Cuando se duplica el voltaje en un resistor, se duplica la corriente. Es decir, un resistor es un dispositivo lineal. Los capacitores y los inductores también son lineales.

Introducción

La linealidad es un concepto matemático que tiene un impacto profundo en el diseño electrónico. La idea misma es bastante simple, pero sus implicaciones tienen gran significado en nuestro campo. Primero, hablaremos del significado matemático de lineal. Luego, vamos a aplicar la idea a circuitos electrónicos.

Qué vamos a construir

En sentido matemático, una función es lineal si tiene estas propiedades:
Homogeneidad (escalamiento): space, space, space, f, left parenthesis, a, x, right parenthesis, equals, a, f, left parenthesis, x, right parenthesis
Aditividad: space, space, space, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis
Cuando los valores de entrada y de salidas son solamente números, una función que con la propiedad de escalamiento tiene, automáticamente, la de aditividad. Los resistores, los capacitores y los inductores son lineales porque tienen la propiedad de escalamiento.

Linealidad

El término linealidad se refiere a la propiedad de escalamiento. Supón que tienes dos propiedades físicas relacionadas, por ejemplo la rapidez a la que puedes correr y la distancia que vas a recorrer. Si duplicas la velocidad, duplicas la distancia recorrida. Si triplicas la velocidad, triplicas la distancia. Esta es una relación lineal. Generalmente el costo de las cosas es lineal. Si un cuaderno cuesta 1$, diez cuadernos costarán 10$.
En electrónica, un resistor ideal establece una relación lineal entre el voltaje y la corriente. Si duplicas el voltaje, la corriente se duplica, y viceversa. Por ello, un resistor ideal es un elemento lineal.
El término "lineal" en el uso cotidiano describe a algo que se parece a una recta. Una hilera de árboles a lo largo de la calle tiene un arreglo lineal. Un argumento lineal es aquél que va directo al punto.
En matemáticas de preparatoria, la palabra lineal se utiliza para describir una línea recta, y, equals, a, space, x, plus, b. Aquí no estamos hablando de este uso del término "lineal".
Dos cantidades pueden tener una relación no lineal. ¿Qué aspecto tiene esta relación? Cuando vas a correr, si duplicas la rapidez, reduces el tiempo de recorrido a la mitad, de manera que la relación entre velocidad y tiempo de recorrido no es lineal. La rapidez se duplicó, pero el tiempo se redujo a la mitad (en cambio, la relación lineal se establece entre rapidez y 1, slash, t).
Otro ejemplo de una función no lineal que se observa en la naturaleza es la Ley de Coulomb, una ley del inverso del cuadrado. Esta es una relación no lineal. Si tienes dos cargas de signos opuestos, existe una fuerza atractiva entre ellas. Si las alejas el doble de distancia, la fuerza disminuye en un factor de 2, start superscript, 2, end superscript, no de 2, por lo que la propiedad de escalamiento no se mantiene para la fuerza vs. la distancia (pero la ley de Coulomb dice que si duplicas la magnitud de una de las cargas, la fuerza se duplica. Así que la relación entre carga y fuerza es lineal).

Escalamiento (homogeneidad)

Queremos describir esta propiedad en términos matemáticos. Podemos describir este duplicar-causa-duplicar como f, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, equals 2f(x). Del mismo modo, podemos escribir el triplicar-causa-triplicar como f, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, equals, 3, f, left parenthesis, x, right parenthesis. En general, la propiedad de escalamiento es
f, left parenthesis, a, x, right parenthesis, equals, a, f, left parenthesis, x, right parenthesis
La palabra matemática elegante que designa esta propiedad es homogeneidad.
Una función cuya gráfica parece una recta que pasa por el origen tiene la propiedad de escalamiento. Sea y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x.
Si x, equals, 2, entonces y, equals, 2, dot, 2, equals, 4.
Si duplicamos x de 2 a 4, entonces y, equals, 2, dot, 4, equals, 8.
Así que duplicar x exactamente duplica y.
Es importante hacer notar que, ya que f, left parenthesis, x, right parenthesis es una línea recta, el factor de escala a no depende del valor de x.
Si la gráfica de la función es de cualquier otra forma, como y, equals, x, start superscript, 2, end superscript, y, equals, 1, slash, x o y, equals, e, start superscript, x, end superscript, el factor de escala no es el mismo para toda x; depende del valor de x.
Por ejemplo, si y, equals, x, start superscript, 2, end superscript, slash, 16, entonces:
En x, equals, 4, y, equals, 4, start superscript, 2, end superscript, slash, 16, equals, 1, por lo que el factor de escala al pasar de x a y es de 1, slash, 4.
En x, equals, 8, y, equals, 8, start superscript, 2, end superscript, slash, 16, equals, 4, por lo que el factor de escala es 1, slash, 2.
Para cualquier función que no sea una línea recta, el escalamiento (amplificación) no es constante y depende más bien del valor de entrada, x.
Esta es la principal razón por la que nos gusta construir y usar amplificadores lineales para agrandar las señales pequeñas. Cada señal se escala de manera uniforme por la misma cantidad, de manera que la salida es una réplica de la entrada, agrandada a escala.

Suma (aditividad)

Cuando una relación es lineal (tiene la propiedad de escalamiento), podemos derivar una propiedad de aditividad. Todas las funciones lineales tienen la forma de una recta con factor de escala (la pendiente) a:
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x
Si la entrada es la suma left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis de dos entradas diferentes, entonces
f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, equals, a, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, space, comma
y, usando la propiedad distributiva,
f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, equals, a, x, start subscript, 1, end subscript, plus, a, x, start subscript, 2, end subscript, space, point
Los términos del lado derecho son equivalentes a:
a, x, start subscript, 1, end subscript, equals, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, space, a, x, start subscript, 2, end subscript, equals, f, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis
Ahora tenemos una propiedad para la suma (llamada aditividad en lenguaje de matemáticos):
f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis
Podemos utilizar la propiedad de aditividad de una manera inteligente.
Supongamos que tenemos dos entradas, x, start subscript, 1, end subscript y x, start subscript, 2, end subscript, que ingresamos a una función lineal, f, left parenthesis, x, right parenthesis. Las salidas son, por supuesto, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis y f, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis.
Si sumamos las entradas, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, e ingresamos la suma en f, left parenthesis, x, right parenthesis, el resultado será f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis.
SI f, left parenthesis, x, right parenthesis es lineal, hay otra forma de obtener el resultado. La salida es también la suma de las dos salidas individuales, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis.
Esta propiedad de aditividad de las funciones lineales se denomina superposición. Es la base de la técnica de análisis de circuitos que lleva el mismo nombre. La superposición se emplea brillantemente en el método de corriente de malla y en muchos otros lugares de la ingeniería (especialmente en el procesamiento de señales).
Si la función f, left parenthesis, x, right parenthesis no es lineal, la salida no es la simple suma; en cambio, se convierte en alguna complicada fusión de las dos entradas.
Digamos que de alguna manera creamos una función no lineal, un "elevador al cuadrado", f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 2, end superscript, space.
Si x, equals, 3, entonces f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 9, space.
Si x, equals, 0, point, 5, entonces f, left parenthesis, 0, point, 5, right parenthesis, equals, 0, point, 25, space.
Ahora imagina que tienes dos entradas separadas, a y b, que sumamos y ponemos en nuestro "elevador al cuadrado". ¿Qué es lo que sale?
f, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript
left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, a, start superscript, 2, end superscript, plus, 2, a, b, plus, b, start superscript, 2, end superscript
El primero y el último términos, a, start superscript, 2, end superscript y b, start superscript, 2, end superscript, son el resultado de la función operando en las entradas individuales. Pero el término que está a la mitad, 2, a, b, representa una mezcla de las dos señales de entrada. Para predecir la salida, tienes que conocer la naturaleza de la función left parenthesis, x, start superscript, 2, end superscript, right parenthesis y tienes que saber la relación exacta entre las dos señales de entrada.

Linealidad de componentes electrónicos

Comencemos con estudiar un resistor. Matemáticamente, puedes tomar el punto de vista que un resistor es una función que toma el voltaje como entrada y crea una corriente como salida.
Podemos afirmar que un resistor ideal es lineal al analizar si cumple con regla de escalamiento. Podemos escribir la ley de Ohm como una función:
i, equals, f, left parenthesis, v, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, R, end fraction, space, v

Escalamiento del resistor

Si duplicamos el voltaje en la resistencia, la corriente se duplica.
Si enviamos 4 veces más corriente a través del resistor, el voltaje aumenta 4 veces.

Aditividad del resistor

Si aplicamos 1, space, V, plus, 3, space, V a la resistencia, la corriente resultante es
start fraction, 1, space, V, plus, 3, space, V, divided by, R, end fraction, equals, start fraction, 4, space, V, divided by, R, end fraction, space o space, start fraction, 1, space, V, divided by, R, end fraction, plus, start fraction, 3, space, V, divided by, R, end fraction, equals, start fraction, 4, space, V, divided by, R, end fraction, space
Un resistor tiene la propiedad de escalamiento (y, por lo tanto, automáticamente la de aditividad).
Un resistor es un elemento lineal.
Para un resistor del mundo real existen límites al voltaje y a la corriente. Si la potencia left parenthesis, i, dot, v, right parenthesis es mayor que la que el resistor puede soportar, el valor de su resistencia puede cambiar conforme se calienta, o puede incluso quemarse. Así, un resistor real es lineal solamente bajo cierto rango de valores de voltaje y corriente. En cambio, un resistor ideal opera linealmente para cualquier i o v, razón por la que decimos que "es lineal y punto".

¿Son lineales los capacitores y los inductores?

Las leyes del capacitor y del inductor son
i, equals, C, space, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, space y space, v, equals, L, space, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction
A primera vista, puede parecer que estas no son ecuaciones de rectas, pero lo son. Lo son si pensamos que la variable independiente es start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction o start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction en vez de simplemente v o i.
i, equals, f, left parenthesis, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, right parenthesis, equals, C, space, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, space y space, v, equals, f, left parenthesis, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, right parenthesis, equals, L, space, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction
La ley del capacitor se puede graficar como una línea recta con d, v, slash, d, t en el eje horizontal e i en el eje vertical. La pendiente de la recta del capacitor es C.
De igual manera, la ley del inductor se puede graficar como una línea recta con d, i, slash, d, t en el eje horizontal y v en el eje vertical. La pendiente de la recta del inductor es L.
Los capacitores y los inductores son elementos lineales.
Ahora tenemos tres: R, comma, space, L, space, y, space, C.
Con tan solo estos componentes lineales podemos generar muchas funciones interesantes en electrónica.
Puede ayudar tomarnos un segundo y hablar de algo que no es un dispositivo lineal, solo por contraste. Un diodo es un dispositivo semiconductor no lineal.
Vamos a aprender mucho más sobre diodos un poco después. Por ahora, solo quiero echar un vistazo a su curva i-v para dar un ejemplo de cómo se ve un dispositivo no lineal:
Esta curva i-v es la ley de elemento para un diodo. Claramente no se asemeja a una línea recta. Así que, definitivamente, no es un dispositivo lineal. El comportamiento no lineal de un diodo es típico de otros dispositivos semiconductores, tales como los transistores. En futuros artículos aprenderás muchas formas inteligentes de lidiar con elementos no lineales.
Cuando un voltaje positivo se aplica a un diodo, no fluye corriente hasta que el voltaje llega hasta alrededor de 0, point, 6, space, V. Apenas supera el voltaje los 0, point, 6, space, V, la corriente se eleva rápidamente. El voltaje más alto que verás para un diodo operando normalmente es aproximadamente de 0, point, 75, space, V (más que eso, fluye tanta corriente que el diodo se sobrecalienta).
Cuando aplicas un voltaje negativo a un diodo, la corriente es muy cercana a cero, a menos que el voltaje alcance un valor negativo muy elevado, V, start subscript, r, end subscript, conocido como voltaje de rompimiento. Un valor de V, start subscript, r, end subscript típico es 50, space, V, dependiendo de cómo esté fabricado el diodo. Cuando el voltaje es negativo, decimos que el diodo está inversamente polarizado.

¿Por qué hacemos tanto ruido con la linealidad?

Respuesta: ¡las matemáticas funcionan muy bien!
Los circuitos con componentes lineales se pueden resolver exactamente. De hecho, hay un rama entera de las matemáticas dedicada al tratamiento de funciones lineales, llamada álgebra lineal.
Algunos ejemplos de la grandeza de la linealidad: las leyes de Kirchhoff funcionan debido a la linealidad, así como el método del voltaje en los nodos y el método de la corriente de lazo.

Elementos y funciones no-lineales

En general, las funciones cuyo comportamiento es no lineal no tienen estas propiedades. Los seres humanos no hemos creado un método general para resolver exactamente ecuaciones y circuitos no lineales. Cada nuevo tipo de circuito requiere técnicas matemáticas específicas, propias de él mismo. El enfoque habitual para circuitos no lineales es hacer hasta lo imposible para hacer que parezca lineal, al menos en algún pequeño rango de operación. Eso es lo que está pasando cuando ves términos como "aproximación lineal por pedazos" o "modelo de señal pequeña".
Me he sobrepasado un poco, quizás dando la impresión de que los elementos no lineales son malos. A su manera, son fantásticos. Todos los dispositivos semiconductores son no lineales (diodos y transistores), y son utilizados diariamente por miles de millones de personas. Los ingenieros han descifrado cómo utilizar dispositivos no lineales, y tú también lo harás, mientras continúes tus estudios.

Resumen

Una función es lineal si tiene estas propiedades:
Homogeneidad (escalamiento): space, space, space, f, left parenthesis, a, x, right parenthesis, equals, a, f, left parenthesis, x, right parenthesis
Aditividad: space, space, space, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis
Si x y a son números reales (a diferencia de vectores o matrices), estas propiedades significan lo mismo, y basta que pruebes solo una de ellas.
Los resistores, los capacitores y los inductores son elementos lineales porque tienen la propiedad de escalamiento.

La linealidad en palabras

  1. Escalar la entrada en un factor de a escala la salida en un factor de a.
  2. Sumar dos entradas produce la misma salida que aplicar cada entrada individualmente y sumar las dos salidas respectivas.
Este artículo está bajo la licencia CC BY-NC-SA 4.0.