Contestamos las preguntas "¿Cuántas ecuaciones son necesarias para resolver un circuito" y "¿De dónde vienen?"

Introducción

"Resolver un circuito" significa resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.
  • ¿Cómo sabemos el número de ecuaciones requeridas para resolver un circuito?
  • ¿Cómo sabemos que podemos crearlas?
A medida que estudies análisis de circuitos, podría parecer suerte o coincidencia que obtengas el número correcto de ecuaciones para resolver. Este artículo mostrará que la suerte no está involucrada y que los métodos de análisis capturan de forma confiable todas las restricciones necesarias para resolver el circuito.

Qué vamos a construir

Para resolver un circuito, queremos conocer el voltaje y la corriente para cada elemento. Esto significa que necesitamos el doble de ecuaciones independientes que el número de elementos en el circuito.
Estas ecuaciones vienen de tres lugares:
  • Obtienes la mitad de las ecuaciones a partir de las leyes de los elementos para cada componente.
  • La ley de la corriente de Kirchhoff contribuye con N, minus, 1 ecuaciones independientes, donde N es el número de nodos.
  • La ley del voltaje de Kirchhoff contribuye con E, minus, left parenthesis, N, minus, 1, right parenthesis ecuaciones independientes, donde E es el número de elementos.
Si juntas todas estas, terminas con el número correcto de ecuaciones.

Los resultados que desarrollaremos aquí están incluidos en los distintos métodos de análisis de circuitos:
Está bien ir directamente a los métodos mismos y regresar aquí después.

¿Cuántas ecuaciones independientes se necesitan para resolver un circuito?

Esta es la pregunta clave que determina la cantidad de esfuerzo requerido para completar el análisis de un circuito. Te voy a mostrar cómo las ecuaciones vienen de dos lugares: de los elementos de los circuitos y de cómo están conectados entre sí.
Las tres restricciones puestas sobre las corrientes y los voltajes en un circuito son:
  • Las leyes i-v de los elementos.
  • La ley de la corriente de Kirchhoff.
  • La ley del voltaje de Kirchhoff.
El sistema de ecuaciones que debes escribir captura estas restricciones.
A medida que discutamos esto en términos abstractos, también vamos a usar un ejemplo concreto de un circuito.
Como aprendimos al resolver ecuaciones simultáneas en álgebra, el número de ecuaciones independientes que necesitas para resolver un sistema es igual al número de incógnitas. De modo que si tienes un sistema con 10 incógnitas, necesitas 10 ecuaciones para encontrar las 10 incógnitas. ¿Cuántas incógnitas tiene un circuito? Cada elemento de dos terminales contribuye con un voltaje y una corriente desconocidos. Así que E elementos contribuyen con 2, E incógnitas. Por lo tanto:
Resolver un circuito con E elementos requiere un sistema de space, 2, E ecuaciones independientes.

Verificación de conceptos

Ve si puedes responder algunas preguntas acerca de nuestro circuito de ejemplo.
¿Cuántos elementos hay en el circuito?
E, equals
elementos.

Este circuito tiene E, equals, 5 elementos.
¿Cuántos nodos tiene el circuito?
N, equals
nodos.

¿Cuántos lazos tiene el circuito?
lazos.

6 lazos. Los 3 lazos start color goldD, I, end color goldD, start color goldD, I, I, end color goldD y start color goldD, I, I, I, end color goldD se llaman mallas. Una malla es un lazo que no contiene otros lazos. Una malla también es llamada lazo interno.
¿Cuántos de esos lazos son mallas?
mallas.

De los 6 lazos en el circuito, 3 de ellos son mallas (también conocidas como lazos internos). Las mallas están numeradas start color goldD, I, end color goldD, start color goldD, I, I, end color goldD y start color goldD, I, I, I, end color goldD.
¿Cuántas ecuaciones necesitamos tener para resolver este circuito?
ecuaciones.

Este circuito tiene E, equals, 5 elementos. Debemos que encontrar 2, E, equals, 10 ecuaciones independientes para resolver este circuito.

¿De dónde salen las 2, E ecuaciones?

Respuesta: la mitad de las ecuaciones viene de los elementos individuales; la otra mitad viene de las leyes de Kirchhoff de la corriente y del voltaje.

La mitad de las ecuaciones viene de las leyes de los elementos

Imagina que tienes los componentes del circuito desconectados y esparcidos sobre una mesa.
Cada elemento tiene una corriente y un voltaje desconocidos:
Cada elemento trae consigo una ecuación i-v. Me gusta pensar que los elementos de los circuitos son como pequeños pedazos de matemáticas.
Estas relaciones i-v representan E ecuaciones independientes, la mitad del total requerido.
Este circuito de ejemplo no incluye capacitores o inductores. Si los incluyera, cada capacitor o inductor contribuiría con una ecuación i-v, respectivamente:
i, equals, C, space, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, space o space, v, equals, L, space, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction

¿De dónde vienen las E ecuaciones que faltan?

Las E ecuaciones que faltan vienen de las restricciones implicadas por el circuito. Las conexiones del circuito se juntan y restringen los voltajes y las corrientes de los elementos individuales. Podemos desarrollar E ecuaciones de conectividad al usar las leyes de la corriente (LCK) y del voltaje (LVK) de Kirchhoff.
Digamos que un circuito tiene E elementos y N nodos.
En el análisis de circuitos, elemento y rama significan lo mismo. Cada elemento de 2 terminales (resistor, capacitor, inductor, fuente o cualquier otro componente de 2 terminales) contribuye con una rama a un circuito. Una rama es el término matemático para un camino que conecta dos nodos. Cuando hablamos acerca de un circuito como un grafo, es común usar los términos nodo y rama para describir las uniones y trayectorias en el grafo. En este artículo, voy a usar E como el nombre de la variable para el número de elementos/ramas.
Nuestro circuito de ejemplo tiene E, equals, 5 elementos (ramas) y N, equals, 3 nodos. También sabemos que el circuito tiene 6 lazos, 3 de los cuales son mallas.
Este circuito de ejemplo tiene 6 lazos. Los 3 lazos start color goldD, I, end color goldD, start color goldD, I, I, end color goldD y start color goldD, I, I, I, end color goldD se llaman mallas. Una malla es un lazo que no contiene otros lazos.
Tener 3 nodos y 6 lazos son muchas posibilidades para tener E, equals, 5 ecuaciones más, pero tenemos que ser cuidadosos. Las ecuaciones que generemos tienen que ser independientes entre sí.

¿Qué es una ecuación independiente?

Una ecuación es linealmente independiente si no se puede derivar a partir de una combinación lineal de las otras ecuaciones en el sistema. Las combinaciones lineales son cualquier secuencia de suma, resta o multiplicación por una constante. Usas estas operaciones para combinar ecuaciones a medida que tratas de derivar la ecuación que falta.

¿Cuántas ecuaciones independientes vienen de la LCK?

Podemos escribir las ecuaciones de la LCK en cada nodo en el circuito para generar N ecuaciones. PERO las N ecuaciones de la LCK no son todas independientes. Una ecuación es redundante. Siempre es posible derivar una de las ecuaciones de la LCK a partir de las otras. Siempre hay una ecuación dependiente que no proporciona ninguna información nueva, así que no se necesita.
Para cualquier circuito, el conjunto completo de las ecuaciones de la LCK de los nodos contiene una ecuación linealmente dependiente. Linealmente dependiente significa que es posible combinar las otras ecuaciones al usar operaciones lineales (suma, resta y multiplicación por una constante) para generar la ecuación que falta.
Esta imagen muestra nuestro circuito de ejemplo con etiquetas en los nodos y las corrientes. Vamos a escribir las ecuaciones de los nodos de la LCK y demostrar una dependencia lineal entre ellas.
La LCK para el nodo a: space, plus, i, start subscript, 1, end subscript, minus, i, start subscript, 1, end subscript, equals, 0
La LCK para el nodo b: space, plus, i, start subscript, 1, end subscript, minus, i, start subscript, 2, end subscript, minus, i, start subscript, 3, end subscript, plus, i, start subscript, S, end subscript, equals, 0
La LCK para el nodo c: space, minus, i, start subscript, 1, end subscript, plus, i, start subscript, 2, end subscript, plus, i, start subscript, 3, end subscript, minus, i, start subscript, S, end subscript, equals, 0
La ecuación para el nodo a es trivial, porque hay una corriente que entra y una que sale.
El punto clave es que la ecuación de la LCK del nodo b se puede usar para derivar la ecuación del nodo c al multiplicarla por minus, 1. Multiplicar por una constante left parenthesis, minus, 1, right parenthesis es una de las transformaciones lineales que podemos usar para demostrar la dependencia lineal. La ecuación del nodo b, o la del nodo c, es redundante, y se puede omitir del sistema de ecuaciones. La práctica usual es quitar la ecuación de la LCK del nodo de tierra, el nodo c en este ejemplo. Nuestro circuito de ejemplo es particularmente sencillo, pero esto pasa para todos los circuitos. Siempre dejamos fuera una ecuación de la LCK.
Solo podemos escribir N, minus, 1 ecuaciones independientes al usar la LCK. Podemos elegir qué nodo dejar fuera. Por lo general, no incluimos el nodo de tierra porque es el más complicado (tiene el mayor número de conexiones).
Resumen: la LCK contribuye con N, minus, 1 ecuaciones independientes.
Esto nos deja con E, minus, left parenthesis, N, minus, 1, right parenthesis ecuaciones restantes.

¿Cuántas ecuaciones independientes vienen de la LVK?

Después de escribir N, minus, 1 ecuaciones al usar la LCK, todavía necesitamos encontrar otras E, minus, left parenthesis, N, minus, 1, right parenthesis. En nuestro circuito de ejemplo, necesitamos encontrar 5, minus, left parenthesis, 3, minus, 1, right parenthesis, equals, 3 ecuaciones más. ¿De dónde vendrán? Salen de usar la LVK alrededor de los lazos del circuito.
La teoría de grafos nos dice dos cosas maravillosas:
  • La LVK produce exactamente el número correcto de ecuaciones independientes, E, minus, left parenthesis, N, minus, 1, right parenthesis.
  • E, minus, left parenthesis, N, minus, 1, right parenthesis es igual al número de mallas.
De modo que una forma fácil de saber el número de ecuaciones provenientes de la LVK es contar las mallas.
La LVK producirá E, minus, left parenthesis, N, minus, 1, right parenthesis ecuaciones para cualquier tipo de circuito, pero solo podemos usar las mallas si el circuito es plano.
Un circuito plano es aquel que se puede dibujar sin cruzar cables. Si un circuito no se puede dibujar de manera plana, sin cruzar cables, es no plano. Nuestro circuito de ejemplo es plano, como son la mayoría de los circuitos que te van a pedir que analices a mano.
El artículo que describe el método de la corriente de lazo muestra cómo manejar circuitos no planos.
Nuestro circuito de ejemplo tiene 3 mallas, así que inmediatamente sabemos que necesitamos escribir 3 ecuaciones de la LVK; ni más, ni menos. Nuestro circuito tiene 6 lazos (incluyendo las 3 mallas), así que hay bastantes opciones para escribir las ecuaciones que necesitamos.

Asegurarse de que las ecuaciones de la LVK sean independientes

Queremos que las ecuaciones de la LVK sean independientes. ¿Cómo hacemos eso?
La forma más sencilla: si nos limitamos a escribir las ecuaciones de la LVK solo para las mallas:
Las mallas garantizan la producción de ecuaciones independientes.
Si queremos (o tenemos) que incluir ecuaciones para lazos que no sean mallas, requerimos un poco más de cuidado para asegurarnos de que sean independientes. Una manera de asegurarnos de que un lazo es independiente es:
Asegurarse de que cada lazos incluya un elemento que no esté en ningún otro lazo.
Para nuestro circuito de ejemplo, de los 6 lazos disponibles, necesitamos obtener 3 ecuaciones independientes para la LVK. Echemos un vistazo al diagrama de lazos:
Si escogemos las tres mallas, start color goldD, I, end color goldD, start color goldD, I, I, end color goldD y start color goldD, I, I, I, end color goldD, ¡ganamos! Las tres mallas producen el número correcto de ecuaciones, y está garantizado que sean independientes. Esto es muy conveniente, ya que es fácil identificar las mallas. Esta es la base del método de la corriente de malla.
Otro conjunto válido de lazos de nuestro circuito de ejemplo serían los lazos start color greenD, I, V, end color greenD, start color blueD, V, end color blueD y start color maroonC, V, I, end color maroonC. ¿Por qué este podría ser un buen conjunto?
  • Hay 3 ecuaciones, como lo requiere E, minus, left parenthesis, N, minus, 1, right parenthesis, equals, 3.
  • Cada elemento está incluido en un lazo.
Algunos conjuntos de lazos no cumplen con los lineamientos: ¿puedes decir por qué?
  • start color goldD, I, end color goldD, start color blueD, V, end color blueD y start color maroonC, V, I, end color maroonC, space
    Este conjunto no incluye el resistor junto a la fuente de corriente. Cada elemento necesita una oportunidad de influir en el resultado.
  • start color greenD, I, V, end color greenD y start color blueD, V, end color blueD, space
    Este conjunto solo produce 2 ecuaciones, y se requieren 3. Esto es cierto, incluso si en conjunto los lazos pasan por todos los elementos. Sigue siendo necesario que tengas 3 ecuaciones para describir o restringir de manera completa al circuito. Por esto es que el conjunto apropiado enunciado arriba funciona: start color greenD, I, V, end color greenD, start color blueD, V, end color blueD y start color maroonC, V, I, end color maroonC.
  • start color goldD, I, end color goldD, start color goldD, I, I, end color goldD, start color goldD, I, I, I, end color goldD y start color maroonC, V, I, end color maroonC, space
    Podrías obtener la respuesta con 4 lazos, pero es más de lo que necesitas. 4 excede el número de ecuaciones requeridas, E, minus, left parenthesis, N, minus, 1, right parenthesis, equals, 3. Eso significa que una de las ecuaciones es linealmente dependiente de las otras, y se puede dejar fuera.
Escribir las ecuaciones de la LVK para lazos que no sean mallas toma un poco más de cuidado, pero a veces podrías querer usar un lazo, o estás forzado a usarlo. No rehuyas a usar lazos, simplemente mantente alerta y atento acerca de ellos.
Hay algunos circuitos en donde queremos usar lazos, y otros en donde estamos forzados a usar tanto lazos como mallas. Estos casos especiales se describen en el método de la corriente de malla.

Resumen

Hay tres restricciones sobre las corrientes y los voltajes en un circuito:
  • Las leyes i-v de los elementos.
  • La ley de la corriente de Kirchhoff.
  • La ley del voltaje de Kirchhoff.
El sistema de ecuaciones que debes escribir captura estas restricciones.
Para un circuito con E elementos y N nodos:
  • Necesitas :
    • 2, E ecuaciones independientes para resolver el circuito.
  • Obtienes:
    • E ecuaciones a partir de las leyes de los elementos para cada componente (la ley de Ohm y demás).
    • N, minus, 1 ecuaciones independientes para los nodos al usar la LCK.
    • E, minus, left parenthesis, N, minus, 1, right parenthesis ecuaciones independientes para los lazos al usar la LVK.
  • E, minus, left parenthesis, N, minus, 1, right parenthesis es igual al número de mallas, así que una forma fácil de averiguar el número correcto de ecuaciones de la LVK es contar las mallas.
  • Escribir las ecuaciones de la LVK sobre las mallas garantiza el número correcto de ecuaciones independientes de la LVK.
  • Si incluyes lazos que no sean mallas, si cada lazo tiene por lo menos un elemento que no esté en ningún otro lazo, está garantizado que será independiente.
Este artículo está bajo la licencia CC BY-NC-SA 4.0.