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Ingeniería eléctrica
Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2
Lección 4: Respuesta natural y forzada- Las ecuaciones de corriente y voltaje de un capacitor
- Un capacitor integra la corriente
- La ecuación de corriente y voltaje de un capacitor en acción
- Las ecuaciones de un inductor
- Voltaje inductivo de retroceso (1 de 2)
- Voltaje inductivo de retroceso (2 de 2)
- La ecuación de corriente y voltaje de un inductor en acción
- La respuesta natural de un circuito RC. Ideas intuitivas
- La respuesta natural de un circuito RC. Derivación
- La respuesta natural de un circuito RC. Ejemplo
- La respuesta natural de un circuito RC
- La respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón. Ideas intuitivas
- Preparación para la respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón (parte 1 de 3)
- Solución a la respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón (parte 2 de 3)
- Ejemplo sobre la respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón (parte 3 de 3)
- La respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón
- La respuesta natural de un circuito RL
- Esbozar exponenciales
- Esbozar exponenciales. Ejemplos
- Ideas intuitivas acerca de la respuesta natural de un circuito LC (parte 1)
- Ideas intuitivas acerca de la respuesta natural de un circuito LC (parte 2)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 1)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 2)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 3)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 4)
- Ejemplo de la respuesta natural de un circuito LC
- La respuesta natural de un circuito LC
- La respuesta natural de un circuito LC. Deducción
- La respuesta natural de un circuito RLC. Ideas intuitivas
- La respuesta natural de un circuito RLC. Deducción
- La respuesta natural de un circuito RLC. Variaciones
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La respuesta natural de un circuito LC. Deducción
La deducción formal de la respuesta natural del circuito LC, donde descubrimos la frecuencia de oscilación. Escrito por Willy McAllister.
Derivamos la respuesta natural del circuito inductor-capacitor, start text, L, C, end text.
Aquí es donde nacen las ondas sinusoidales.
Antecedentes
En este artículo resolveremos paso a paso una ecuación diferencial de segundo orden. No es necesario que tengas experiencia previa con esta clase de ecuaciones, pero puedes revisar nuestros videos sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. En los artículos sobre las respuestas naturales de los circuitos start underline, start text, R, C, end text, end underline y start underline, start text, R, L, end text, end underline resolvemos ecuaciones de primer orden. También puedes revisar nuestros videos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden.
Qué vamos a construir
La ecuación diferencial homogénea de segundo orden siguiente describe la respuesta natural de un circuito start text, L, C, end text:
La solución para la corriente es:
Donde omega, start subscript, circle, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root es la frecuencia natural del circuito start text, L, C, end text y start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript es el voltaje inicial en el capacitor.
En ingeniería eléctrica, utilizamos la letra j para denotar square root of, minus, 1, end square root.
(Usamos la letra i para la corriente).
(Usamos la letra i para la corriente).
Introducción
Los sistemas de primer orden
Hasta ahora hemos estudiado las respuestas naturales de los circuitos de primer orden start underline, start text, R, C, end text, end underline y start underline, start text, R, L, end text, end underline, que solo tienen un componente capaz de almacenar energía, start text, C, end text o start text, L, end text. La forma de la respuesta natural de los circuitos de primer orden es una exponencial que "decae" a su valor final. El resistor disipa la energía contenida en el componente de almacenamiento.
Los sistemas de segundo orden
Ahora estudiamos un circuito sin resistores y con dos componentes capaces de almacenar energía. Esto circuitos son sistemas de segundo orden porque producen ecuaciones con segundas derivadas.
En este artículo cubrimos el circuito start text, L, C, end text, uno de los dos últimos circuitos que resolveremos con un tratamiento completo de ecuaciones diferenciales. El último circuito al que le aplicaremos este tratamiento es el circuito start text, R, L, C, end text (en el próximo artículo). Las matemáticas de las ecuaciones diferenciales se dificultan cada vez más. Afortunadamente, una vez que hayamos concluido con los circuitos start text, L, C, end text y start text, R, L, C, end text, nos aprenderemos un buen atajo que hará nuestras vidas mucho más simples.
Me ciño a las ecuaciones diferenciales en vez de ir directo al atajo porque quiero mostrarte de dónde provienen las ondas sinusoidales en la electrónica. Las ondas sinusoidales emergen de las soluciones de las ecuaciones de segundo orden. Las ondas sinusoidales son muy importantes; son los bloques de construcción de todas las otras clases de señales.
Los sistemas de segundo orden son los primeros sistemas que van y vienen en el tiempo, u oscilan. El ejemplo clásico de un sistema mecánico de segundo orden es un reloj de péndulo. En la electrónica, el sistema clásico de segundo orden es el circuito start text, L, C, end text.
La respuesta natural
Queremos encontrar la respuesta natural del circuito start text, L, C, end text. La respuesta natural es lo que hace un circuito cuando no hay una fuerza externa sobre él, y siempre es una parte importante de la respuesta total de un circuito.
La respuesta natural de un circuito de 2.o orden
Para continuar en búsqueda de una solución precisa para la respuesta natural, proporcionemos al circuito algo de energía inicial. Etiquetamos los componentes poniendo especial atención a la convención de los signos para los componentes pasivos. El inductor tiene una corriente inicial de 0, start text, A, end text porque el interruptor comienza en posición abierta. Suponemos que el capacitor tiene un voltaje inicial v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, minus, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript antes de que cierre el interruptor (observa cómo el signo plus de v, start subscript, start text, C, end text, end subscript está en la parte inferior). Al tiempo t, equals, 0 cerramos el interruptor.
Como con el análisis de cada circuito, comenzamos por escribir una de las leyes de Kirchhoff. En este caso, utilizamos la ley de voltaje de Kirchhoff (LVK) alrededor de la malla, comenzando por la esquina inferior izquierda y recorriendo el circuito en el sentido de las manecillas del reloj.
Esta ecuación de la LVK contiene una integral, que es difícil de tratar. La manera de eliminar la integral (también conocida como antiderivada) es derivarla. Así, derivamos todos los términos en la ecuación.
Esto resulta en una segunda derivada para el término start text, L, end text y en la desaparición de la integral para el término 1, slash, start text, C, end text, y nos deja con 0 en el lado derecho.
Podemos escribir de forma más limpia la ecuación si eliminamos el coeficiente en el primer término, por lo que dividimos entre start text, L, end text. Esta ecuación diferencial de segundo orden captura la esencia de nuestro circuito.
Proponer una solución
Cuando resolvimos los circuitos de primer orden start text, R, C, end text y start text, R, L, end text, propusimos una solución exponencial para i, left parenthesis, t, right parenthesis. Proponer soluciones también funciona con ecuaciones de segundo orden. Nuestra ecuación de segundo orden impone requisitos similares: queremos una función cuya derivada se le parezca, de tal forma que la suma de la una con la otra sea igual cero. La función exponencial cumple con este requisito. Así, proponemos una función exponencial con ciertos parámetros ajustables:
La constante K es un factor de amplitud que escala la corriente de tal forma que sea grande o pequeña.
La constante s se encuentra en el exponente, al lado del tiempo t. Puesto que los exponentes no tienen unidades, s debe tener unidades de 1, slash, t, por lo que es una frecuencia. Como queremos determinar la respuesta natural, decimos que s es la frecuencia natural.
Ahora sustituimos nuestra propuesta de solución en la ecuación diferencial y verificamos si la satisface.
Trabajemos sobre el primer término al tomar las dos derivadas. La primera derivada es:
Y la segunda derivada:
Sustituimos la segunda derivada en la ecuación:
Y factorizamos el término K, e, start superscript, s, t, end superscript:
¿De cuántas maneras podemos hacer verdadera esta ecuación?
K, equals, 0 es muy aburrido. 0, equals, 0, ¿a quién le importa?
El término e, start superscript, s, t, end superscript nunca se anula en tiempo finito.
Esto nos deja con una solución interesante cuando el término s, plus, 1, slash, start text, L, C, end text es igual a cero:
A esta ecuación la llamamos la ecuación característica de nuestro circuito.
Queremos encontrar las raíces de la ecuación característica (los valores de s que hacen el lado izquierdo de la ecuación igual a cero).
Vaya, mira lo que está por ocurrir. Estamos a punto de sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Estamos a punto de generar un número imaginario.
La constante s tiene dos valores posibles:
Los ingenieros eléctricos utilizan la letra j para denotar la unidad imaginaria, square root of, minus, 1, end square root, pues usan la letra i para la corriente.
Como abreviación, denotaremos el término de la raíz cuadrada como:
Podemos expresar las raíces de la ecuación característica en términos de omega, start subscript, start text, o, end text, end subscript como:
¡Qué tal! El circuito start text, L, C, end text produce dos frecuencias naturales complejas, s, start subscript, 1, end subscript y s, start subscript, 2, end subscript, y una de esas frecuencias es negativa. Qué curioso. Este hecho resultará ser muy interesante.
Tanto s, start subscript, 1, end subscript como s, start subscript, 2, end subscript son raíces de la ecuación. Para nuestra propuesta de solución, existe la posibilidad de dos frecuencias naturales, s, start subscript, 1, end subscript y s, start subscript, 2, end subscript. Así, escribimos la solución general como una combinación lineal de dos términos, con dos constantes K ajustables.
A estas alturas puede que estés pensando "¿Números complejos? ¿Frecuencia negativa? ¿Esto en realidad sucede?" La respuesta es "sí". Por favor aguanta un poco mientras trabajamos con estas expresiones.
Las identidades de Euler
Para trabajar con estos exponentes complejos, recurrimos a una identidad importante.
Por medio de las expansiones en serie de Maclaurin de e, start superscript, j, x, end superscript, sine, j, x y cosine, j, x es posible deducir estas identidades de Euler:
En el video enlazado, cada vez que el narrador dice i, nosotros decimos j.
Estas identidades nos permiten convertir el extraño término e, start superscript, i, m, a, g, i, n, a, r, i, o, end superscript en un número complejo normal. Las partes real e imaginaria están dadas por una función coseno o una función seno, de tal forma que ambas componentes están en un rango entre minus, 1 y plus, 1.
Utilizar las identidades de Euler
Podemos utilizar las identidades de Euler en nuestra propuesta de solución.
Al expandir las multiplicaciones, obtenemos:
y al factorizar los términos de seno y coseno:
No conocemos K, start subscript, 1, end subscript o K, start subscript, 2, end subscript, ni su suma o su diferencia. Parece perfectamente aceptable reemplazar las constantes K desconocidas con otras constantes desconocidas diferentes, por ejemplo, constantes A, solo para simplificar las cosas.
Si hacemos A, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis y A, start subscript, 2, end subscript, equals, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript) entonces i, left parenthesis, t, right parenthesis es:
Utilizamos las identidades de Euler para volver a escribir las exponenciales complejas en términos de sumas de funciones trigonométricas. En esta ecuación, es la primera vez que en electrónica vemos un seno o un coseno como una función del tiempo (una onda sinusoidal).
(Observa cómo definimos A, start subscript, 2, end subscript para incluir j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, de tal forma que j no aparezca directamente en la propuesta de solución).
Probar la propuesta de solución
A continuación, verificamos nuestra propuesta de solución al sustituirla en la ecuación diferencial de segundo orden. Si podemos determinar valores para las constantes de tal forma que se satisfaga la ecuación, nuestra propuesta es una ganadora.
Determinar las condiciones iniciales
Las condiciones iniciales necesarias para un circuito de segundo orden son un poco más intrincadas que las de uno de primer orden.
Cuando hicimos esto para circuitos de primer orden, start text, R, C, end text o start text, R, L, end text, teníamos que conocer un solo valor, una corriente inicial o un voltaje inicial. Con un circuito start text, L, C, end text, que es de segundo orden, necesitamos conocer dos valores al momento en el que cierra el interruptor: la corriente y la derivada de la corriente.
Escribimos todo lo que sabemos al tiempo t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript (el instante previo a que se cierre el interruptor):
- El interruptor está abierto, por lo que i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
- El voltaje inicial del capacitor está dado: v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, minus, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript.
Si t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript es el instante posterior a que se cierra el interruptor, nuestro objetivo es encontrar i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis y d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis.
Conocemos algunas propiedades de los inductores y los capacitores que nos permitirán ir de t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript a t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript:
- La corriente en un inductor no puede cambiar instantáneamente, por lo que
i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0, point - El voltaje de un capacitor no puede cambiar instantáneamente, por lo que
v, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, v, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, point
(Después de que se cierra el interruptor solo hay un voltaje v, por lo que de ahora en adelante simplemente lo llamaremos v).
Ahora sabemos cuánto vale i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, pero todavía no conocemos d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis. ¿Cómo podemos obtener esta derivada? ¿Qué tal de la ecuación i-v del inductor?
Ahora tenemos nuestra segunda condición inicial. Esta establece que en el instante posterior al cierre del interruptor, la corriente en el inductor comienza a cambiar con una pendiente de start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, slash, start text, L, end text amperes cada segundo.
Resumen de las condiciones iniciales
Usar las condiciones iniciales para encontrar A, start subscript, 1, end subscript y A, start subscript, 2, end subscript
Utilizamos nuestras condiciones iniciales una a la vez para determinar las constantes. La primera condición inicial es i, equals, 0 en t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript. Sustituyámosla en la solución propuesta y veamos a dónde nos lleva:
Por lo tanto, A, start subscript, 1, end subscript es 0; así, el término coseno desaparece de la solución. Nuestra propuesta ahora se ve como:
Para determinar la constante A, start subscript, 2, end subscript, utilizamos la segunda condición. La derivada de i en t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript es:
Calculamos la derivada de la i, left parenthesis, t, right parenthesis propuesta:
Al evaluar esta expresión en t, equals, 0, obtenemos:
Podemos expresar omega, start subscript, circle, end subscript en términos de start text, L, end text y start text, C, end text para obtener:
Y finalmente, después de un montón de trabajo duro, la solución para la corriente es:
Los valores reales de los componentes
Para demostrar cómo se ve la solución, consideremos valores reales para los componentes. Tomemos start text, L, end text, equals, 1 henry y start text, C, end text, equals, 1, slash, 4 farad, y un voltaje inicial en el capacitor de 10, start text, V, end text.
La frecuencia natural, omega, start subscript, circle, end subscript, es:
La corriente como función del tiempo es:
La corriente comienza a circular en el momento en el que se cierra el interruptor:
La corriente empieza con un patrón de onda sinusoidal que continúa por siempre (en este circuito ideal no hay resistencia, por lo que la energía nunca se disipa. En la vida real, el circuito tiene una pequeña resistencia que eventualmente disipa la energía).
La frecuencia natural de la onda sinusoidal es omega, start subscript, circle, end subscript, equals, 2, start text, r, a, d, i, a, n, e, s, end text, slash, start text, s, e, g, u, n, d, o, end text. Podemos convertir de radianes por segundo a ciclos por segundo (también conocidos como hertz, o start text, H, z, end text) usando el hecho de que 1 ciclo completo para una función seno corresponde a 2, pi radianes. A menudo utilizamos el símbolo f para ciclos por segundo. La conversión es:
La frecuencia natural del circuito en ciclos por segundo, o hertz start text, left parenthesis, H, z, right parenthesis, end text es:
o, de manera equivalente, la corriente hace un ciclo completo cada pi segundos.
Un vistazo rápido a las condiciones iniciales
Podemos mirar de cerca el origen para ver cómo la solución tomó en cuenta las condiciones iniciales. La onda sinusoidal comienza en el origen, i, equals, 0. Observa cómo la pendiente de la onda sinusoidal azul cerca del origen coincide con la pendiente de la recta negra, cuyo valor es i, equals, 10, start text, A, end text, slash, start text, s, end text.
El voltaje, v, left parenthesis, t, right parenthesis
Hasta este punto, hemos determinado la corriente. Si quieres ir un poco más lejos, intenta determinar el voltaje, v, left parenthesis, t, right parenthesis.
Encuentra una expresión para v, left parenthesis, t, right parenthesis después de que se cierra el interruptor.
Para determinar v en términos de d, i, slash, d, t, probablemente la ruta más rápida sea usar la ecuación i-v del inductor.
Resumen
Deducimos la respuesta natural de un circuito start text, L, C, end text al primero construir la siguiente ecuación diferencial homogénea de segundo orden:
Posteriormente propusimos una solución de la forma K, e, start superscript, s, t, end superscript, la cual nos dio la ecuación característica del circuito:
Cuando calculamos las raíces de la ecuación característica, nos encontramos con una expresión muy extraña: e, start superscript, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript, una exponencial con exponente complejo. Buscamos lejos dentro de nuestra bolsa de trucos y sacamos...
Las identidades de Euler
e, start superscript, plus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, plus, j, sine, x
e, start superscript, minus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, minus, j, sine, x
e, start superscript, minus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, minus, j, sine, x
Estas identidades nos permiten expresar la exponencial compleja como una combinación de funciones seno y coseno (en ingeniería eléctrica utilizamos la letra j para denotar square root of, minus, 1, end square root).
Luego observamos cuidadosamente el circuito para determinar las condiciones iniciales. Para un sistema de segundo orden, encontramos valores iniciales para i y para d, i, slash, d, t.
Encontramos una función i, left parenthesis, t, right parenthesis que satisface la ecuación diferencial:
omega, start subscript, circle, end subscript, \equiv, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root es la frecuencia natural del circuito start text, L, C, end text.
start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript es el voltaje inicial en el capacitor.
(Esta solución es válida cuando la corriente inicial en el inductor es 0).
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