Resolvemos un circuito por medio de la aplicación directa de las leyes fundamentales, al aplicar las leyes de los elementos (la ley de Ohm y similares) más las leyes de Kirchhoff para determinar las corrientes y el voltaje.

Introducción

Resolvimos algunos ejemplos de la aplicación directa de la ley de Ohm cuando derivamos ecuaciones para resistores en serie y en paralelo, para un divisor de voltaje y para simplificar una red de resistores. Ahora daremos un ejemplo en el que vamos a usar las leyes de Kirchhoff. A esto lo llamamos aplicar las leyes fundamentales.
La tarea: para el siguiente circuito, encuentra las corrientes y los voltajes desconocidos.
Para obtener la solución, será necesario plantear y resolver un sistema de ecuaciones independientes.
  1. Etiqueta los voltajes y corrientes, respetando la convención de signos para los componentes pasivos.
  2. Escoge la variable independiente, sea i o v, para plantear las ecuaciones más simples posibles.
  3. Escribe las ecuaciones usando LCK, LVK, o ambas. Asegúrate de que cada elemento del circuito esté representado en al menos una ecuación.
  4. Resuelve el sistema de ecuaciones.
  5. Resuelve para cualquiera de los voltajes o corrientes que faltaba conocer.

Paso 1. Pon etiquetas en el esquema

Dale nombres a nodos, corrientes y voltajes y haz una lista de las variables que son conocidas y de las que no lo son.
Características del circuito e identificación de las incógnitas:
  • 5 elementos
  • 3 nodos, etiquetados como start color green, a, end color green, start color green, b, end color green, y start color green, c, end color green.
    Un nodo es el punto de unión en el que que se conectan 2 o más elementos del circuito.
    Puesto que las líneas en un esquema de circuito representan conductores perfectos (con resistencia cero), no deben dibujarse más que los nodos de distribución, que son aquellos que están en la intersección de dos o más ramas del circuito. Por ejemplo, el nodo start color green, a, end color green, que es la unión entre dos elementos (la fuente de voltaje y el resistor de 20Ω20\, \Omega), puede omitirse. Los nodos start color green, b, end color green y start color green, c, end color green son nodos de distribución.
    Aquí puedes encontrar las definiciones y más ejemplos de nodos y nodos distribuidos.
  • 3 mallas (lazos internos).
    Un lazo es cualquier trayectoria cerrada a lo largo de las ramas del circuito.
    Una malla es un lazo que no contiene otros lazos. Aquí puedes encontrar las definiciones y ejemplos de lazos y mallas.
  • 1 fuente de voltaje, v, start subscript, S, end subscript, y 2 voltajes, v, start subscript, 1, end subscript y v, start subscript, 2, end subscript.
  • 1 fuente de corriente, i, start subscript, S, end subscript, y 3 corrientes, i, start subscript, 1, end subscript, i, start subscript, 2, end subscript e i, start subscript, 3, end subscript.
Cuando se asigna la polaridad al voltaje y a la corriente de cada elemento, utilizamos la convención de signos para componentes pasivos: las flechas de corriente apuntan hacia las terminales positivas de cada resistor.
Para enfatizar que solo hay tres nodos en el circuito, lo volvemos a dibujar, resaltando las uniones en los nodos b y c.
(Se ofrece una oportunidad evidente para simplificar los dos resistores paralelos, el de 6Ω6\,\Omega con el de 5Ω5\,\Omega. No lo haremos por ahora porque queremos estudiar el procedimiento general de análisis).

Paso 2. Selecciona la variable independiente

En este punto tenemos que tomar un decisión. ¿Debe ser la variable independiente el voltaje v o la corriente i? Una buena manera de decidir es comparar el número de voltajes desconocidos con el de las corrientes desconocidas. Hay 2 voltajes desconocidos y 3 corrientes desconocidas. Si seleccionamos al voltaje como variable independiente, tendremos ecuaciones con 2 términos de voltaje, en vez de ecuaciones que contengan 3 términos de corriente. 2 es más simple que 3, de manera que debe escogerse al voltaje como variable independiente.

Paso 3. Escribe ecuaciones independientes

Puesto que tenemos dos voltajes desconocidos, para encontrarlos necesitamos dos ecuaciones independientes. Nuestra elección será una ecuación LVK para la malla de la izquierda y una ecuación LCK en relación al nodo start color green, b, end color green. ¿Por qué escogí esta opción? Tomé en cuenta las dos características más interesantes del circuito. El nodo start color green, b, end color green es relevante por tener varias conexiones, y la malla de la izquierda por incluir las ramas restantes del circuito que no están completamente controlados por el nodo start color green, b, end color green. Debo admitir que yo usé algo de mi propia experiencia en electrónica para anticipar la dirección del análisis. Cuantos más problemas de este tipo resuelvas, más mejorará tu intuición.

LVK alrededor de la malla de la izquierda

La malla de la izquierda es la que tiene el círculo naranja.
Comenzamos en la esquina inferior izquierda del circuito, donde ves el símbolo de tierra, y vamos en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de la malla sumando voltajes. La ley de voltaje de Kirchhoff dice que la suma de voltajes de todos los elementos alrededor de un lazo completo debe ser igual a cero.
plus, v, start subscript, S, end subscript, minus, v, start subscript, 1, end subscript, minus, v, start subscript, 2, end subscript, equals, 0
plus, 140, minus, v, start subscript, 1, end subscript, minus, v, start subscript, 2, end subscript, equals, 0
Los signos minus para v, start subscript, 1, end subscript y v, start subscript, 2, end subscript aparecen porque encontramos primero su signo plus a lo largo del recorrido por el lazo en sentido de las manecillas del reloj, lo que indica una caída de voltaje a través del componente.

LCK en el nodo start color green, b, end color green

Obtenemos nuestra segunda ecuación escribiendo la ley de corriente de Kirchhoff en el nodo start color green, b, end color green. Una forma de expresar dicha ley es que, en un nodo, las corrientes que entran deben ser igual a las que salen.
Suma las corrientes que fluyen hacia el nodo start color green, b, end color green. Este valor se iguala a la suma de las corrientes que fluyen del mismo hacia afuera.
i, start subscript, 1, end subscript, plus, i, start subscript, S, end subscript, equals, i, start subscript, 2, end subscript, plus, i, start subscript, 3, end subscript
Antes, en el Paso 2, elegimos v, start subscript, 1, end subscript y v, start subscript, 2, end subscript como variables independientes, así que usamos las ley de Ohm para expresar las corrientes desconocidas en términos de voltajes y resistencias.
v120Ω+18=v26Ω+v25Ω\dfrac{v_1}{20\,\Omega} + 18 = \dfrac{v_2}{6\,\Omega} + \dfrac{v_2}{5\,\Omega}

Paso 4. Resuelve el sistema de ecuaciones

Después de un pequeño ordenamiento, tenemos listo nuestro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
v, start subscript, 1, end subscript, plus, v, start subscript, 2, end subscript, equals, 140
start fraction, 1, divided by, 20, end fraction, v, start subscript, 1, end subscript, minus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, v, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, 18
Estas dos ecuaciones capturan toda la información de lo que ocurre en el circuito.
Este es un buen momento para hacer una rápida verificación. ¿Participa cada elemento del circuito en al menos una ecuación? ¿Se excluye alguno? Fíjate en cada uno de los 5 elementos.

Inténtalo tú mismo

Intenta resolver este sistema de ecuaciones antes de ver la respuesta.
Encuentra los voltajes desconocidos v, start subscript, 1, end subscript y v, start subscript, 2, end subscript.
v, start subscript, 1, end subscript, equals
space, V.

v, start subscript, 2, end subscript, equals
space, V.

Encuentra las corrientes desconocidas, i, start subscript, 1, end subscript, i, start subscript, 2, end subscript, i, start subscript, 3, end subscript.
i, start subscript, 1, end subscript, equals
space, A.

i, start subscript, 2, end subscript, equals
space, A.

i, start subscript, 3, end subscript, equals
space, A.

Voy a resolver este sistema de ecuaciones usando álgebra sencilla. Podría también resolverse usando técnicas del álgebra lineal, tal como la regla de Cramer.
Elimina v, start subscript, 2, end subscript resolviendo la primera ecuación para v, start subscript, 2, end subscript,
v, start subscript, 2, end subscript, equals, 140, minus, v, start subscript, 1, end subscript
Sustituye v, start subscript, 2, end subscript en la segunda ecuación,
start fraction, 1, divided by, 20, end fraction, v, start subscript, 1, end subscript, minus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 140, minus, v, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, equals, minus, 18
Resuelve para v, start subscript, 1, end subscript,
(conserva los números como fracciones para evitar cualquier redondeo).
start fraction, 1, divided by, 20, end fraction, v, start subscript, 1, end subscript, minus, left parenthesis, start fraction, 5, divided by, 30, end fraction, plus, start fraction, 6, divided by, 30, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 140, minus, v, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, equals, minus, 18
start fraction, 1, divided by, 20, end fraction, v, start subscript, 1, end subscript, minus, left parenthesis, start fraction, 11, divided by, 30, end fraction, right parenthesis, 140, plus, left parenthesis, start fraction, 11, divided by, 30, end fraction, right parenthesis, v, start subscript, 1, end subscript, equals, minus, 18
Agrupa los términos con v, start subscript, 1, end subscript a la izquierda y las constantes a la derecha,
start fraction, 1, divided by, 20, end fraction, v, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 11, divided by, 30, end fraction, v, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, start fraction, 11, divided by, 30, end fraction, right parenthesis, 140, minus, 18
Dale vuelta a la manivela del álgebra,
left parenthesis, start fraction, 3, divided by, 60, end fraction, plus, start fraction, 22, divided by, 60, end fraction, right parenthesis, v, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, 11, dot, 140, divided by, 30, end fraction, minus, start fraction, 540, divided by, 30, end fraction
start fraction, 25, divided by, 60, end fraction, space, v, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, 1540, divided by, 30, end fraction, minus, start fraction, 540, divided by, 30, end fraction
start fraction, 25, divided by, 60, end fraction, space, v, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, 1000, divided by, 30, end fraction
v, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, 60, divided by, 25, end fraction, dot, start fraction, 1000, divided by, 30, end fraction
v, start subscript, 1, end subscript, equals, 80, space, V
Un voltaje decrece, el otro crece,
v, start subscript, 2, end subscript, equals, 140, minus, v, start subscript, 1, end subscript
v, start subscript, 2, end subscript, equals, 140, minus, 80
v, start subscript, 2, end subscript, equals, 60, space, V
Ya resolvimos para los dos voltajes. Ahora podemos buscar las corrientes desconocidas con la ley de Ohm.

Paso 5. Resuelve para las otras incógnitas

i, equals, start fraction, v, divided by, R, end fraction, space Ley de Ohm.
i, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, 20, end fraction, equals, start fraction, 80, divided by, 20, end fraction, space, i, start subscript, 1, end subscript, equals, 4, space, A
i, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, 6, end fraction, equals, start fraction, 60, divided by, 6, end fraction, space, i, start subscript, 2, end subscript, equals, 10, space, A
i, start subscript, 3, end subscript, equals, start fraction, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, 5, end fraction, equals, start fraction, 60, divided by, 5, end fraction, space, i, start subscript, 3, end subscript, equals, 12, space, A
¡Todo terminado! El circuito resuelto luce ahora así,

Resumen

Resolvimos un circuito por la aplicación directa de las leyes fundamentales. Nuestras herramientas fueron las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm.
Los pasos para llegar a la solución fueron:
  1. Etiquetar los voltajes y las corrientes respetando la convención de signos para componentes pasivos.
  2. Seleccionar la variable independiente, ya sea i o v, para plantear las ecuaciones más simples posibles.
  3. Escribir las ecuaciones usando LCK, LVK, o ambas. Asegurarte que cada elemento del circuito esté representado en al menos una ecuación.
  4. Resolver el sistema de ecuaciones.
  5. Resolver para los voltajes o corrientes restantes.
El enfoque para resolver este circuito se basó en las leyes fundamentales, y obtuvimos la respuesta correcta. Pero, nuestra elección de ecuaciones pareció de alguna manera arbitraria. En lo que sigue, vamos a hablar sobre dos métodos eficientes y bien organizados para resolver cualquier circuito, el método de voltaje en nodos y el método de corriente de malla.
Este artículo está bajo la licencia CC BY-NC-SA 4.0.