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Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 3: Análisis de circuitos de corriente directa

Superposición

Con el principio de superposición puedes simplificar el análisis de circuitos con varias entradas. Escrito por Willy McAllister.

La superposición es una técnica muy útil para añadir a tu conjunto de herramientas que sirve para analizar circuitos. Usa la superposición cuando tengas un circuito con entradas múltiples o múltiples fuentes de poder.

Qué vamos a construir

El principio de superposición es otro nombre para la propiedad aditiva de la linealidad:

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

Para resolver un circuito usando superposición, el primer paso es apagar o suprimir todas las entradas excepto una.

Para suprimir una fuente de voltaje reemplázala con un cortocircuito.
Para suprimir una fuente de corriente reemplázala con un circuito abierto.

Luego analizas los circuitos resultantes más sencillos. Repite para todas las entradas.

El resultado final es la suma de los resultados individuales.

Describir un circuito como una función

El principio de superposición se define usando notación funcional, así que aquí hablamos un poco acerca de cómo los circuitos se pueden representar como funciones.

Para empezar con algo sencillo... ¿Cómo podrías representar un solo resistor usando la notación de una función matemática? Aquí no está pasando nada extraordinario, solo estoy hablando de la ley de Ohm usando terminología de funciones. Empezamos por identificar tres cosas: las entradas, lo que hace la función y las salidas.

Decidí (de manera arbitraria) que el voltaje

v_{i}

será la entrada de nuestra función del resistor. Podemos suponer que la entrada

v_{i}

se genera por alguna cosa que produce voltaje que no estamos mostrando. Designamos la salida como la cosa interesante que queremos conocer. Para esta función, la salida es la corriente

i

en el resistor.

El voltaje de entrada se le aplica a los dos círculos pequeños (los círculos le indican el puerto de entrada a nuestra función). La propia función viene del resistor, por medio de la ley de Ohm. La salida de nuestra función será la corriente,

i

, medida por algún medidor de corriente no mostrado.

Escrito como una función, nuestro resistor es

i = f (v_{i}) = \frac{1}{R} v_{i}

Con esta notación, vemos al resistor como una función que toma como entrada un voltaje y tiene como salida una corriente.

Un resistor es una función lineal

Al ver nuestra función para el resistor, observamos que tiene la propiedad de escalamiento: la salida,

i

, equivale a la entrada,

v

, escalada por una constante,

R

. Eso significa que el resistor es lineal. La propiedad de linealidad es lo que dispara nuestra habilidad de usar la superposición para ayudarnos a resolver un circuito.

(Recuérdame acerca del significado de linealidad).

Usar superposición para ayudarnos a resolver un circuito

(Este es un ejemplo de "juguete" para darte una idea de cómo usar la superposición).

Digamos que la entrada de nuestra función consiste de dos voltajes en serie:

La entrada para nuestra función consiste de dos baterías en serie:

v_{i} = Vs1 + Vs2

La función es

f (v) = \frac{1}{R} v

La salida de la función no ha cambiado; todavía es

i = f (v)

Ahora resolvemos este circuito de dos maneras: primero por medio de un análisis convencional, y después usando el principio de superposición.

Solución convencional

Para resolver por medios convencionales, escribimos las ecuación de la LVK alrededor del lazo:

Vs1 + Vs2 - i R = 0

y despejamos

i

i = f (Vs1 + Vs2) = \frac{Vs1 + Vs2}{R}

(solución convencional)

Solución usando el principio de superposición

El principio de superposición se aplica a una función lineal,

f

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

Dice: si tienes dos entradas superpuestas,

(x_{1} + x_{2})

, puedes aplicar una entrada a la vez,

(x_{1})

seguida de

(x_{2})

, y después sumar los resultados individuales para obtener la respuesta completa.

Ahora usemos el principio de superposición para resolver el circuito. Como modelamos nuestro circuito como una función, podemos decir que:

i = f (Vs1 + Vs2)

es lo mismo que

i = f (Vs1) + f (Vs2)

Esto sugiere una posibilidad interesante. Dice que podemos calcular la corriente de salida de la manera convencional al aplicar las entradas combinadas

f (Vs1 + Vs2)

, o podríamos obtener la misma respuesta al calcular la función con entradas individuales

f (Vs1)

f (Vs2)

y sumar los resultados. Vamos a intentar esto y ver qué sucede.

Suprimir entradas

Para aplicar la superposición necesitamos aplicar las entradas una a la vez. Eso significa que tenemos que apagar todas las entradas excepto una. Cuando apagamos una entrada decimos que está suprimida.

¿Qué significa apagar una fuente de voltaje? Significa que hacemos

V = 0

. Esto es lo mismo que reemplazar la fuente de voltaje o la batería con un cortocircuito.

¿Qué significa apagar una fuente de corriente? Significa que hacemos

I = 0

. Es lo mismo que reemplazar la fuente de corriente con un circuito abierto.

Usar superposición

En los siguientes dos esquemas, se apagó (suprimió ) una de las entradas de voltaje al reemplazarla con un cortocircuito.

Cuando igualamos a cero o suprimimos una entrada, reemplazamos una de las entradas con

0

, permitiendo que la entrada que queda brille por sí sola.

f (Vs1 + 0) \to f (Vs1)

f (0 + Vs2) \to f (Vs2)

Si la función (circuito) tiene más de dos entradas, aíslas una sola entrada al suprimir todas las demás. De modo que si la función tiene tres entradas, suprimes dos a la vez, y haces eso tres veces. Si la función es

s a l i d a = f (e n t r a d a_{1}, e n t r a d a_{2}, e n t r a d a_{3})

entonces aíslas la

e n t r a d a_{1}

al suprimir la

e n t r a d a_{2}

y la

e n t r a d a_{3}

, y así sucesivamente:

s a l i d a_{1} = f (e n t r a d a_{1}, 0, 0)

s a l i d a_{2} = f (0, e n t r a d a_{2}, 0)

s a l i d a_{3} = f (0, 0, e n t r a d a_{3})

s a l i d a = s a l i d a_{1} + s a l i d a_{2} + s a l i d a_{3}

Ahora resolvemos cada circuito de manera individual:

i_{1} = \frac{Vs1}{R} i_{2} = \frac{Vs2}{R}

donde

i_{1}

es la corriente causada por la fuente

Vs 1

i_{2}

es la corriente causada por la fuente

Vs 2

La corriente total viene de sobreponer (sumar) las corrientes de cada circuito.

i = i_{1} + i_{2}

i = \frac{Vs1}{R} + \frac{Vs2}{R}

i = \frac{Vs1 + Vs2}{R}

(solución por superposición)

¡Mira esto! La solución por superposición es igual a la solución convencional obtenida anteriormente.

Lo que hicimos aquí se llama la superposición lineal de dos circuitos.

Nuestra función de ejemplo era tan sencilla que usar superposición en realidad no nos ahorró mucho (si acaso algo) esfuerzo. En los siguientes ejemplos los circuitos son un poco más complicados, y la diferencia en esfuerzo se vuelve más evidente.

Ejemplo 1

Considera el siguiente circuito lineal con dos fuentes: una fuente de corriente y una fuente de voltaje. Las dos fuentes son las entradas de la función. Para este problema queremos encontrar dos salidas, las corrientes

i_{1}

i_{2}

i_{1} = f_{1} (Is, Vs)

i_{2} = f_{2} (Is, Vs)

Vamos a analizar este circuito usando superposición.

Primero, suprimimos la fuente de corriente y analizamos el circuito solo con la fuente de voltaje actuando por sí misma. Para suprimir la fuente de corriente, la reemplazamos con un circuito abierto.

Solo con la fuente de voltaje, las dos corrientes de salida son:

i_{1 V} = 0 i_{2 V} = \frac{Vs}{R 2}

Donde

i_{1 V}

i_{2 V}

son las corrientes en

R 1

y en

R 2

causadas por la fuente de voltaje.

A continuación, para calcular la contribución de la fuente de corriente actuando por sí misma, restauramos la fuente de corriente y suprimimos la fuente de voltaje,.

Solo con la fuente de corriente, las dos corrientes de salida son:

i_{1 I} = Is i_{2 I} = 0

Donde

i_{1 I}

i_{2 I}

son las corrientes en

R 1

y en

R 2

causadas por la fuente de corriente.

Completamos el análisis al sumar las contribuciones de cada fuente:

i_{1} = i_{1 V} + i_{1 I} = 0 + Is = Is

i_{2} = i_{2 V} + i_{2 I} = \frac{Vs}{R 2} + 0 = \frac{Vs}{R 2}

La solución completa se ve así:

Esto podría haber sido un análisis complicado porque las dos fuentes hacen que sea más difícil escribir las ecuaciones de los nodos o de las mallas. Explotamos la superposición, la cual nos dio dos circuitos más sencillos para trabajar.

Ejemplo 2

Solución convencional

Vamos a calcular el voltaje de salida,

v

, para el siguiente circuito lineal.

Primero lo vamos a hacer de la manera convencional. Escribimos la ley de la corriente de Kirchhoff en el nodo de salida

v

\begin{array}{ccc} + i_{R 1} & - i_{R 2} & + Is & = 0 \\ + \frac{Vs - v}{R1} & - \frac{v}{R2} & + Is & = 0 \end{array}

Reacomodamos esto para obtener una expresión para

v

y agrupamos los términos semejantes del lado derecho:

v = \frac{R2}{R 1 + R 2} Vs + \frac{R 1 R 2}{R 1 + R 2} Is

(solución convencional)

Solución usando superposición

Ahora vamos a resolver el mismo problema usando el principio de superposición. Como antes, suprimimos las fuentes de entrada y resolvemos circuitos nuevos más sencillos.

¿Cómo suprimirías la fuente de corriente?

Reemplaza la fuente de corriente con un ___.

El circuito se colapsa a dos resistores en serie (un divisor de voltaje).

El voltaje

v_{V s}

es la contribución de la fuente de voltaje

Vs

Solo con la fuente de voltaje, el voltaje de salida es:

v_{V s} = Vs \frac{R 2}{R 1 + R 2}

Ahora restauramos la fuente de corriente y suprimimos la fuente de voltaje.

'Cómo suprimirías la fuente de voltaje?

Reemplázala con un ___.

El circuito se colapsa a dos resistores en paralelo.

El voltaje

v_{I s}

es la contribución de la fuente de corriente

Is

a la salida.

v_{I s} = Is \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

Completamos el análisis de superposición al sumar las dos contribuciones de voltaje. Como se predijo, obtenemos el mismo resultado que la solución convencional mostrada arriba.

v = v_{V s} + v_{I s}

v = \frac{R2}{R 1 + R 2} Vs + \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2} Is

(solución por superposición)

No hay una aproximación involucrada. Las soluciones son exactamente iguales. La clave es observar que los dos circuitos más simples se analizaron con un trabajo significativamente menor.

La linealidad y la superposición son herramientas útiles

Si tienes un circuito hecho de elementos lineales, puedes usar el principio de superposición. Esto significa que el circuito original complicado en realidad son circuitos más sencillos que resultan estar colocados uno encima del otro. Parece magia, pero esta propiedad significa que las entradas encimadas y los circuitos superpuestos no se afectan entre sí o se enredan en lo absoluto. Cada circuito sencillo está dichosamente inconsciente de los otros hasta que haces la suma final.

Esta es una propiedad maravillosa de los circuitos lineales, y es una de las razones por las cuales nos encanta tanto la linealidad. Los circuitos que no son lineales (circuitos no lineales) no tienen esta propiedad, y no se les pude aplicar la superposición. (Pero no te preocupes, también nos encantan los circuitos no lineales, solo que de una manera diferente).

Resumen

Si un circuito está hecho de elementos lineales, podemos usar la superposición para simplificar el análisis. Esto es especialmente útil para circuitos con muchas fuentes de entrada.

Para analizar un circuito lineal con muchas entradas, suprimes todas las entradas o fuentes, excepto una, y analizas el circuito resultante más sencillo. Repite el mismo procedimiento para todas las entradas y fuentes. Después suma los resultados para encontrar la respuesta total para el circuito completo.

Suprimir fuentes

Para suprimir una fuente de voltaje, reemplázala con un cortocircuito:

Para suprimir una fuente de corriente reemplázala con un circuito abierto:

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Paola Razo
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “y ¿cómo se hace el anális...” de Paola Razo
y ¿cómo se hace el análisis, cuando incluimos fuentes dependientes?
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(4 votos)
Respuesta
- Christian Olaya
  Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “Falta decir que solo se p...” de Christian Olaya
  Falta decir que solo se pueden suprimir las entradas independientes, y no las dependientes...
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