasar de una a otra sin problema hay una tercera representación que nos va a ser bastante útil lo que voy a hacer es tomar esta xy está allí y sustituirla en esta forma rectangular de representar acepta y nos queda que z es igual a r por el coseno de teta y es igual a r por el seno detecta voy a factorizar la r r porsche no detecta con una jota en frente escribo más jota porsche no detecta si ven con cuidado esta expresión de acá se dan cuenta de que esto es una de las fórmulas de hoy les puedo reescribir acepta como r por e a la jota teta y a esto se le conoce como la forma exponencial de un número complejo qué significa todo esto esto es exactamente lo mismo que esto y esta es una de las dos formas de representar a un número complejo así que esta r por el a la j teta es este número z es un número complejo que se encuentra a un radio r del origen y con un ángulo theta es a lo que nos referimos cuando vemos ha elevado a la jota por algo es una representación de un número complejo esta forma nos va a ser particularmente útil porque si ustedes recuerdan cuando resolvimos todas aquellas ecuaciones diferenciales siempre nos gustaban las soluciones exponenciales voy a resaltar estas fórmulas que son las tres maneras en las que podemos representar un número complejo y todas son equivalentes y para no olvidarlo voy a escribir que esto es la fórmula de hoy leer de ahí es de donde viene y por aquí vamos a escribir el elevado a la jota por teta es igual al cose no detecta más j por el seno de teta la otra forma tiene un exponente negativo es que a la menos j porte está igual al cose no detectan menos jota por el seno de teta esta es la fórmula de hoy leer y en kant academy tenemos vídeos de cómo llegar a estas expresiones pueden buscarlas ingresando esta palabra en el portal