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Ingeniería eléctrica

Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada
Ciencia
Ingeniería eléctrica
Análisis de circuitos
Respuesta natural y forzada
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La ecuación de corriente y voltaje de un capacitor en acción

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Mostramos la ecuación i-v del capacitor al deducir el voltaje sobre un capacitor conectado a una fuente de corriente. Escrito por Willy McAllister.
El capacitor es uno de los elementos ideales de los circuitos. Pongamos un capacitor a trabajar para observar la relación entre la corriente y el voltaje. Las dos formas de la ecuación i-v son:
i, equals, start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction v, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript, i, start text, d, end text, t, plus, v, start subscript, 0, end subscript
start text, C, end text es la capacitancia, una propiedad física del capacitor.
start text, C, end text es el factor de escala para la relación entre i y d, v, slash, d, t.
start text, C, end text determina qué tanta i genera una cantidad de d, v, slash, d, t dada.
v, start subscript, 0, end subscript es el voltaje inicial a través del capacitor al tiempo t, equals, 0.
En este artículo, trabajaremos con la forma integral de la ecuación del capacitor. Nuestro circuito de ejemplo es una fuente de corriente conectada a un capacitor de 1, mu, start text, F, end text.

Voltaje antes, durante y después de un pulso de corriente

Supón que le aplicamos un pulso de corriente de 2, start text, space, m, A, end text al capacitor de 1, mu, start text, F, end text durante 3 milisegundos, y que el voltaje inicial a través del capacitor es cero.
i(t)={2 mA;  0<t<3 ms0;  el resto del tiempo.i(t)=\begin{cases}2 \text{ mA}&; ~~0 \lt t \lt 3\,\text{ms} \\ 0&; ~~ \text{el resto del tiempo.}\end{cases}
start text, C, end text, equals, 1, mu, start text, F, end text
v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0
¿Cuál es el voltaje del capacitor, v, left parenthesis, t, right parenthesis?
Utilizamos la forma integral de la ecuación del capacitor para determinar v, left parenthesis, t, right parenthesis en tres periodos diferentes: antes, durante y después del pulso de corriente.

Antes del pulso

Antes del pulso left parenthesis, t, is less than, 0, right parenthesis, no hay flujo de corriente, por lo que start text, C, end text no acumula carga. Por lo tanto, v, start subscript, left parenthesis, t, is less than, 0, right parenthesis, end subscript, equals, 0. Ni siquiera tuvimos que usar la ecuación.

Durante el pulso

Durante todo el tiempo T a lo largo del pulso de corriente left parenthesis, 0, \lt, t, \lt, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, start text, C, end text acumula carga y el voltaje aumenta. Podemos aplicar la ecuación del capacitor para determinar cómo cambia v,
v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript, i, start text, d, end text, t, plus, v, start subscript, 0, end subscript
Como i es constante durante este periodo, podemos sacarla de la integral. También podemos ignorar v, start subscript, 0, end subscript, pues vale cero.
v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript, start text, d, end text, t
v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, t, vertical bar, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript
v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, T, start text, v, o, l, t, s, end text
Esta es la ecuación de una recta con pendiente i, slash, start text, C, end text, válida durante el pulso. La pendiente es:
start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, equals, start fraction, 2, times, 10, start superscript, minus, 3, end superscript, start text, A, end text, divided by, 1, times, 10, start superscript, minus, 6, end superscript, start text, F, end text, end fraction, equals, 2000, start text, v, o, l, t, s, slash, s, e, g, u, n, d, o, end text
Al final del pulso, T, equals, 3, start text, m, s, end text, el voltaje a través del capacitor se eleva a:
v, start subscript, left parenthesis, T, equals, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, end subscript, equals, 2000, start text, v, o, l, t, s, slash, s, end text, dot, 0, point, 003, start text, s, end text, equals, 6, start text, v, o, l, t, s, end text

Después del pulso

Después del pulso left parenthesis, 3, start text, m, s, end text, \lt, t, right parenthesis, la corriente cae a 0, por lo que el capacitor deja de acumular carga. Como se mueve nada de carga, esperamos que el voltaje no cambie. Podemos confirmar esta suposición al evaluar la ecuación del capacitor para el tiempo y el voltaje iniciales t, equals, 3, start text, m, s, end text y v, start subscript, 3, start text, m, s, end text, end subscript, equals, 6, start text, V, end text, respectivamente.
v, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 3, start text, m, s, end text, end subscript, start superscript, T, end superscript, 0, start text, d, end text, t, plus, 6, equals, 6, start text, v, o, l, t, s, end text
Ya no hay corriente, por lo que la carga se mantiene constante y el voltaje permanece en 6, start text, V, end text.
Si juntamos los tres periodos distintos, obtenemos v, left parenthesis, t, right parenthesis:
Inténtalo tú mismo. Ajusta el tamaño y duración del pulso de corriente (el punto start color #1fab54, start text, v, e, r, d, e, end text, end color #1fab54).
  • ¿De cuántas maneras distintas puedes lograr un voltaje final de 4, start text, V, end text?
  • ¿Qué le ocurre a v, left parenthesis, t, right parenthesis si el pulso de corriente se vuelve negativo?
Tenemos un apodo para esta configuración de circuito (fuente de corriente que alimenta un capacitor): la llamamos integrador.

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