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Ingeniería eléctrica

Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 3: Análisis de circuitos de corriente directa

El método de la corriente de malla

Con el método de la corriente de maya se pueden resolver circuitos al escribir la ley de voltaje de Kirchhoff para corrientes que fluyen en los lazos de un circuito. Escrito por Willi McAllister.

Introducción

El método de la corriente de malla es otro método bien organizado para resolver circuitos (el otro es el del voltaje en los nodos). Al igual que en cualquier análisis de circuito, tenemos que resolver un sistema de

2 E

ecuaciones independientes, donde

E

es el número de elementos del circuito. El método de la corriente de malla facilita el análisis, y produce un número relativamente pequeño de ecuaciones a resolver.

El método de la corriente de malla se basa en la ley de voltaje de Kirchhoff (LVK).

El método de la corriente de lazo es una pequeña variación del método de la corriente de malla.

Lazos y mallas

El método de la corriente de malla utiliza dos términos especiales: lazo y malla.

Un lazo es cualquier trayectoria cerrada alrededor de un circuito. Para formar un lazo, debes comenzar en la terminal de algún componente y trazar un camino a través de elementos conectados hasta llegar nuevamente al punto de partida. Un lazo solo puede pasar por un elemento una vez (de tal forma que no obtengas lazos que parezcan el número 8). En el circuito de arriba hay tres lazos: dos representados con una línea continua,

I

II

, y otro con una línea punteada,

III

, que sigue el perímetro del circuito.

Si trazamos los lazos en el sentido de las manecillas del reloj, los tres pasan a través de:

\begin{aligned} Lazo I: & V1 - R1 - R3 \\ Lazo II: & R3 - R2 - V2 \\ Lazo III (punteado): & V1 - R1 - R2 - V2 \end{aligned}

Una malla es una clase restringida de lazo; una malla es un lazo que no contiene otros lazos. En el circuito de arriba, los lazos

I

II

son mallas porque no hay lazos pequeños dentro de ellas. El lazo punteado no es una malla, pues contiene dos lazos distintos.

[¿Cuál es el significado de la palabra "malla"?]

En el método de la corriente de malla, usamos las mallas de un circuito para generar las ecuaciones LVK.

Corriente de lazo

Ahora definimos un nuevo término, la corriente de lazo (también las puedes llamar corrientes de malla). Hasta ahora, cuando hemos hablado de corriente, ha sido generalmente en el contexto de una corriente de elemento (la corriente que fluye a través de un elemento del circuito). La corriente de lazo designa una hipotética corriente que fluye exclusivamente alrededor de un lazo. Es una idea un poco extraña, pero deja que te explique. En el siguiente circuito, definamos como corrientes de lazo a

i_{I}

i_{II}

, que fluyen alrededor de las mallas

I

II

en el sentido indicado por las flechas.

Es claro que

i_{I}

es la corriente que fluye por la fuente

V 1

y el resistor

R 1

. Del mismo modo,

i_{II}

es la corriente que fluye por el resistor

R 2

y la fuente

V 2

. Pero ¿qué ocurre con la corriente en

R 3

Miremos de cerca a

R 3

en la rama de en medio del circuito. ¿Cuál es la corriente que fluye por

R 3

De la forma en que están dibujadas las corrientes de lazo, parece que ambas pasan por

R 3

, pero en direcciones opuestas. ¿Puede esto ser verdad? Sí, porque podemos utilizar un concepto muy importante llamado principio de superposición.

El principio de superposición

La palabra superposición es una manera elegante de decir suma. En el caso de

R 3

, estamos usando el principio de superposición cuando decimos que las corrientes de lazo,

i_{I}

i_{II}

, se suman en la corriente existente en el resistor,

i_{R 3}

+ i_{R 3} = + i_{I} - i_{II}

Las dos corrientes de lazo se superponen (se suman) para formar la corriente a través de

R 3

. La flecha para la corriente de lazo

i_{I}

apunta en el mismo sentido que la corriente en la rama

i_{R 3}

, dándole un

+

en la ecuación de superposición. La flecha para la corriente de lazo

i_{II}

apunta en sentido opuesto, por lo que adopta un signo

-

en la ecuación.

Linealidad

La razón por la que podemos usar el principio de superposición con resistores ideales son elementos lineales. La linealidad para un resistor ideal significa que si multiplicamos el voltaje por una constante

a

, entonces la corriente se multiplica por la misma constante

a

v = i R

a v = a i R

Existe un límite para el valor de

a

de un resistor real puede soportar antes de quemarse. Un resistor ideal es un elemento lineal, pues opera para cualquier valor de

a

La linealidad significa que podemos usar el principio de superposición, que a su vez quiere decir que tiene sentido que corrientes de múltiples lazos circulen por un mismo elemento del circuito. Tener varias corrientes significa que podemos utilizar las corrientes de lazo como variables independientes. ¡Y eso implica que podemos utilizar el método de la corriente de lazo para resolver circuitos!

Si quieres aprender más sobre el concepto de linealidad, échale un vistazo al artículo principal sobre linealidad.

Práctica sobre la corriente de lazo

Problema 1

Encuentra la corriente $i_{Rx}$ ‍ del elemento correspondiente.

i_{Rx} =

mA

problema 2

Encuentra la corriente $i_{Ry}$ ‍ del elemento correspondiente.

i_{Ry} =

mA

El método de la corriente de malla que se describe a continuación sirve para analizar circuitos planos (aquellos que pueden dibujarse sin cruzar cables). La mayoría de los circuitos con los que te encontrarás son planos. Si el circuito no es plano (solo puede dibujarse con cruces entre cables), hay una pequeña modificación al método, que entonces adquiere el nombre de "método de la corriente de lazo". La mayor parte del proceso es la misma para ambos métodos, así que aprendamos primero el método de la corriente de malla para circuitos planos. Vamos hablar más sobre el método de la corriente de lazo en el artículo principal sobre el método de la corriente de lazo.

El método de la corriente de malla

El método de corriente de malla se basa en corrientes de lazo alrededor de mallas. El análisis se hace siguiendo estos pasos:

Identifica las mallas (las ventanas abiertas del circuito).
Asigna una corriente a cada malla, usando una dirección consistente (a favor o en contra de las manecillas del reloj).
Escribe las ecuaciones para la ley del voltaje de Kirchhoff al rededor de cada malla.
Resuelve el sistema de ecuaciones resultante para todas las corrientes de malla.
Determina las corrientes y los voltajes de los demás elementos del circuito por medio de la ley de Ohm.

Aquí está el circuito que vamos a analizar para mostrar el método de la corriente de malla,

Identifica las mallas

Nuestro circuito tiene dos mallas. Identificamos dos corrientes de lazo que llamamos

i_{I}

i_{II}

, que serán nuestras variables independientes. Importante: los sentidos de las corrientes de lazo son los mismos, ambos en sentido de las manecillas del reloj.

Al definir una corriente de malla en cada malla, tendrás suficientes ecuaciones independientes para resolver el circuito.

Escribe la ley de voltaje (LVK) alrededor de cada malla

Habilidad importante para la corriente de malla: ¡garabatear el esquema!

Para prepararnos a escribir las ecuaciones LVK, marcamos el esquema con los voltajes (

+

-

anaranjados) y las corrientes (flechas verdes) de cada elemento del circuito usando la convención de signos para los componentes pasivos. También añado flechas azules adicionales a los lazos, de manera que siempre sé en qué sentido fluye la corriente de lazo.

Etiqueta primero las corrientes de los elementos del circuito (antes de asignar los voltajes). Es una buena idea dibujar las corrientes de modo que apunten en el mismo sentido que la corriente de lazo más cercana. No siempre puedes hacer esto; en este caso, vemos un ejemplo en el que $i_{II}$ ‍ va en contra de la flecha de la corriente en el resistor de $1 k Ω$ ‍. Esto está bien; al final va a funcionar.
Luego, etiqueta los voltajes de cada elemento del circuito con el signo $+$ ‍ cerca de la flecha de corriente entrante (convención de signos para los componentes pasivos).

Ahora escribimos una ecuación para cada malla usando la ley de voltaje de Kirchhoff (suma los voltajes alrededor de una malla e iguala la suma a cero). Para hacerlo, aquí está cómo incluir los términos de voltaje:

Cuando te encuentres una fuente de voltaje, incorpórala en la ecuación con el valor de su voltaje.
Cuando te encuentres un resistor, incluye su voltaje como el producto "resistencia $\times$ ‍ corriente del lazo". Esto es equivalente a usar mentalmente la ley de Ohm.
Si las corrientes de dos lazos (que recorren en el mismo sentido) pasan por un mismo resistor, considera su diferencia en la expresión de la ley de Ohm.

La ecuación para la malla $I$ ‍, paso a paso

Comenzamos en la esquina inferior izquierda del esquema y recorremos la malla

I

en el sentido de las manecillas del reloj.

El primer elemento con el que nos atravesamos es la fuente de voltaje de $5 V$ ‍. En primer lugar nos encontramos el signo anaranjado $-$ ‍. Esto significa que experimentaremos una subida de voltaje al pasar por la fuente. Puesto que es una subida, entra en la ecuación con un signo $+$ ‍, es decir, $+ 5 V$ ‍.

malla I: + 5 V …

El segundo elemento que encontramos es el resistor de $2 k Ω$ ‍. El voltaje a través de este resistor es $2 k Ω \cdot i_{I}$ ‍ (este es el significado de "usar mentalmente la ley de Ohm"), y su flecha de corriente va en el mismo sentido que la corriente de lazo $i_{I}$ ‍. El signo anaranjado $+$ ‍ del voltaje nos dice que experimentaremos una bajada de voltaje al pasar por el componente, de tal modo que este término entra en la ecuación con un signo $-$ ‍, es decir, $- 2000 i_{I}$ ‍.

malla I: + 5 V - 2000 i_{I} …

El siguiente componente en el lazo es el resistor de $1 k Ω$ ‍. Dos corrientes de lazo fluyen a través de él, $i_{I}$ ‍ e $i_{II}$ ‍. La corriente neta en el resistor es $(i_{I} - i_{II})$ ‍. Por lo tanto, el voltaje es $1 k Ω \cdot (i_{I} - i_{II})$ ‍. El signo anaranjado $+$ ‍ del voltaje nos dice que experimentaremos una bajada de voltaje al pasar por el componente, de tal modo que este término entra en la ecuación con un signo $-$ ‍, es decir, $- 1 k Ω \cdot (i_{I} - i_{II})$ ‍.

malla I: + 5 V - 2000 i_{I} - 1000 (i_{I} - i_{II}) …

Terminamos el viaje alrededor del lazo $I$ ‍. Solo falta igualar a cero la suma de voltajes alrededor del lazo.

malla I: + 5 V - 2000 i_{I} - 1000 (i_{I} - i_{II}) = 0

Resumen de los términos LVK de la malla $I$ ‍:

La ecuación para la malla $II$ ‍, paso a paso

Comenzamos en la parte inferior del resistor de

1 k Ω

y viajamos alrededor de la malla en el sentido de las manecillas del reloj.

El primer elemento es el resistor de $1 k Ω$ ‍, y pasan por él dos corrientes de lazo. La corriente neta en el resistor es $(i_{I} - i_{II})$ ‍. Ya que estamos llegando al resistor desde abajo, por su signo anaranjado $-$ ‍, al pasar a través de él vamos a experimentar una subida de voltaje, de manera que el término a incluir en la ecuación es $+ 1000 \cdot (i_{I} - i_{II})$ ‍.

malla II: + 1000 (i_{I} - i_{II}) …

El siguiente componente es el resistor de $2 k Ω$ ‍ en la parte superior derecha del esquema, atravesado solamente por $i_{II}$ ‍. Puesto que se trata de una bajada de voltaje, entra en la ecuación como $- 2000 \cdot i_{II}$ ‍.

malla II: + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} …

A lo último que llegamos es a la fuente de $2 V$ ‍. Nos ocupamos de las fuentes como casos especiales, solo usando su valor de voltaje. Vemos una bajada de voltaje al pasar a través de esta fuente, por lo que entra en la ecuación como $- 2 V$ ‍.

malla II: + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} - 2 V …

Acabamos al igualar a cero la suma en el lazo,

malla II: + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} - 2 V = 0

Resumen de los términos LVK de la malla $II$ ‍:

Resuelve el sistema de ecuaciones de malla para encontrar las corrientes

Nuestras ecuaciones de malla copiadas de arriba:

malla I: + 5 V - 2000 i_{I} - 1000 (i_{I} - i_{II}) = 0

malla II: + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} - 2 V = 0

Para iniciar el proceso de solución, multiplica términos y mueve constantes hacia el lado derecho,

malla I: - 2000 i_{I} - 1000 i_{I} + 1000 i_{II} = - 5

malla II: + 1000 i_{I} - 1000 i_{II} - 2000 i_{II} = + 2

Agrupa los términos semejantes para obtener un pulcro sistema de ecuaciones,

malla I: - 3000 i_{I} + 1000 i_{II} = - 5

malla II: + 1000 i_{I} - 3000 i_{II} = + 2

Nuestra estrategia será eliminar

i_{I}

al multiplicar la segunda ecuación por

3

y sumarla a la primera ecuación. Aquí está la multiplicación de la ecuación de la malla

II

\begin{aligned} malla II: 3 \times [+ 1000 i_{I} - 3000 i_{II} & = + 2] = \\ [+ 3000 i_{I} - 9000 i_{II} & = + 6] \end{aligned}

Ahora suma las dos ecuaciones. Los términos

i_{I}

se cancelan y nos queda solo el término en

i_{II}

\begin{aligned} malla I: [- 3000 i_{I} + 1000 i_{II} & = - 5] \\ malla II: + [+ 3000 i_{I} - 9000 i_{II} & = + 6] \\ suma : - 8000 i_{II} & = + 1 \\ i_{II} & = \frac{+ 1}{- 8000} \\ i_{II} & = - 0.125 mA \end{aligned}

La corriente de lazo

i_{II}

tiene un signo negativo. Eso significa que fluye en sentido opuesto a su flecha azul.

Ahora conocemos una de las corrientes de lazo. Sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones lazo para obtener la otra corriente. Usemos la ecuación del lazo

I

- 3000 i_{I} + 1000 i_{II} = - 5

- 3000 i_{I} + 1000 \cdot (- 0.125 mA) = - 5

- 3000 i_{I} = - 5 + 0.125

i_{I} = \frac{- 4.875}{- 3000}

i_{I} = + 1.625 mA

Hemos resuelto las dos corrientes de lazo. Ahora estamos listos para encontrar los voltajes y las corrientes de los elementos del circuito.

Determina las corrientes y los voltajes de los otros elementos

Para cualquier elemento por el que fluya solamente una corriente de lazo, sabemos inmediatamente que la corriente que lo atraviesa es igual a la corriente del lazo,

i_{2 k Ω izquierdo} = + i_{I} = + 1.625 mA

i_{2 k Ω derecho} = + i_{II} = - 0.125 mA

Por el resistor de

1 k Ω

fluyen dos corrientes de lazo, de modo que usamos el principio de superposición para encontrar la corriente del elemento,

i_{1 k Ω} = i_{I} - i_{II} = + 1.625 mA - (- 0.125 mA) = + 1.75 mA

Y finalmente obtenemos el voltaje en el nodo que está entre los tres resistores utilizando la ley de Ohm en el resistor de

1 k Ω

v_{1 k Ω} = 1 k Ω \cdot 1.75 mA = 1.75 V

¡Todo terminado! Analizamos el circuito por medio del método de la corriente de malla.

Elige un método

Ahora tenemos dos métodos eficientes para analizar circuitos, el método del voltaje en los nodos y el método de la corriente de lazo. ¿Cuál es el mejor para usar en un caso dado? Para elegir entre los dos, cuenta el número de mallas en el circuito y compara con el número de nodos. ¿Qué número es más pequeño, el de mallas o el de nodos? Generalmente es mejor elegir el método que resulte en menos ecuaciones simultáneas. Si el número de nodos y de mallas son iguales o casi iguales, elige el método que entiendas mejor.

Resumen

Para resolver un circuito, el método de la corriente de malla es una alternativa al método de voltaje en nodos.

Los pasos a seguir en el método de la corriente de malla son,

Identifica las mallas.
Asigna una corriente a cada malla eligiendo un sentido (a favor o en contra de las manecillas del reloj).
Escribe las leyes de voltaje de Kirchhoff alrededor de cada malla.
- Las fuentes de voltaje entran como voltajes.
- Los voltajes a través de un resistor entran como $R \times i_{l a z o}$ ‍.
- Si dos corrientes de lazo fluyen en sentidos opuestos en un resistor, el voltaje entra como $R \times (i_{l a z o 1} - i_{l a z o 2})$ ‍ (si fluyen en la misma dirección, es un signo positivo en vez de uno negativo).
- Iguala a cero la suma de los voltajes (si esto te resulta confuso, revisa el artículo sobre la LVK
Resuelve el sistema de ecuaciones resultante para todas las corrientes de lazo.
Usando la ley de Ohm, determina las corrientes y los voltajes en los elementos que desees.

Si el circuito no es plano, o dos mallas comparten una fuente de corriente, es mejor utilizar el método de la corriente de lazo.

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Mauro Lanzillotta
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “Hola, no entiendo porque ...” de Mauro Lanzillotta
Hola, no entiendo porque cuando analizamos la malla II, vuelve a tomar (i1 - i2), si estamos haciendo en el sentido del reloj, entonces ahora i1 es negativa e i2 es positiva o no? y si es no porque? me doy a entender?
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Ivonne
Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “cuando sustituimos el val...” de Ivonne
cuando sustituimos el valor de i2, a la primera ecuacion (malla 1), nos queda asi:
-3000(i1)-1000(-0.125mA)=-5
ahora mi pregunta ¿porque no se multiplica el mil por los mili amperios, y pasa a sumar al otro lado solo como -0.125?
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- Giova
  Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “Cuando lo pasamos al otro...” de Giova
  Cuando lo pasamos al otro para sumar, al mismo tiempo lo pasamos a A al multiplicar por 1000. Si te fijas lo expresan como 0.125mA (0.000125A), que también podríamos representar como una división 125mA /1000 , ahí se ve que 1000 se cancela con la división y simplemente lo expresamos en amperios (0.125A) en vez de mA (125mA)
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anahi.cordova.albarracin
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “¿Por qué no puedo sumar l...” de anahi.cordova.albarracin
¿Por qué no puedo sumar las resistencias y el voltaje de las baterías para resolver el ejercicio?
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al2173076707
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “Los circuitos están hecho...” de al2173076707
Los circuitos están hechos en TeX?
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Lazos y mallas

Corriente de lazo

El principio de superposición

Linealidad

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El método de la corriente de malla

Identifica las mallas

Escribe la ley de voltaje (LVK) alrededor de cada malla

Habilidad importante para la corriente de malla: ¡garabatear el esquema!

La ecuación para la malla I‍ , paso a paso

La ecuación para la malla II‍ , paso a paso

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Determina las corrientes y los voltajes de los otros elementos

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