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Aplicación de las leyes fundamentales

Resolvemos un circuito por medio de la aplicación directa de las leyes fundamentales: para determinar las corrientes y los voltajes del circuito, aplicamos las leyes de los elementos (ley de Ohm y similares) junto con las leyes de Kirchhoff. Escrito por Willy McAllister.

Introducción

Resolvimos algunos ejemplos de la aplicación directa de la ley de Ohm cuando derivamos ecuaciones para resistores en serie y en paralelo, para un divisor de voltaje y para simplificar una red de resistores. Ahora daremos un ejemplo en el que vamos a usar las leyes de Kirchhoff. A esto lo llamamos aplicar las leyes fundamentales.
Tarea: encuentra las corrientes y los voltajes desconocidos en este circuito.
Para obtener la solución, será necesario plantear y resolver un sistema de ecuaciones independientes.
  1. Etiqueta los voltajes y corrientes, respetando la convención de signos para los componentes pasivos.
  2. Escoge la variable independiente, sea i o v, para plantear las ecuaciones más simples posibles.
  3. Escribe las ecuaciones usando LCK, LVK, o ambas. Asegúrate de que cada elemento del circuito esté representado en al menos una ecuación.
  4. Resuelve el sistema de ecuaciones.
  5. Resuelve para cualquiera de los voltajes o corrientes que faltaba conocer.

Paso 1. Pon etiquetas en el esquema

Para comenzar, ayuda nombrar los voltajes, las corrientes y los nodos, y hacer una lista de lo que sabemos y lo que no sabemos.
Características del circuito e identificación de las incógnitas:
  • 5 elementos
  • 3 nodos, etiquetados como a, b, y c.
  • 3 mallas (lazos internos).
  • 1 fuente de voltaje, vS, y 2 voltajes, v1 y v2.
  • 1 fuente de corriente, iS, y 3 corrientes, i1, i2 e i3.
Cuando se asigna la polaridad al voltaje y a la corriente de cada elemento, utilizamos la convención de signos para componentes pasivos: las flechas de corriente apuntan hacia las terminales positivas de cada resistor.
Para enfatizar que solo hay tres nodos en el circuito, lo volvemos a dibujar, resaltando las uniones en los nodos b y c.
(Se ofrece una oportunidad evidente para simplificar los dos resistores paralelos, el de 6Ω con el de 5Ω. No lo haremos por ahora porque queremos estudiar el procedimiento general de análisis).

Paso 2. Selecciona la variable independiente

En este punto tenemos que tomar un decisión. ¿Debe ser la variable independiente el voltaje v o la corriente i? Una buena manera de decidir es comparar el número de voltajes desconocidos con el de las corrientes desconocidas. Hay 2 voltajes desconocidos y 3 corrientes desconocidas. Si seleccionamos al voltaje como variable independiente, tendremos ecuaciones con 2 términos de voltaje, en vez de ecuaciones que contengan 3 términos de corriente. 2 es más simple que 3, de manera que debe escogerse al voltaje como variable independiente.

Paso 3. Escribe ecuaciones independientes

Puesto que tenemos dos voltajes desconocidos, para encontrarlos necesitamos dos ecuaciones independientes. Nuestra elección será una ecuación LVK para la malla de la izquierda y una ecuación LCK en relación al nodo b. ¿Por qué escogí esta opción? Tomé en cuenta las dos características más interesantes del circuito. El nodo b es relevante por tener varias conexiones, y la malla de la izquierda por incluir las ramas restantes del circuito que no están completamente controlados por el nodo b. Debo admitir que yo usé algo de mi propia experiencia en electrónica para anticipar la dirección del análisis. Cuantos más problemas de este tipo resuelvas, más mejorará tu intuición.

LVK alrededor de la malla de la izquierda

La malla de la izquierda es la que tiene el círculo naranja.
Comenzamos en la esquina inferior izquierda del circuito, donde ves el símbolo de tierra, y vamos en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de la malla sumando voltajes. La ley de voltaje de Kirchhoff dice que la suma de voltajes de todos los elementos alrededor de un lazo completo debe ser igual a cero.
+vSv1v2=0
+140v1v2=0
Los signos para v1 y v2 aparecen porque encontramos primero su signo + a lo largo del recorrido por el lazo en sentido de las manecillas del reloj, lo que indica una caída de voltaje a través del componente.

LCK en el nodo b

Obtenemos nuestra segunda ecuación escribiendo la ley de corriente de Kirchhoff en el nodo b. Una forma de expresar dicha ley es que, en un nodo, las corrientes que entran deben ser igual a las que salen.
Suma las corrientes que fluyen hacia el nodo b. Este valor se iguala a la suma de las corrientes que fluyen del mismo hacia afuera.
i1+iS=i2+i3
Antes, en el Paso 2, elegimos v1 y v2 como variables independientes, así que usamos las ley de Ohm para expresar las corrientes desconocidas en términos de voltajes y resistencias.
v120Ω+18=v26Ω+v25Ω
Después de un pequeño ordenamiento, tenemos listo nuestro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
v1+v2=140
120v1(16+15)v2=18
Estas dos ecuaciones capturan toda la información de lo que ocurre en el circuito.
Este es un buen momento para hacer una verificación rápida. ¿Tuvo cada elemento del circuito una oportunidad para participar en al menos una ecuación? ¿Omitimos alguno? Hay que dar cuenta de 5 elementos.

Pasos 4 y 5: resuelve

Intenta resolver tú mismo este sistema de ecuaciones antes de revisar la respuesta completa a continuación.
Encuentra los voltages desconocidos v1 y v2, y las corrientes desconocidas i1, i2, y i3.
v1=
V.

v2=
V.

i1=
A.

i2=
A.

i3=
A.

Resumen

Resolvimos un circuito por la aplicación directa de las leyes fundamentales. Nuestras herramientas fueron las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm.
Los pasos para la solución:
  1. Etiqueta los voltajes y las corrientes utilizando la convención de signos para los componentes pasivos.
  2. Selecciona la variable independiente, ya sea i o v, para producir las ecuaciones más sencillas. Escoge la variable con menos incógnitas.
  3. Escribe las ecuaciones usando la LCK, la LVK o ambas. Asegúrate de que cada elemento esté representado en al menos una ecuación.
  4. Resuelve el sistema de ecuaciones para las variables independientes (en este caso, v1 y v2).
  5. Determina las otras incógnitas.
El enfoque para resolver este circuito se basó en las leyes fundamentales, y obtuvimos la respuesta correcta. Pero, nuestra elección de ecuaciones pareció de alguna manera arbitraria. En lo que sigue, vamos a hablar sobre dos métodos eficientes y bien organizados para resolver cualquier circuito, el método de voltaje en nodos y el método de corriente de malla.

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