¿Que significa si algún potencial después de hacer mi sistema de ecuaciones me sale negativo?

Hola, estoy buscando alguna lección sobre fuentes dependientes o controladas. Ya sean de corriente o tensión. No he encontrado y quisiera saber si hay material al respecto. Muchas gracias.

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Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 3: Análisis de circuitos de corriente directa

El método del voltaje en los nodos

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El método del voltaje en los nodos resuelve circuitos con el mínimo número de ecuaciones LCK. Written by Willy McAllister.

El método del voltaje en los nodos es un método organizado para analizar un circuito, que está basado en la ley de Kirchhoff de la corriente. Esta técnica está incrustada dentro del popular simulador de circuitos

SPICE

¿Cuál es el desafío del análisis de circuitos? Resolver cualquier circuito significa crear y resolver

2 E

ecuaciones independientes, donde

E

es el número de elementos (componentes y fuentes). La mitad de las ecuaciones vienen de las leyes individuales de los elementos (como la ley de Ohm) y la otra mitad viene de las conexiones entre los elementos.

Sin importar qué procedimiento utilicemos para resolver el circuito, no hay forma de darle la vuelta al requerimiento de resolver

2 E

ecuaciones. Aun para circuitos sencillos, manejar

2 E

ecuaciones puede ser mucho trabajo. Pero hay formas de organizar el esfuerzo para hacerlo muy eficiente. El método del voltaje en los nodos es uno de dos procedimientos eficientes que tenemos para resolver circuitos (el otro es el método de la corriente de malla).

El método del voltaje en los nodos no es ciencia nueva. Procesa la misma cantidad de información contenida en

2 E

ecuaciones, pero la organiza de manera muy inteligente y eficiente.

Mostraremos el método del voltaje en los nodos con el mismo circuito que resolvimos usando las leyes fundamentales:

Definición: voltaje en un nodo

Necesitamos definir un nuevo término: voltaje en un nodo. Hasta ahora, hemos hablado acerca del voltaje en un elemento, que pasa a través de las terminales de un solo elemento (también llamado voltaje en una rama). Cuando usamos el término de voltaje en un nodo, nos referimos a la diferencia de potencial entre dos nodos de un circuito.

Seleccionamos uno de los nodos en nuestro circuito para que sea el nodo de referencia. Todos los otros voltajes en los nodos se miden con respecto a este nodo de referencia. Si designamos el nodo

c

como el nodo de referencia, establecemos dos voltajes en los nodos

a

b

El nodo de referencia casi siempre se llama el nodo de tierra, y se denota en el esquema con un símbolo de tierra, como se muestra arriba. El potencial en el nodo de tierra se define como

0 V

. Los potenciales en todos los demás nodos se miden en relación a la tierra.

El método del voltaje en los nodos

El método del voltaje en los nodos divide el análisis del circuito en esta secuencia de pasos:

Asignar un nodo de referencia (tierra).
Asignar nombres a los voltajes en los nodos restantes.
Resolver los nodos fáciles primero, los que tienen una fuente de voltaje conectada al nodo de referencia.
Escribir la ley de Kirchhoff de la corriente para cada nodo. Haz la ley de Ohm en tu cabeza.
Resolver el sistema de ecuaciones resultante para todos los voltajes en los nodos.
Resolver para cualquier corriente que quieras conocer mediante el uso de la ley de Ohm.

Asignar un nodo de referencia y voltajes en los nodos

Esto ya lo hicimos arriba, pero vamos a volver a hacerlo. Nuestro circuito de ejemplo tiene tres nodos,

a

b

c

, así que

N = 3

. El nodo

c

tiene muchas conexiones,

4

, y está conectado a ambas fuentes. Esto lo vuelve un buen candidato para jugar el papel del nodo de referencia. El nodo

c

está marcado con el signo de tierra para que todo mundo sepa nuestra elección del nodo de referencia.

También indicamos los

N - 1 = 2

voltajes de nodo en el esquema, etiquetados en color anaranjado como

v_{a}

v_{b}

(Aquí hay una oportunidad obvia para simplificar los dos resistores en paralelo,

6 Ω

con

5 Ω

. No vamos a hacer eso porque queremos estudiar el procedimiento del método del voltaje en los nodos).

Los voltajes en los nodos controlan la flecha de la corriente

Observa que hay algo que le falta al esquema. No hay ninguna etiqueta anaranjada en el voltaje a través del resistor de

20 Ω

. Cuando necesitemos conocer ese voltaje, lo vamos a expresar en términos de los voltajes en los nodos.

v_{R} = v_{a} - v_{b}

v_{R} = v_{b} - v_{a}

Primera habilidad importante del voltaje de nodo: controla la flecha de corriente

¡El voltaje en el nodo controla la dirección de la flecha de la corriente!

Podemos expresar el voltaje a través del resistor de

20 Ω

como la diferencia entre los dos voltajes de los nodos. Esto se puede hacer de dos maneras, ya sea con

v_{a}

o con

v_{b}

en la primera posición en la ecuación de la diferencia de voltaje. El primer término en la ecuación es el que consideramos que es más positivo de los dos. Como usamos la convención del signo para componentes pasivos, la elección que hacemos para la polaridad del voltaje determina la dirección de la flecha de la corriente. La flecha de la corriente apunta hacia el signo positivo en el voltaje del resistor.

Arriba a la izquierda,

v_{a}

es el voltaje más positivo en comparación con

v_{b}

. La flecha anaranjada que representa

v_{R}

apunta en la dirección del nodo

a

, y la flecha de la corriente apunta hacia el resistor de izquierda a derecha.

Arriba a la derecha,

v_{b}

ahora está definido como el voltaje más positivo en comparación con

v_{a}

. La flecha anaranjada que representa a

v_{R}

apunta hacia el nodo

b

, y la flecha de la corriente apunta hacia el extremo positivo del resistor.

Vamos a usar nuestra nueva habilidad inmediatamente para controlar la dirección de la flecha de corriente en el primer término de la ecuación de la LCK que viene a continuación.

Resolver los nodos fáciles

El voltaje

v_{a}

es fácil de determinar. El nodo

a

se conecta a una fuente de voltaje que se conecta al nodo de referencia

c

. Esto lo hace un nodo sencillo. El voltaje en el nodo

a

v_{a} = 140 V

La ley de corriente de Kirchhoff en el nodo restante

Segunda habilidad importante del voltaje de nodo - garabatea en el esquema

La parte desafiante del análisis de circuitos es tener los signos correctos. Garabatea en el esquema todo lo que quieras. Dibujar signos de voltaje y flechas de corriente te ayuda a tener los signos correctos en las ecuaciones de la LCK.

Tercera habilidad importante del voltaje de nodo - haz la ley de Ohm en tu cabeza mientras escribes las LCK

A medida que escribas cada término de la ecuación de la LCK, haz la ley de Ohm en tu cabeza y escribe inmediatamente la corriente en términos de los voltajes de los nodos divididos entre la resistencia correspondiente.

Ahora escribimos la ecuación de la LCK para el nodo restante que no hemos resuelto,

b

. EL voltaje en el nodo

v_{b}

es la variable independiente.

La corriente (flecha azul) que fuye hacia el nodo

b

desde el resistor de

20 Ω

se puede escribir como

+ \frac{(140 - v_{b})}{20}

Las corrientes en los resistores de

6 Ω

5 Ω

instantáneamente van en la ecuación como

- \frac{v_{b}}{6}

- \frac{v_{b}}{5}

Solo tenemos un nodo con el cual trabajar, el nodo

b

. La LCK dice que la suma de las corrientes que fluyen hacia el nodo

b = 0

+ \frac{(140 - v_{b})}{20} - \frac{v_{b}}{6} - \frac{v_{b}}{5} + 18 = 0

Esto es bastante genial. Sin demasiado esfuerzo, tenemos una ecuación con una incógnita. Cuando hicimos esto en un artículo anterior al usar solo las leyes fundamentales, tuvimos que manejar

10

ecuaciones con

10

incógnitas.

Encuentra los voltajes en los nodos

Nuestro sistema de ecuaciones resulta ser de una sola ecuación. Resolvámoslo para encontrar el voltaje en el nodo.

+ \frac{140}{20} - \frac{v_{b}}{20} - \frac{v_{b}}{6} - \frac{v_{b}}{5} = - 18

- \frac{v_{b}}{20} - \frac{v_{b}}{6} - \frac{v_{b}}{5} = - 18 - 7

(- \frac{3}{60} - \frac{10}{60} - \frac{12}{60}) \cdot v_{b} = - 25

v_{b} = - 25 \cdot (- \frac{60}{25})

v_{b} = 60 V

Encontrar las corrientes desconocidas al usar la ley de Ohm

Ahora tenemos los dos voltajes en los nodos y podemos encontrar todas las corrientes desconocidas al usar la ley de Ohm.

i_{20 Ω} = \frac{(v_{a} - v_{b})}{20} = \frac{(140 - 60)}{20} = 4 A

i_{6 Ω} = \frac{v_{b}}{6} = \frac{60}{6} = 10 A

i_{5 Ω} = \frac{v_{b}}{5} = \frac{60}{5} = 12 A

¡Ta raaan! Listo. El circuito está analizado.

Los pasos en el método del voltaje en los nodos

Asignar un nodo de referencia (tierra).
Asignar nombres a los voltajes en los nodos restantes.
Resolver los nodos fáciles primero, los que tienen una fuente de voltaje conectada al nodo de referencia.
Escribir la ley de Kirchhoff de la corriente para cada nodo. Haz la ley de Ohm en tu cabeza.
Resolver el sistema de ecuaciones resultante para todos los voltajes en los nodos.
Resolver para cualquier corriente que quieras conocer mediante el uso de la ley de Ohm.

Reflexión: ¿el método del voltaje en los nodos es magia?

El método del voltaje en los nodos parece mucho menos trabajo que crear, manejar y resolver un sistema de

2 E

ecuaciones independientes con

2 E

voltajes y corrientes desconocidos. ¿El método del voltaje en los nodos es magia?

No, no hay magia. El método del voltaje en los nodos es simplemente una forma organizada muy inteligente de abordar las mismas

2 E

ecuaciones. Las innovaciones principales son:

Nos convencimos a nosotros mismos de que podemos hacer la ley de Ohm en nuestra cabeza. Hicimos esto mientras escribíamos las ecuaciones de la LCK. Y a medida que íbamos terminando, volvimos a usar la ley de Ohm para encontrar las corrientes de los elementos, lo cual no pareció ser una tarea muy difícil. Decirnos que la ley de Ohm es sencilla hace que la mitad de las ecuaciones independientes no sean tan problemáticas.
Usar el concepto del voltaje en el nodo en lugar del voltaje en el elemento es una jugada brillante que básicamente pone las ecuaciones de la LVK ahí mismo en el esquema, de modo que no tenemos que escribirlas.
Reconocimos que algunos voltajes en los nodos tienen una solución trivial: aquellos que tienen una terminal conectada a una fuente de voltaje y otra terminal conectada a tierra. Esto elimina una o dos ecuaciones.
Lo que resta son las pocas ecuaciones de la LCK en los nodos no triviales.

¿Cómo le hizo el método del voltaje en los nodos para que las ecuaciones de la LVK "desaparecieran"?

Con el método del voltaje en los nodos ni siquiera nos tenemos que preocupar por escribir las ecuaciones de la LVK. Vamos a escribirlas de todos modos y ver por qué.

Nuestro circuito tiene tres mallas: en las 'ventanas' a la izquierda, en medio y a la derecha del esquema.

La LVK para la malla de la izquierda:

+ 140 - (140 - v_{b}) - v_{b} = 0

Esta ecuación para la malla izquierda en realidad ilustra el punto de los voltajes en los nodos. Expresamos el voltaje a través del resistor de

20 Ω

en términos de los voltajes en los nodos en lugar del propio voltaje del elemento. Con esta notación, la ecuación se vuelve

0 = 0

La LVK para la malla de en medio:

+ v_{b} - v_{b} = 0

La LVK para la malla de la derecha:

+ v_{b} - v_{b} = 0

Las tres ecuaciones de las mallas se reducen a

0 = 0

y básicamente quedan fuera del procedimiento. Esto es lo que quiere decir tu libro de texto si tiene algo como: "con el método del voltaje en los nodos, las ecuaciones de la LVK están escritas de manera implícita en el esquema".

Ejemplo guiado

Resuelve este circuito al usar el método del voltaje en los nodos.

Si quieres trabajar este problema por tu cuenta, ¡adelante! Copia este esquema y trabaja cada uno de los pasos del método del voltaje en los nodos listados arriba. Incluso si no pretendes hacer el cálculo completo, te animo a que hagas los pasos hasta escribir la LCK. Eso realmente te ayudará a comprender el método del voltaje en los nodos.

Asignar un nodo de referencia.

Asignar nombres de los voltajes en los nodos restantes.

Resolver los nodos fáciles primero.

Escribir la ley de Kirchhoff de la corriente para cada nodo. Haz la ley de Ohm en tu cabeza.

Antes de escribir la LCK, es una buena práctica hacer garabatos en el esquema para establecer la dirección de las flechas de la corriente. Esto ayuda a tener el signo y el orden de los términos de voltaje correctos.

Observa cómo la flecha de la corriente apunta en diferentes direcciones para el resistor de

10 Ω

dependiendo del nodo para el cual esté escribiendo la LCK. Esto está bien. Las flechas están ahí para ayudarme a escribir la expresión apropiada para el voltaje.

Nodo

b

+ \frac{v_{a} - v_{b}}{25} - \frac{v_{b}}{50} + \frac{v_{c} - v_{b}}{10} = 0

Nodo

c

+ \frac{v_{a} - v_{c}}{100} + \frac{v_{b} - v_{c}}{10} - \frac{v_{c}}{25} = 0

Resolver el sistema de ecuaciones resultante para todos los voltajes de los nodos.

Voy a encontrar los dos voltajes de los nodos desconocidos,

v_{b}

v_{c}

, al usar los métodos de eliminación y de reducción.

Primero, ordena todo al agrupar términos semejantes y mover los términos constantes al lado derecho:

Nodo b

- \frac{v_{b}}{25} - \frac{v_{b}}{50} - \frac{v_{b}}{10} + \frac{v_{c}}{10} = - \frac{v_{a}}{25}

Nodo c

+ \frac{v_{b}}{10} - \frac{v_{c}}{100} - \frac{v_{c}}{10} - \frac{v_{c}}{25} = - \frac{v_{a}}{100}

Simplifica para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Nodo b

- \frac{8}{50} v_{b} + \frac{1}{10} v_{c} = - \frac{75}{25} = - 3

Nodo c

+ \frac{1}{10} v_{b} - \frac{15}{100} v_{c} = - \frac{75}{100} = - \frac{3}{4}

Ahora elimina

v_{c}

: multiplica la primera ecuación por

\frac{15}{10}

y súmala a la otra ecuación.

Nodo b

\frac{15}{10} \times [- \frac{8}{50} v_{b} + \frac{1}{10} v_{c} = - 3]

Nodo c

+ [+ \frac{1}{10} v_{b} - \frac{15}{100} v_{c} = - \frac{3}{4}]

Desarrolla la multiplicación, cancela términos y suma las ecuaciones:

Nodo b

[- \frac{15 \cdot 8}{500} v_{b} + \frac{15}{100} v_{c} = - \frac{45}{10}]

Nodo c

+ [+ \frac{1}{10} v_{b} - \frac{15}{100} v_{c} = - \frac{3}{4}]

\begin{aligned} Suma: (\frac{- 15 \cdot 8}{500} + \frac{1}{10}) v_{b} & = - \frac{45}{10} - \frac{3}{4} \\ \frac{- 120 + 50}{500} v_{b} & = - \frac{90}{20} - \frac{15}{20} \\ - \frac{70}{500} v_{b} & = - \frac{105}{20} \\ v_{b} & = - \frac{105}{20} \cdot - \frac{500}{70} \\ v_{b} & = + 37.5 V \end{aligned}

Ahora sustituye

v_{b}

en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar

v_{c}

. Voy a usar la ecuación para el nodo

c

$\begin{aligned} + \frac{1}{10} v_{b} - \frac{15}{100} v_{c} & = - \frac{3}{4} \\ + \frac{1}{10} 37.5 - \frac{15}{100} v_{c} & = - \frac{3}{4} \\ - \frac{15}{100} v_{c} & = - 0.75 - 3.75 \\ v_{c} & = - 4.5 \cdot - \frac{100}{15} \\ v_{c} & = + 30 V \end{aligned}$ ‍

Resolver para cualquier corriente que quieras conocer mediante el uso de la ley de Ohm.

i_{a b 25 Ω} = \frac{75 - 37.5}{25} = 1.5 A

, con la flecha de la corriente apuntando hacia la derecha.

i_{b g 50 Ω} = \frac{37.5}{50} = 0.75 A

, con la flecha de la corriente apuntando hacia abajo.

i_{b c 10 Ω} = \frac{37.5 - 30}{10} = 0.75 A

, con la flecha de la corriente apuntando hacia la derecha.

i_{a c 100 Ω} = \frac{75 - 30}{100} = 0.45 A

, con la flecha de la corriente apuntando hacia la derecha.

i_{c g 25 Ω} = \frac{30}{25} = 1.2 A

, con la flecha de la corriente apuntando hacia abajo.

Como un bono, la corriente proporcionada por la fuente de voltaje es:

i_{v} = i_{100 Ω} + i_{a b 25 Ω} = 0.45 A + 1.5 A = 1.95 A

El circuito resuelto se ve así:

Un giro: fuente de voltaje flotante

A veces te encuentras con un circuito donde alguna de las terminales de una fuente de voltaje no está conectada al nodo de tierra. En estos casos decimos que la fuente de voltaje es flotante. Una fuente de voltaje representa un problema para el método del voltaje en los nodos, pero no es demasiado desafiante.

En este circuito, la batería

V_{2}

es flotante. Vamos a usar el método del voltaje en los nodos y ver qué pasa.

El nodo de referencia se seleccionó y se marcó con el símbolo de tierra.
Los otros tres nodos se nombraron y se les asignaron los voltajes de nodo $v_{a}$ ‍, $v_{b}$ ‍ y $v_{c}$ ‍.
El primer paso del análisis es resolver el nodo fácil, $v_{a}$ ‍. Como este nodo está conectado a una fuente de voltaje que va a tierra, inmediatamente sabemos que $v_{a} = V_{1}$ ‍. Un nodo menos, quedan dos.

A continuación, vamos a escribir la ecuación de la LCK para el nodo

b

i_{R 2} + i_{R_{3}} + i_{V_{2}} = 0

\frac{(v_{a} - v_{b})}{R 2} - \frac{v_{b}}{R 3} + i_{V_{2}} ? = 0

Ups, ¿qué debemos poner para la corriente en la batería flotante,

i_{V 2}

? La ecuación de la batería no habla de la corriente. Su ecuación es

v = V_{2}

y no hay ningún término

i

involucrado. Las baterías no nos dicen cuál es su corriente. Eso depende del resto del circuito. Entonces, ¿qué es lo que escribimos para este término en la ecuación LVK si no conocemos

i

para la batería?

En este punto nos desviamos de la lista de pasos estándar para el método del voltaje en los nodos y recurrimos a nuestra propia astucia. Está bien hacer esto. Recuerda que los pasos del método del voltaje en los nodos no son más que una manera eficiente de crear y resolver ecuaciones simultáneas. La batería flotante nos da un poco de problema, pero no nos hemos olvidado de que el punto es crear un conjunto de ecuaciones independientes.

Al ver el circuito, podemos hacer dos observaciones:

El voltaje en el nodo $c$ ‍ tiene una relación rígida con el voltaje en el nodo $b$ ‍. Es decir, $v_{c} = v_{b} + V_{2}$ ‍. Podemos agregar esto a nuestro sistema de ecuaciones, y así compensar el hecho de que no conocemos la corriente en la batería $V_{2}$ ‍.
También vemos que la corriente en la batería $V_{2}$ ‍ es la misma que la corriente en el resistor $R 1$ ‍.

Podemos expresar la corriente en la batería al estilo del voltaje del nodo como

\frac{V_{1} - v_{c}}{R 1}

Mejor aún, podemos escribir la corriente en la batería en términos de

v_{b}

como

\frac{V_{1} - (v_{b} + V_{2})}{R 1}

Ahora podemos completar la ecuación de la LCK en el nodo

b

\frac{(V_{1} - v_{b})}{R 2} - \frac{v_{b}}{R 3} + \frac{V_{1} - (v_{b} + V_{2})}{R 1} = 0

Esta ecuación es un poco más complicada que lo habitual, pero sigue siendo una ecuación con una incógnita,

v_{b}

, que tiene solución.

Una vez que encontremos

v_{b}

, usamos nuestra ecuación adicional para obtener

v_{c}

de manera inmediata.

v_{c} = v_{b} + V_{2}

¡Listo! Tenemos los voltajes de los tres nodos. Si quieres encontrar las corrientes, continúa con la ley de Ohm como lo hicimos anteriormente.

La fuente de voltaje flotante es una de las favoritas de los maestros para poner en los exámenes para ver cómo respondes ante un circuito con una configuración inesperada. Nosotros superamos la dificultad al ser observadores y recordar que está bien agregarle una ecuación adicional al sistema si es que es necesario.

Supernodo

Usamos la relación rígida entre los dos nodos de la batería flotante para generar un término y ponerlo en la ecuación de la LVK, más una ecuación adicional. Algunos libros de texto llaman a esto un supernodo. En la discusión anterior podríamos haber usado esa palabra, pero simplemente recurrimos a nuestra creatividad para resolver el rompecabezas.

Resumen del método del voltaje en los nodos

El método del voltaje en los nodos es uno de los dos métodos bien ordenados para resolver un circuito. Esta técnica está incrustada dentro del simulador de circuitos popular,

SPICE

. La secuencia de pasos se puede resumir como:

Asignar un nodo de referencia (tierra).
Asignar nombres a los voltajes en los nodos restantes.
Resolver los nodos fáciles primero, los que tienen una fuente de voltaje conectada al nodo de referencia.
Escribir la ley de Kirchhoff de la corriente para cada nodo. Haz la ley de Ohm en tu cabeza.
Resolver el sistema de ecuaciones resultante para todos los voltajes en los nodos.
Resolver para cualquier corriente que quieras conocer mediante el uso de la ley de Ohm.

Si el circuito incluye una fuente flotante, agrega ecuaciones adicionales para contabilizar las corrientes o los voltajes variables que faltan.

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azucenamara
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “como se determinan los si...” de azucenamara
como se determinan los signos delas corrientes para el LCK, es decir cuales son las corrientes de entrada y salida.
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Respuesta
Dani Avendaño
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “en "fuentes de voltaje fl...” de Dani Avendaño
en "fuentes de voltaje flotantes": tengo dudas en específico en forma de circuitos. tengo un circuito con dos mallas y fuentes flotantes con resistores en serie en el siguiente orden partiendo de la referencia (Vo). Rama1: resistor-nodo1-resistor-fuente de tensión (+-)-nodo2. Rama2: resistor-nodo2. Rama3: fuente de corriente-nodo2
también quisiera que se planteara a modo de formula la obtención de corrientes cuando cambia la polaridad de la fuente o cuando antes de la referencia hay un resistor.
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Diego Cervantes
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “¿Que significa si algún p...” de Diego Cervantes
¿Que significa si algún potencial después de hacer mi sistema de ecuaciones me sale negativo?
Botón que navega a la página de registroComentar en la publicación “¿Que significa si algún p...” de Diego Cervantes
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Respuesta
- Horacio Barrabasqui
  Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “Hola, estoy buscando algu...” de Horacio Barrabasqui
  Hola, estoy buscando alguna lección sobre fuentes dependientes o controladas. Ya sean de corriente o tensión. No he encontrado y quisiera saber si hay material al respecto.
  Muchas gracias.
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inilander74
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “En el problema guiado, al...” de inilander74
En el problema guiado, al resolver el sistema de ecuaciones, si yo quiero sacar primero Vc, no da el mismo resultado. Es mi error?
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