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Las leyes de Kirchhoff

Las leyes de Kirchhoff describen el comportamiento de la corriente en un nodo y del voltaje alrededor de una malla. Estas dos leyes son las bases del análisis de circuitos avanzados. Escrito por Willy McAllister.

Las leyes de Kirchhoff del voltaje y la corriente están en el corazón del análisis de circuitos. Con estas dos leyes, más las ecuaciones para cada componente individual (resistor, capacitor, inductor), tenemos el conjunto de herramientas básicas que necesitamos para comenzar a analizar circuitos.

En este artículo supongo que estás familiarizado con las definiciones de nodo, nodo distribuido, rama y malla.
Tal vez quieras tener a la mano papel y lápiz para trabajar los problemas de ejemplo.

Las corrientes en un nodo

Antes de que hablemos de la teoría, trata de resolver este ejemplo. El esquema a continuación muestra cuatro corrientes de rama que fluyen dentro y fuera de un nodo distribuido. Las distintas corrientes están en miliamperes,

mA

. Una de las corrientes,

i

, es desconocida.

Problema 1: ¿Cuánto vale $i$ ‍?

Intuitivamente, tiene sentido que las corrientes que fluyen hacia adentro del nodo de alguna forma encuentran la manera de fluir hacia afuera de él por otra rama. Después de todo, no esperamos que la carga se acumule dentro del nodo.

Un total de

6 mA

fluye hacia adentro del nodo (

5

desde la izquierda y

1

desde la derecha), por lo que deben fluir

6 mA

hacia afuera por algún lugar. Por arriba fluyen

2 mA

hacia afuera, por lo que

4 mA

deben fluir hacia afuera por la rama de abajo,

i

. La flecha azul de corriente para

i

apunta hacia afuera del nodo, en la misma dirección que la corriente, por lo que la respuesta es positiva.

i = 4 mA

Aquí hay otro ejemplo, esta vez con variables en vez de valores numéricos. Este nodo resulta tener

5

ramas, y por cada rama puede (o no) pasar una corriente, que denotamos

i_{1} a i_{5}

Todas las flechas dibujadas apuntan hacia adentro. Esta elección para las direcciones es arbitraria; a estas alturas, que apunten hacia adentro es tan buena opción como cualquier otra. Las flechas establecen una dirección de referencia para lo que decidimos llamar una corriente positiva.

Observa la corriente de rama

i_{1}

.
¿Hacia dónde va?

La primera cosa que hace

i_{1}

es fluir hacia adentro del nodo (representado por el punto negro).

¿Y luego?

Hay dos cosas que

i_{1}

no puede hacer: la carga que fluye en

i_{1}

no puede permanecer en el nodo (pues este no tiene un lugar para almacenarla), y la carga de

i_{1}

no puede esfumarse de los cables, al menos bajo circunstancias normales.

¿Qué le queda?: la corriente tiene que salir del nodo por una o más de las ramas restantes.

Para el nodo de nuestro ejemplo, escribiríamos esta situación como

i_{1} + i_{2} + i_{3} + i_{4} + i_{5} = 0

i_{1}

es una corriente positiva que fluye hacia adentro del nodo, entonces una o más de las otras corrientes debe fluir hacia afuera. Estas corrientes que salen tendrán un signo negativo

-

La ley de corriente de Kirchhoff captura muy bien esta observación sobre las corrientes que fluyen en un nodo.

La ley de corriente de Kirchhoff

La ley de la corriente de Kirchhoff dice que la suma de todas las corrientes que fluyen hacia un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo. Se puede escribir como,

\sum i_{a d e n t r o} = \sum i_{a f u e r a}

La ley de corriente de Kirchhoff: verificación de conceptos

Todas las corrientes están en miliamperes,

mA

Problema 2: ¿cuánto vale $i_{5}$ ‍?

Aplica directamente la ley de corriente de Kirchhoff.

\sum_{n} i_{n} = 0

Sugerencia: antes de empezar, revisa las flechas. ¿Apuntan hacia adentro, hacia afuera, o son un revoltijo? Este paso te ahorrará un error común de signos.

En este ejemplo, todas las flechas apuntan hacia adentro, por lo que podemos hacer directamente la suma de los números como están escritos.

Suma las cinco corrientes de rama e iguala la suma a

0

1 + 4 + (- 2) + 3 + i_{5} = 0

Despeja

i_{5}

i_{5} = - [1 + 4 - 2 + 3]

i_{5} = - 6 mA

Problema 3: ¿cuánto vale $i_{3}$ ‍ en este nodo distribuido?

Con esta pregunta probarás tus habilidades con los signos y las flechas. Las direcciones de las flechas están revueltas, algunas hacia adentro, algunas hacia afuera. Tómate tu tiempo y escribe tus signos correctamente. La mejor manera es partir el problema en dos pasos:

Vuelve a dibujar el nodo de tal forma que las flechas apunten en la misma dirección (todas hacia adentro o todas hacia afuera), y ajusta los signos numéricos cuando sea necesario.
Aplica la ley de corriente de Kirchhoff.

Paso 1. La flecha de

i_{3}

apunta hacia afuera. No queremos olvidar este hecho, por lo que nuestra estrategia será asegurarnos de que el resto de las flechas apunten en la misma dirección que

i_{3}

, con los ajustes correspondientes a los signos de las corrientes. Al inspeccionar el diagrama original, tenemos que voltear dos flechas y sus signos correspondientes. En el nuevo diagrama, que mostramos a continuación, las corrientes

- 4

+ 1

fluyen por el nodo hacia afuera.

Paso 2. Aplica la ley de corriente de Kirchhoff. Usamos la forma de la ley de corriente que dice "La suma de todas las corrientes que fluyen hacia afuera del nodo es igual a cero", por lo que sumamos todas las corrientes "hacia afuera" del nodo e igualamos la suma a cero.

- 4 + 6 + i_{3} + 1 + (- 3) = 0

Despejamos

i_{3}

i_{3} = - [- 4 + 6 + 1 + (- 3)]

i_{3} = 0 mA

Ninguna corriente fluye por la rama que etiquetamos como

i_{3}

Voltaje alrededor de una malla

A continuación mostramos un circuito con cuatro resistores y una fuente de voltaje. Vamos a resolver desde cero este circuito por medio de la ley de Ohm. Después, estudiaremos los resultados y haremos algunas observaciones. El primer paso para resolver el circuito es calcular la corriente; luego, el voltaje que pasa a través de cada resistor.

Reconocemos que este es un circuito en serie, por lo que solo fluye una corriente,

i

, a través de los cinco componentes. Para encontrar

i

, podemos reducir los cuatro resistor en serie a un solo resistor equivalente:

R_{s e r i e} = 100 + 200 + 300 + 400 = 1000 Ω

Por medio de la ley de Ohm, la corriente es:

i = \frac{V}{R_{s e r i e}} = \frac{20 V}{1000 Ω} = 0.020 A = 20 mA

Ahora conocemos la corriente. En el paso siguiente, encontramos el voltaje que pasa a través de cada una de los cuatro resistores. Regresa al diagrama original y añade etiquetas a cada uno de los cinco componentes, así:

Aplica la ley de Ohm cuatro veces más para encontrar el voltaje que pasa a través de cada resistor:

v = i R

v_{R1} = 20 mA \cdot 100 Ω = + 2 V

v_{R2} = 20 mA \cdot 200 Ω = + 4 V

v_{R3} = 20 mA \cdot 300 Ω = + 6 V

v_{R4} = 20 mA \cdot 400 Ω = + 8 V

Ahora conocemos la corriente y todos los voltajes. Hemos resuelto el circuito.

Podemos escribir los voltajes para los resistores y la fuente en el esquema. Nos referimos a cada uno de estos cinco voltajes como voltaje del componente (también etiquetamos los nodos del circuito,

a

e

, de tal manera que nos podemos referir a ellos).

Hagamos una verificación rápida. Suma todos los voltajes que pasan a través de los resistores,

2 V + 4 V + 6 V + 8 V = 20 V

La suma de los voltajes individuales es igual al voltaje de la fuente. Esto tiene sentido, y confirma nuestros cálculos.

A continuación sumaremos de nuevo los voltajes, pero con un nuevo procedimiento: "ir alrededor de la malla". No haremos nada nuevo, simplemente reordenaremos el mismo cálculo.

Procedimiento: suma todos los voltajes de los componentes alrededor de la malla

Paso 1: escoge un nodo inicial.

Paso 2: escoge una dirección para recorrer la malla (en el sentido o contrasentido de las manecillas del reloj).

Paso 3: recorre la malla.

Incluye los voltajes de los componentes en una suma creciente de acuerdo a estas reglas:

Cuando te encuentres un nuevo componente, observa el signo del voltaje conforme lo atraviesas.
Si el signo es $+$ ‍, entonces habrá una bajada en el voltaje a través del componente. Resta el voltaje del componente.
Si el signo es $-$ ‍, entonces habrá una subida en el voltaje a través del componente. Suma el voltaje del componente.
En algunos libros de texto, los autores utilizan reglas de signo diferentes para caminar alrededor de la malla. Estas reglas son equivalentes a las nuestras y nos conducen exactamente a la misma respuesta.
Cuando te encuentres un nuevo componente, observa el signo del voltaje conforme lo atraviesas.
Si el signo es $+$ ‍, suma el voltaje del componente.
Si el signo es $-$ ‍, resta el voltaje del componente.
Estas reglas no contemplan la idea de bajada/subida de voltaje, pero son más simples de recordar. Es tu elección. La clave es ser completamente consistente cuando las aplicas.

Paso 4: continúa al rededor de la malla hasta que regreses al punto de partida y hayas incluido todos sus componentes.

Aplica el procedimiento de malla

Sigamos el procedimiento paso a paso.

Comienza en el nodo de la esquina izquierda $a$ ‍.
Camina en dirección de las manecillas del reloj.

El primer componente con el que nos encontramos es la fuente de voltaje, y el primer signo del componente es $-$ ‍, por lo que habrá una subida de voltaje a través de él. Al consultar el paso 3 del procedimiento, inicializamos la suma de la malla sumando la fuente de voltaje.
‍

v_{m a l l a} = + 20 V

que pasan de la fuente de voltaje al nodo

b

El siguiente componente que encontramos es el resistor de

100 Ω

. El primer signo de su voltaje es

+

. Al consultar de nuevo el procedimiento, restamos el voltaje del componente de la suma.

v_{m a l l a} = + 20 V - 2 V

que pasan del resistor de

100 Ω

al nodo

c

Sigue caminando. A continuación visitamos el resistor de

200 Ω

, y de nuevo encontramos primero un signo

+

, por lo que restamos este voltaje.

v_{m a l l a} = + 20 V - 2 V - 4 V

que pasan del resistor de

200 Ω

al nodo

d

Completamos la malla con la suma de dos componentes más,

v_{m a l l a} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V

que va del resistor de

300 Ω

al nodo

e

v_{m a l l a} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V

después del resistor de

400 Ω

(Revisa el diagrama del circuito y asegúrate de que mis dos últimos signos

-

son correctos).

Listo. Hemos vuelto al nodo $a$ ‍. ¿Cuánto suma la expresión para $v_{m a l l a}$ ‍?
‍

v_{m a l l a} = + 20 V - 2 V - 4 V - 6 V - 8 V = 0

La suma de los voltajes alrededor de la malla es

0

. El nodo inicial y final es el mismo, por lo que el voltaje inicial y final es el mismo. En tu "camino", encontraste subidas y bajadas de voltaje, que se cancelan una vez que vuelves al comienzo. Esto sucede porque la fuerza eléctrica es conservativa. Si regresas al comienzo, no hay una ganancia o pérdida neta de energía.

Vamos a hacer otro ejemplo, esta vez con variables en vez de valores numéricos. Los voltajes y los nodos del diagrama siguiente están propiamente etiquetados. La polaridad en estos resistores está dispuesta de una forma que tal vez no esperabas, con todas las flechas apuntando en la misma dirección alrededor de la malla. Esto revela una propiedad interesante de las mallas.

Vamos a recorrer la malla al sumar voltajes a medida que avanzamos. Nuestro punto de partida es el nodo

a

en la esquina inferior izquierda. Nuestro recorrido va en sentido de las manecillas del reloj alrededor de la malla (una elección arbitraria, en cualquier sentido funciona).

Empezando en el nodo

a

, subiendo, primero encontramos un signo menos en la fuente de voltaje, lo que dice que va a ser una subida de voltaje de

v_{a b}

volts pasando por la fuente de voltaje. Puesto que es una subida de voltaje, este elemento de voltaje tiene signo

+

cuando lo incluimos en la suma de la malla.

Continúa alrededor de la malla, del nodo

b

c

d

e

, y terminamos en el nodo inicial

a

. Añade los voltajes de los resistores a la suma del voltaje de la malla conforme los atravieses. Las etiquetas de polaridad para cada resistor están dispuestas de tal forma que siempre encuentres un signo

-

a medida que te acerques a cada uno. Así, todos los voltajes de los resistores tendrán un signo

+

dentro de la suma. Al final, la suma del voltaje de malla se ve así:

+ v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4}

¿Cuánto vale esta suma? Razonemos la respuesta.

La malla comienza y termina en el mismo nodo, por lo que los voltajes inicial y final son idénticos. Caminamos alrededor de la malla, sumamos los voltajes y volvimos al mismo voltaje. Esto significa que los voltajes deben sumar cero. Para la malla de nuestro ejemplo, escribiríamos este hecho como

v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4} = 0

Supón que los voltajes alrededor de la malla no sumaran cero. Llegarías a un descubrimiento absurdo.

Qué tal que de algún modo los voltajes alrededor de la malla sumaran

+ 1

volt. Esto significaría que si comienzas tu camino en el nodo

a

y recorres la malla mientras mantienes un registro de los voltajes, cuando vuelves al nodo

a

el voltaje de algún modo es

1

volt más grande que cuando empezaste (¿Eh?). Si das una segunda vuelta, cuando regresas a

a

el voltaje en el nodo es

2

volts más grande (¿doble eh?). Esto es imposible.

El voltaje en el nodo

a

no cambia solo por el hecho de que mentalmente hiciste el cálculo del voltaje de malla. La suma de los voltajes alrededor de una malla debe ser igual a cero.

El voltaje de cada componente obtiene un signo

-

en la suma del voltaje de malla.

- v_{R4} - v_{R3} - v_{R2} - v_{R1} - v_{ab} = 0

Más diversión: observa que podemos factorizar y reordenar esta expresión de tal manera que se vea igual que la ecuación que obtuvimos al recorrer la malla en el sentido de las manecillas del reloj,

- (v_{R4} + v_{R3} + v_{R2} + v_{R1} + v_{ab}) = 0

v_{ab} + v_{R1} + v_{R2} + v_{R3} + v_{R4} = 0

Al final, no importa en qué dirección recorras la malla.

La ley de voltaje de Kirchhoff captura de forma general esta observación sobre los voltajes alrededor de una malla.

Ley de voltaje de Kirchhoff

Ley de voltaje de Kirchhoff: La suma de los voltajes alrededor de una malla es igual a cero.

Podemos escribir la ley de voltaje de Kirchhoff como

\sum_{n} v_{n} = 0

donde

n

es el número de voltajes de los componentes en la malla.

También puedes enunciar la ley de voltaje de Kirchhoff de otra manera: alrededor de una malla, la suma de subidas de voltaje es igual a la suma de bajadas de voltaje.

\sum v_{s u b i d a} = \sum v_{b a j a d a}

La ley de voltaje de Kirchhoff tiene algunas propiedades simpáticas:

Puedes trazar una malla que comience en cualquier nodo. Si caminas alrededor de la malla y terminas en el nodo inicial, la suma de los voltajes de la malla es igual a cero.
Puedes recorrer la malla en cualquier dirección y la ley de voltaje de Kirchhoff conserva su validez.
Si un circuito tiene múltiples mallas, la ley de voltaje de Kirchhoff es válida para cada una.

¿Todos los voltajes positivos?

Si te estás preguntando: ¿cómo pueden los voltajes de los componentes ser todos positivos si suman cero? Está bien. Las flechas de los voltajes y los signos de polaridad son solo referencias para el voltaje. Cuando el análisis del circuito está terminado, uno o más de los voltajes de los componentes alrededor de la malla será negativo con respecto a su flecha de voltaje. Los signos de los voltajes reales siempre se arreglarán durante las cuentas.

Ley de voltaje de Kirchhoff: verificación de conceptos

Problema 4: ¿cuánto vale $v_{R 3}$ ‍?

Recuerda: revisa el primer signo en cada uno de los voltajes de los componentes conforme caminas alrededor de la malla.

Usa la ley de Kirchhoff para resolver este problema.

\sum_{n} v_{n} = 0

Escoge el nodo inicial, por ejemplo, el nodo

A

. Caminaremos alrededor de la malla en la dirección de las manecillas del reloj.

Las flechas de los voltajes están revueltas, no todas apuntan en la misma dirección alrededor de la malla. Por lo tanto, conforme escribamos la ecuación siguiente, seremos muy cuidadosos y prestaremos mucha atención a la polaridad del voltaje de cada componente de la malla. Consulta el Procedimiento: sumar todos los voltajes de los componentes alrededor de la malla para recordar cuál dirección de la flecha de voltaje obtiene qué signo.

+ 15 + (- 5) + (- 3) + (- v_{R3}) + (- 1) = 0

La parte difícil de la ecuación anterior es poner los signos correctos. Cuando aplicas la ley de Kirchhoff, esta es la habilidad esencial.

+ 15 - 5 - 3 + (- 1) = v_{R3}

v_{R3} = + 6 V

Revisa la dirección de la flecha de voltaje en R3. Apunta hacia arriba, del nodo

e

al nodo

d

. El resultado positivo para

v_{R3}

significa que el voltaje del nodo

d

6

volts más alto que el voltaje del nodo

e

Más práctica: haz este problema de nuevo, pero camina en la dirección opuesta. Debes obtener la misma respuesta.

Resumen

Fuimos presentados con nuestros dos nuevos amigos.

La ley de corriente de Kirchhoff para todas las corrientes de rama en un nodo,

\sum_{n} i_{n} = 0

La ley de voltaje de Kirchhoff para todos los voltajes alrededor de una malla,

\sum_{n} v_{n} = 0

Nuestros nuevos amigos a veces se refieren a sí mismos por sus iniciales, LCK y LVK.

Y aprendimos que es importante prestar atención a los signos del voltaje y de la corriente si queremos obtener respuestas correctas. Este es un proceso tedioso que requiere mucha atención. Es una habilidad fundamental para cualquier ingeniero eléctrico de calidad.

Las leyes de Kirchhoff son de hecho aproximaciones que se derivan de las leyes de Maxwell del electromagnetismo. Las leyes de Kirchhoff aplican cuando el tamaño de los componentes en un circuito es mucho menor que la longitud de onda de las señales que lo atraviesan. Esta simplificación es adecuada para casi cualquier circuito con el que te encontrarás al comienzo de tus estudios en ingeniería eléctrica.

Si quieres aprender más sobre esta derivación, estás son buenas referencias (en inglés):

"Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits (Fundamentos de circuitos electrónicos analógicos y digitales)", por Anant Agarwal y Jeffery H. Lang, Elsevier Inc, 2005, Apéndice 2A.

"The Design of CMOS Radio-Frequency Integrated Circuits (El diseño de circuitos integrados de radiofrequencia CMOS)", 2a. Edición, por Thomas H. Lee, Cambridge University Press, Capítulo 6, Sistemas distribuidos.

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anevarez183
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “no comprendo como aplicar...” de anevarez183
no comprendo como aplicar las flechas positivo o negativo?
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Diego AB
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “las flechas - y + como se...” de Diego AB
las flechas - y + como se aplican?
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Jose Luis Ferrero
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “¿Es correcto decir "volta...” de Jose Luis Ferrero
¿Es correcto decir "voltajes que pasan" a través de los componentes? Tengo entendido que lo que pasa es la corriente y el voltaje es la magnitud de la diferencia de potencial.
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Respuesta
- Ivana Trento
  Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “Coincido con tu observaci...” de Ivana Trento
  Coincido con tu observación José Luis. Habitualmente se dice que la corriente pasa, circula o fluye a través de los elementos de un circuito eléctrico, mientras que la tensión o voltaje cae o se desarrolla en dichos elementos. En el caso de que se hable de fuentes de tensión, suele decirse que proporcionan cierto valor de tensión o voltaje o que alimentan el circuito con dicha tensión.
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ealejosvalerio
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “Algo sencillo pero aún fa...” de ealejosvalerio
Algo sencillo pero aún falta más específicar y contratar su síntesis
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jason fajardo
Publicado hace hace 7 meses. Enlace directo a la publicación “¿En este ejercicio se usa...” de jason fajardo
¿En este ejercicio se usa la corriente y el voltaje?
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