Cuando duplicas el voltaje en un resistor, la corriente se duplica. Decimos que un resistor es un dispositivo lineal. Los capacitores y los inductores también son lineales. Escrito por Willy McAllister.

Introducción

La linealidad es un concepto matemático que tiene un impacto profundo en el diseño electrónico. La idea misma es bastante simple, pero sus implicaciones tienen gran significado en nuestro campo. Primero, hablaremos del significado matemático de lineal. Luego, vamos a aplicar la idea a circuitos electrónicos.

Qué vamos a construir

En sentido matemático, una función es lineal si tiene estas propiedades:
Homogeneidad (escalamiento): f(ax)=af(x)f(ax) = af(x)
Aditividad: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)f(x_1+x_2) = f(x_1) + f(x_2)
Cuando los valores de entrada y de salidas son solamente números, una función que con la propiedad de escalamiento tiene, automáticamente, la de aditividad. Los resistores, los capacitores y los inductores son lineales porque tienen la propiedad de escalamiento.

Linealidad

El término linealidad se refiere a la propiedad de escalamiento. Supón que tienes dos propiedades físicas relacionadas, por ejemplo la rapidez a la que puedes correr y la distancia que vas a recorrer. Si duplicas la velocidad, duplicas la distancia recorrida. Si triplicas la velocidad, triplicas la distancia. Esta es una relación lineal. Generalmente el costo de las cosas es lineal. Si un cuaderno cuesta 1$, diez cuadernos costarán 10$.
En electrónica, un resistor ideal crea una relación lineal entre el voltaje y la corriente. Si duplicas el voltaje, se duplica la corriente, y viceversa. Entonces decimos que un resistor ideal es un elemento lineal.

Escalamiento (homogeneidad)

Queremos describir esta propiedad en términos matemáticos. Podemos describir este duplicar-causa-duplicar como f(2x)=f(2x) = 2f(x). Del mismo modo, podemos escribir el triplicar-causa-triplicar como f(3x)=3f(x)f(3x) = 3f(x). En general, la propiedad de escalamiento es
f(ax)=af(x)f(ax) = af(x)
La palabra matemática elegante que designa esta propiedad es homogeneidad.
Una función cuya gráfica parece una recta que pasa por el origen tiene la propiedad de escalamiento. Sea y=f(x)=2xy = f(x) = 2x.
Si x=2x = 2, entonces y=22=4y = 2\cdot 2 = 4.
Si duplicamos xx de 22 a 44, entonces y=24=8y = 2\cdot 4 = 8.
Así que duplicar xx exactamente duplica yy.
Es importante hacer notar que, ya que f(x)f(x) es una línea recta, el factor de escala aa no depende del valor de xx.
Si la gráfica de la función tiene cualquier otra forma, como y=x2y=x^2, y=1/xy=1/x o y=exy = e^x, el factor de escala no es el mismo para toda xx, sino que depende del valor de xx.
Por ejemplo, si y=x2/16y = x^2/16,
En x=4x = 4, y=42/16=1y = 4 ^2/16 = 1, por lo que el factor de escala al pasar de xx a yy es de 1/41/4.
En x=8x = 8, y=82/16=4y = 8^2/16 = 4, por lo que el factor de escala es 1/2 1/2.
Para cualquier función que no sea una línea recta, el escalamiento (amplificación) no es constante y depende más bien del valor de entrada, xx.
Esta es la principal razón por la que nos gusta construir y usar amplificadores lineales para agrandar las señales pequeñas. Cada señal se escala de manera uniforme por la misma cantidad, de manera que la salida es una réplica de la entrada, agrandada a escala.

Suma (aditividad)

Cuando una relación es lineal (tiene la propiedad de escalamiento), podemos derivar una propiedad de aditividad. Todas las funciones lineales tienen la forma de una recta con factor de escala (la pendiente) aa:
f(x)=axf(x) = ax
Si la entrada es la suma (x1+x2)(x_1 + x_2) de dos entradas diferentes, entonces
f(x1+x2)=a(x1+x2),f(x_1+x_2) = a(x_1 + x_2)\,,
y, usando la propiedad distributiva,
f(x1+x2)=ax1+ax2.f(x_1+x_2) = ax_1 + ax_2\,.
Los términos del lado derecho son equivalentes a:
ax1=f(x1)ax2=f(x2)ax_1 = f(x_1)\qquad ax_2 = f(x_2)
Ahora tenemos una propiedad para la suma (llamada aditividad en lenguaje de matemáticos):
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)f(x_1+x_2) = f(x_1) + f(x_2)
Podemos usar esta propiedad de aditividad de una forma inteligente.
Supón que tenemos dos entradas, x1x_1 y x2x_2, y que hacemos de ellas entradas de una función lineal, f(x)f(x). Las salidas son, por supuesto, f(x1)f(x_1) y f(x2)f(x_2).
Si sumamos las entradas, x1+x2x_1+x_2, e ingresamos la suma en f(x)f(x), por definición la salida será f(x1+x2)f(x_1+x_2).
Esta es la parte inteligente: si resulta que f(x)f(x) es una función lineal, hay otra forma de derivar la salida cuando x1+x2x_1+x_2 es la entrada. La salida también puede calcularse de la suma de las dos salidas individuales, f(x1)+f(x2)f(x_1)+f(x_2).
La propiedad de aditividad de las funciones lineales se denomina superposición. Es la base de la técnica para el análisis de circuitos con el mismo nombre. La superposición se emplea brillantemente en el método de la corriente de malla y en muchas otras áreas de la ingeniería (especialmente en el procesamiento de señales).

Linealidad de componentes electrónicos

Comencemos con estudiar un resistor. Matemáticamente, puedes tomar el punto de vista que un resistor es una función que toma el voltaje como entrada y crea una corriente como salida.
Podemos afirmar que un resistor ideal es lineal al analizar si cumple con regla de escalamiento. Podemos escribir la ley de Ohm como una función:
i=f(v)=1Rvi = f(v) = \dfrac{1}{\text R}\,v

Escalamiento del resistor

Si duplicamos el voltaje en la resistencia, la corriente se duplica.
Si enviamos 44 veces más corriente a través del resistor, el voltaje aumenta 44 veces.

Aditividad del resistor

Si aplicamos 1V+3V1\, \text V + 3\, \text V a la resistencia, la corriente resultante es
1V+3VR=4VR\dfrac{1\,\text V+ 3\,\text V}{\text R} = \dfrac{4\,\text V}{\text R}\quad
o
1VR+3VR=4VR\dfrac{1\,\text V}{\text R} + \dfrac{3\,\text V}{\text R} = \dfrac{4\,\text V}{\text R}
Un resistor tiene la propiedad de escalamiento (y, por lo tanto, automáticamente la de aditividad).
Un resistor es un elemento lineal.
Para un resistor del mundo real existen límites al voltaje y a la corriente. Si la potencia (iv)(i\cdot v) es mayor que la que el resistor puede soportar, el valor de su resistencia puede cambiar conforme se calienta, o puede incluso quemarse. Así, un resistor real es lineal solamente bajo cierto rango de valores de voltaje y corriente. En cambio, un resistor ideal opera linealmente para cualquier ii o vv, razón por la que decimos que "es lineal y punto".

¿Son lineales los capacitores y los inductores?

Las leyes del capacitor y del inductor son
i=Cdvdti = \text C \,\dfrac{dv}{dt}
y
v=Ldidtv = \text L\,\dfrac{di}{dt}
A primera vista, puede parecer que estas no son ecuaciones de rectas, pero lo son. Son rectas si pensamos que las variables independientes son dv/dt{dv}/{dt} y di/dt{di}/{dt} en vez de vv o ii, respectivamente.
i=f(dvdt)=Cdvdti = f \left (\dfrac{dv}{dt} \right) = \text C \,\dfrac{dv}{dt}
y
v=f(didt)=Ldidtv = f \left (\dfrac{di}{dt} \right) = \text L\,\dfrac{di}{dt}
La ley del capacitor se puede graficar como una línea recta con dv/dtdv/dt en el eje horizontal e ii en el eje vertical. La pendiente de la recta del capacitor es C\text C.
De igual manera, la ley del inductor se puede graficar como una línea recta con di/dtdi/dt en el eje horizontal y vv en el eje vertical. La pendiente de la recta del inductor es L\text L.
Los capacitores y los inductores son elementos lineales.
Ahora tenemos tres: R, L y C\text{R, L y C}.
Con tan solo estos componentes lineales podemos generar muchas funciones interesantes en electrónica.

Un diodo es un dispositivo no lineal

Puede ayudar tomarnos un segundo y hablar de algo que no es un dispositivo lineal, solo por contraste. Un diodo es un dispositivo semiconductor no lineal.
Vamos a aprender mucho más sobre diodos un poco después. Por ahora, solo quiero echar un vistazo a su curva ii-vv para dar un ejemplo de cómo se ve un dispositivo no lineal:
Esta curva ii-vv representa la ley de elemento del diodo. Claramente no parece una línea recta, por lo que definitivamente no es un dispositivo lineal. El comportamiento no lineal del diodo es típico de los dispositivos semiconductores, como los transistores.

¿Por qué hacemos tanto ruido con la linealidad?

Respuesta: ¡las matemáticas funcionan muy bien!
Los circuitos con componentes lineales se pueden resolver exactamente. De hecho, hay un rama entera de las matemáticas dedicada al tratamiento de funciones lineales, llamada álgebra lineal.
Algunos ejemplos de la grandeza de la linealidad: las leyes de Kirchhoff funcionan debido a la linealidad, así como el método del voltaje en los nodos y el método de la corriente de lazo.

Elementos y funciones no-lineales

En general, las funciones cuyo comportamiento es no lineal no tienen estas propiedades. Los seres humanos no hemos creado un método general para resolver exactamente ecuaciones y circuitos no lineales. Cada nuevo tipo de circuito requiere técnicas matemáticas específicas, propias de él mismo. El enfoque habitual para circuitos no lineales es hacer hasta lo imposible para hacer que parezca lineal, al menos en algún pequeño rango de operación. Eso es lo que está pasando cuando ves términos como "aproximación lineal por pedazos" o "modelo de señal pequeña".

Resumen

Una función es lineal si tiene estas propiedades:
Homogeneidad (escalamiento): f(ax)=af(x)f(ax) = af(x)
Aditividad: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)f(x_1+x_2) = f(x_1) + f(x_2)
Si xx y aa son números reales (a diferencia de vectores o matrices), estas propiedades significan lo mismo, y basta que pruebes solo una de ellas.
Los resistores, los capacitores y los inductores son elementos lineales porque tienen la propiedad de escalamiento.

La linealidad en palabras

  1. Escalar la entrada en un factor de aa escala la salida en un factor de aa.
  2. Sumar dos entradas produce la misma salida que aplicar cada entrada individualmente y sumar las dos salidas respectivas.
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