La fórmula de Euler

en este vídeo vamos a hablar sobre la fórmula de oil air y una de las cosas con la que quiero comenzar es preguntándonos por qué queremos conocer esta fórmula de oilers que luce bastante extraña que es lo importante de ella porque es importante esta fórmula pues es importante por que nos encanta y subrayo esto y la razón es que cuando derivamos por ejemplo la derivada con respecto a x de era la x va a ser igual a la x y la derivada con respecto a x d elevado a la x x esto va a ser igual aa por el elevado a la pura x la propiedad es que cuando calculamos la derivada de esta función nos va a dar la misma función o si calculamos la derivada de la función vamos a tener la misma función multiplicada por alguna escalar y esto nos encanta porque cuando resolvemos ecuaciones diferenciales a la equis es la solución casi siempre siempre que resolvimos un circuito era la equis casi siempre era la solución si ustedes recuerdan cuando resolvimos circuitos sencillos con ecuaciones diferenciales hacíamos algo así vamos a decir que b dt es igual a una constante multiplicada por e elevada a la s deporte esta era la solución propuesta y resulta que siempre nos funcionaba y hay otra cosa que también nos encanta que son las senoidal es o los senos y los cosenos nos encanta esto porque nos encantan a pues porque ocurren en la naturaleza si ustedes silván la onda de presión va a lucir como una onda senoidal si ustedes tocan una campana la campana se va a mover también con una forma senoidal cualquier tipo de música si ustedes ven las ondas de presión que generan las notas musicales todas son senoidal es y los circuitos también generan ondas senoidal es recuerden el circuito que vimos el circuito cl que analizamos en detalle vimos su respuesta natural y era una onda senoidal así que los circuitos eléctricos producen ondas senoidal es y todas estas otras cosas también producen ondas senoidal es todas ocurren en la naturaleza y queremos analizar qué es lo que ocurre cuando se encuentran presentes onda senoidal es así que tenemos dos cosas que nos encantan y queremos relacionar las y la forma de relacionar ambas es mediante la fórmula de hoy leer y es así como conectamos estas ideas separadas vamos a hacerlo la fórmula de hoy leer nos dice que es elevada a la j x es igual al coseno de x más j por el seno de x y en kant academy tenemos un vídeo que demuestra que esto es cierto usan la expansión polinomio de mclaren de coseno y seno y demuestran que esto es verdadero comparando cada una de las expansiones polinomiales aquí no vamos a repetir eso vamos a tomarlo como un hecho y vamos a analizar esta ecuación con un poco más de detalle esta es la expresión que relaciona los exponenciales que son algo que nos encanta con los senos y los cosenos que también nos encantan y parte del precio de poder hacer esto es que tenemos que usar números complejos aquí tenemos dos números complejos y es aquí donde ocupamos números complejos en la ingeniería eléctrica y tenemos que hacer coincidir la otra forma de esta fórmula que a la menos jx aquí pongo un signo negativo y esto es igual al coseno de x menos j por el seno de x estas dos expresiones juntas son las fórmulas de oyler y vamos a aprovechar esto tomando los senos y cosenos que encontramos en la naturaleza y transformarlos en exponenciales y después estos exponenciales los usaremos en nuestras ecuaciones diferenciales que nos darán soluciones a las que después les sacaremos los senos y los cosenos es así como vamos a usar estas ecuaciones para resolver circuitos algo que quiero que no tenga aquí es que vean que en ambas ecuaciones siempre tenemos el coseno primero y el seno después aquí tenemos el seno en el lado imaginario y el cose no está en el lado real y es por eso que en el futuro vamos a tener una preferencia de hablar con respecto a las señales del mundo real en términos de la función coseno y es porque en esta fórmula de hoy leer siempre está primero el coseno en ambos casos y ahora lo que quiero ver es que si tenemos nuestra señal expresada con estos exponenciales como recuperamos los términos de seno y cosenos como trabajamos con estas ecuaciones para poder encontrar el seno y el coce no sólo tenemos que usar un poco de álgebra si yo quiero aislar el término del coseno lo que voy a hacer es sumar estas dos expresiones y con esto voy a cancelar estos términos de aquí que es lo que quiero así que al sumar voy a obtener a la jota por equis a la menos jx igualados por el coseno de x y estos términos de senos se cancelan y ahora puedo escribir que el coseno dx es igual a elevado a la jota x positivo más y elevado a la menos jx todo esto entre 2 esta es la expresión del coseno en términos de exponenciales complejos y ahora veamos cómo obtener el seno para obtener el pse no voy a restar estas ecuaciones lo que me da que puedo eliminar estos términos de los cosenos y me queda el elevado al aj x menos el elevado a la menos jx que es igual a este coseno de x-men x se cancela y tengo dos veces jota por el seno de equis de manera que ahora puedo escribir que el seno de x es igual a el elevado a la jota x positivo menos y elevado a la menos jx todo esto entre dos por jota y no olviden que tenemos esta jota aquí abajo a veces es fácil que se nos olvide vamos a resaltar estas ecuaciones porque son importantes estas son las dos expresiones que si nosotros tenemos exponenciales complejos y queremos encontrar el cose no lo hacemos así y si queremos encontrar el seno usamos esta ecuación y pueden tratar de aprenderse las de memoria pero a mí se me hace más fácil que si nos acordamos de esto la fórmula de hoy le podemos deducir las directamente y lo otro que queremos resaltar son estas fórmulas de aquí la fórmula de hoy leer y el seno y ccoo seno que podemos extraer usando la fórmula de oilers