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Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada

La respuesta natural de un circuito RC

La respuesta natural de un circuito RC. El producto de R por C se llama la constante de tiempo. Escrito por Willy McAllister.

El circuito resistor-capacitor

(RC)

es uno de los primeros circuitos interesantes que podemos construir y analizar. Comprender el comportamiento de este circuito es esencial para aprender electrónica. Podemos encontrar formas de este circuito en todas partes. A veces, construirás este circuito a propósito; otras, el circuito aparecerá por su cuenta.

Los conductores en cualquier circuito real inevitablemente tienen otros elementos conductores cerca; por ejemplo, otros cables, planos aterrizados o cajas metálicas. Cualesquiera dos conductores separados por un aislante actúan como un capacitor. Estos capacitores (usualmente pequeños y no deseados) se conectan al cable de interés. Muchas veces los podemos ignorar, pero, a veces, estas capacitancias parasitarias juegan un papel importante en el desempeño de los circuitos.

Este es uno de los primeros circuitos que encontramos donde tenemos que tomar en cuenta el tiempo. Para desarrollar una comprensión precisa necesitamos herramientas de cálculo. Para describir el circuito

RC

, usamos derivadas.

Queremos entender la respuesta natural de este circuito.

Qué vamos a construir

Para un circuito resistor-capacitor, donde el capacitor tiene un voltaje individual

V_{0}

, el voltaje disminuirá exponencialmente de acuerdo a la ecuación:

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

Donde

V_{0}

es el voltaje al tiempo

t = 0

. A esta se le llama la respuesta natural.

La constante de tiempo para un circuito

RC

τ = R \cdot C .

El circuito que estudiaremos es un resistor en serie con un capacitor. Si le aplicamos un voltaje, ¿cómo responde este circuito?

Primero, usa la intuición para predecir lo que sucede

El circuito que exploramos en esta sección es:

Queremos saber qué pasa con

v_{C}

, el voltaje del capacitor, cuando encendemos y apagamos el interruptor.

Una convención común para nombrar voltajes y corrientes es utilizar minúsculas para las cantidades que varían con el tiempo,

v (t)

i (t)

. Utilizamos mayúsculas para sugerir valores constantes,

V

I

. Por ejemplo, podemos denotar una batería o una fuente de poder con mayúsculas, como

VDD

VSS

. La letra mayúscula

V

nos recuerda que el voltaje no cambia. Esta convención no está garantizada para cada esquema que te encuentres, pero es útil en la práctica.

Analizaremos las siguientes preguntas una a la vez:

¿Cuánto vale $v_{C}$ ‍, el voltaje a través del capacitor...

...antes de subir el interruptor?
...después subir el interruptor?
...después de bajar el interruptor?

Antes subir el interruptor

Comenzamos nuestro análisis al determinar el estado inicial del circuito, antes de que algo cambie. Con el interruptor hacia abajo, podemos dibujar el siguiente circuito equivalente, donde

v_{e}

es igual a

0

volts y el lado izquierdo de

R

está conectado a la parte inferior de

C

Supongamos por el momento que el circuito lleva mucho tiempo en este estado, de tal manera que cualquier carga almacenada en el capacitor ya se haya drenado a través del resistor; así,

q_{C} = 0

. De este hecho, sabemos que el voltaje a través del capacitor debe ser de

0

volts, pues

v_{C} = q / C = 0 / C = 0

Como a través del capacitor hay

0

volts, tampoco hay voltaje a través del resistor, por lo que la corriente que fluye por

R

(y la corriente que fluye por el capacitor) debe ser igual a

0

amperes. Decimos que el circuito está en estado estacionario, en reposo o en equilibrio. Hemos respondido la primera pregunta, "¿Cuál es el voltaje a través de

C

antes subir el interruptor?".

Después de subir el interruptor

Ahora subimos el interruptor. El voltaje

v_{e}

se vuelve

V_{BAT}

, y algo está por cambiar.

La corriente comienza a fluir por la terminal positiva de la batería y a través de

R

C

, y en el capacitor se acumula carga. Esta acumulación de carga genera un voltaje a través del capacitor (

v_{C} = q / C

) que crece. Llamamos "periodo de transición" al periodo de tiempo durante el cual el voltaje

v_{C}

cambia.

¿Qué impide que

v_{C}

crezca por siempre? La carga se acumula en el capacitor hasta que

v_{C}

crece al mismo valor del voltaje de la batería:

v_{C} = V_{BAT}

. En este punto, el voltaje a través del resistor es de

0

volts, por lo que la corriente en el resistor deja de fluir (ley de Ohm). Esto también significa que la corriente (carga) deja de fluir a través del capacitor. La cantidad de carga en el capacitor deja de cambiar y por lo tanto el voltaje del capacitor se vuelve constante:

v_{c} = V_{BAT}

. El periodo de transición ha concluido.

Hemos respondido la segunda pregunta, "¿Cuál es el voltaje a través de

C

después de subir el interruptor?". Después del periodo de transición, el circuito alcanza un nuevo estado estacionario, con

v_{C} = V_{BAT}

, y permanece en él hasta que algo perturba su dicha.

Después de bajar el interruptor

Ahora colocamos el interruptor en su posición original, en la terminal negativa de la batería (

v_{e} = 0

). ¿Qué ocurre a continuación?

Este es el mismo circuito con el que empezamos, pero esta vez

C

está almacenando algo de carga, por lo que hay un voltaje inicial a través de él. Por esta razón, hay una diferencia de potencial entre las terminales de

R

. En el momento en que bajamos el interruptor, el voltaje es

v_{C} = V_{BAT}

; por lo tanto, una corriente debe comenzar a fluir a través de

R

(así lo establece la ley de Ohm). La carga almacenada en

C

es la que proporciona esta corriente, y continuará haciéndolo hasta que se agote, dejando

C

descargado. Eventualmente,

v_{C}

cae a cero volts, y la diferencia de potencial a través de

R

también cae a cero. El circuito ha regresado a su estado de equilibrio original. Finalmente, hemos respondido la tercera pregunta, "¿Cuál es el voltaje a través de

C

después de bajar el interruptor?".

Resumen

Con tan solo nuestra intuición, dedujimos que el voltaje del capacitor,

v_{C}

, comienza en

0

volts, aumenta a

V_{BAT}

y luego regresa a

0

volts. Dicho de otro modo,

v_{C}

va de un estado estacionario a un segundo estado transitorio y regresa a su estado original. Además, conocemos exactamente el valor de los voltajes inicial y final de cada estado transitorio. No está mal, pero... ¿qué es lo que no sabemos? No sabemos qué tanto duran los estados transitorios o su forma. Es tiempo de hacer un poco de cálculo para obtener una solución precisa y útil.

Deducción formal de la respuesta natural de un circuito $RC$ ‍

El circuito consiste solo un resistor

R

y un capacitor

C

conectados. Por "encontrar la respuesta" nos referimos a encontrar

v

i

como funciones del tiempo.

Para hacer que el circuito haga algo (además de estar ahí), colocamos una carga inicial en el capacitor. Esto se hace por un circuito externo no mostrado. Después de agregar esta energía dejamos que el circuito se comporte de manera natural. Imagina que el capacitor estuviera cargado con un voltaje inicial,

V_{0}

, proveniente de un circuito externo, el cual se acaba de desconectar.

El resultado que estamos por obtener se llama la respuesta natural de un circuito

RC

. La respuesta natural es lo que hace el circuito cuando tiene una condición inicial, pero nada más actúa sobre él.

Modelar los componentes

Podemos describir los componentes

R

C

del circuito con sus ecuaciones de voltaje-corriente características.

Para el resistor, escogemos una forma de la ley de Ohm:

i_{R} = \frac{v}{R}

La relación voltaje-corriente correspondiente para el capacitor es:

i_{C} = C \frac{d v}{d t}

Esta ecuación

i

v

para el capacitor surge de la relación básica entre la carga y el voltaje de un capacitor:

q = C v

Podemos derivar de ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo:

\frac{d q}{d t} = C \frac{d v}{d t}

El lado izquierdo,

d q / d t

, es el cambio en la carga con respecto al cambio en el tiempo, y representa una carga en movimiento, o una corriente eléctrica. André-Marie Ampère fue el primero en usar este término. El símbolo que utilizamos para la corriente es “

i

”, a partir de la primera letra de la oración en francés “intensité du courant électrique”. Al reemplazar

d q / d t

con

i

, obtenemos la relación corriente-voltaje conocida para un capacitor:

i = C \frac{d v}{d t}

Modelar el circuito

Podemos escribir una ecuación por medio de la ley de la corriente de Kirchhoff para las dos corrientes que fluyen hacia afuera del nodo superior.

i_{C} + i_{R} = 0

C \frac{d v}{d t} + \frac{1}{R} v = 0

Resolver el circuito

La ecuación anterior es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (EDO), y tenemos las habilidades matemáticas para resolverla.

Es una ecuación diferencial porque contiene derivadas. Es "de primer orden" porque la derivada más alta es una primera derivada,

(d v / d t)

. Es "ordinaria" porque solo hay una variable independiente,

t

(en lugar de derivadas parciales de muchas variables independientes).

Nunca deja de asombrarme que los símbolos en los esquemas sean pequeños pedazos de ecuaciones diferenciales. Símbolos sencillos, ideas sofisticadas.

La solución de una ecuación diferencial es alguna clase de función; en nuestro caso, una función del voltaje con respecto al tiempo,

v (t)

. La función

v (t)

es una solución si satisface la ecuación diferencial.

C \frac{d v}{d t} + \frac{1}{R} v = 0

(Ecuación diferencial)

¿De dónde vienen las soluciones de una EDO? Una manera es hacer una suposición educada.

Esta EDO es una ecuación diferencial separable. Incluimos un método para resolver ecuaciones diferenciales separables en el apéndice, al final del artículo sobre la respuesta natural de un circuito RL. Con este método, no hay necesidad de adivinar.

En nuestro video sobre ecuaciones diferenciales separables, estudiamos con profundidad este método de solución. Hablamos sobre proponer una solución cuando resolvemos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Mientras contemplas la ecuación diferencial, consulta tu papelera de reciclaje mental de conocimiento sobre funciones.

Los dos términos en la ecuación tienen que sumar cero. Esto sugiere que la primera derivada de la función necesita tener la misma forma que la función misma. Busca en tu memoria una función cuya primera derivada se vea como ella misma. Mmmh...

Una función que encaja en la descripción es alguna forma de la exponencial,

e^{x}

, ya que la derivada de una exponencial es otra exponencial.

\frac{d}{d t} e^{α t} = α e^{α t}

Para resolver nuestra ecuación diferencial, vamos a hacer una proposición audaz para la forma de la solución (esta parte requiere valor). Luego sustituiremos nuestra solución en la ecuación y determinaremos algunas constantes específicas del circuito (esta parte requiere matemáticas). Si encontramos constantes que satisfagan la ecuación, entonces la función propuesta es una solución de la ecuación y habremos triunfado.

Nuestra solución propuesta es una función exponencial decorada con dos parámetros ajustables,

K

s

v (t) = K e^{s t}

$t$ ‍ es el tiempo.
$v (t)$ ‍ es el voltaje como función del tiempo.
$K$ ‍ y $s$ ‍ son constantes que tenemos que determinar.
- $K$ ‍ es un factor de amplitud que hace mayor o menor el voltaje.
- $s$ ‍ es el exponente, y debe tener unidades que cancelen el tiempo; por lo tanto, $s$ ‍ tiene unidades de $1 / t$ ‍.

Verifiquemos si nuestra solución propuesta funciona...

Sustituye

v (t) = K e^{s t}

en la ecuación diferencial:

C \frac{d}{d t} (K e^{s t}) + \frac{1}{R} (K e^{s t}) = 0

Calcula la derivada en el primer término

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

Sustituye

s K e^{s t}

en la ecuación diferencial:

s C K e^{s t} + \frac{1}{R} K e^{s t} = 0

Ahora puedes factorizar el término

K e^{s t}

(s C + \frac{1}{R}) K e^{s t} = 0

Esta ecuación representa nuestro circuito específico, con la solución propuesta. Ya casi terminamos. Ahora debemos determinar las constantes y ver si la ecuación se satisface.

¿De cuántas maneras podemos hacer el lado izquierdo igual a cero? Tres maneras: cualquiera de los tres términos podría ser cero,

K

e^{s t}

(s C + 1 / R)

Una solución trivial es

K = 0

. Esto es equivalente a poner la carga inicial del capacitor igual a

0

; el circuito solo está ahí sin hacer nada. Qué aburrido.

Otra solución trivial es hacer

e^{s t} = 0

. Iguala

s

a cualquier número negativo y deja que

t

tienda a

+ \infty

. La exponencial

e^{- \infty}

desaparece por completo, lo que significa que esperamos un tiempo infinito para que el capacitor se descargue completamente. De nuevo, no es tan interesante.

Una solución más provocadora surge de la tercera opción:

s C + \frac{1}{R} = 0

Esta ecuación es verdadera si:

s = - \frac{1}{RC}

Hasta ahora, nuestra solución propuesta se ve como:

v (t) = K e^{- t / RC}

Casi terminamos. Solo nos falta determinar el valor de

K

. Examina las condiciones iniciales del circuito. Recuerda que el capacitor inicialmente está cargado a un voltaje

V_{0}

. Si llamamos a ese momento

t = 0

, entonces

v (0) = V_{0} = K e^{- \frac{0}{RC}}

Por lo que

K = V_{0}

Encontramos

s

K

tales que la ecuación diferencial se satisface. Hemos terminado. Redoble de tambor, por favor...

La solución general para la respuesta natural de un circuito

RC

es,

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

La constante de tiempo

Una exponencial no puede tener unidades. Esto significa que, para cancelar las unidades de

t

en el numerador, el producto

RC

e^{- t / RC}

debe tener unidades de tiempo. Por lo tanto,

ohms \cdot farads = segundos

, resultado que tal vez no esperabas.

Al producto de

R

con

C

lo llamamos la constante de tiempo del circuito , y usualmente la denotamos con la letra griega

τ

(tau).

τ = RC

Entonces, escribimos la solución como:

v (t) = V_{0} e^{- t / τ}

Cuando

t

es igual a la constante de tiempo, el exponente de

e

se vuelve

- 1

, y el término exponencial es igual a

1 / e

, o aproximadamente

0.37

. La constante de tiempo determina qué tan rápido tiende a cero la exponencial. Después de que

1

constante de tiempo ha pasado, el voltaje ha disminuido hasta el

37 %

de su valor inicial.

Ejemplo 1

Para la respuesta natural del circuito,
sean

R = 3 k Ω

C = 1 μ F

V_{0} = 1.4 V

a. Escribe la expresión para $v (t)$ ‍.
b. ¿Cuánto vale $v (t)$ ‍ cuando $t = RC$ ‍ ?
c. Grafica $v (t)$ ‍.

Solución al ejemplo 1

a. Escribe la expresión para $v (t)$ ‍.

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

v (t) = 1.4 e^{- \frac{t}{3 k Ω \cdot 1 μ F}}

v (t) = 1.4 e^{- \frac{t}{3 \times 10^{3} \cdot 1 \times 10^{- 6}}}

v (t) = 1.4 e^{- \frac{t}{3 \times 10^{- 3}}}

v (t) = 1.4 e^{- \frac{t}{3 ms}}

b. ¿Cuánto vale $v (t)$ ‍ cuando $t = RC$ ‍ ?

El producto

RC

tiene unidades de segundos.

τ = RC = 3 \times 10^{3} \cdot 1 \times 10^{- 6}

τ = 3 \times 10^{- 3} = 3 ms

v (3 ms) = 1.4 e^{- \frac{3 ms}{3 ms}}

v (3 ms) = 1.4 e^{- 1}

v (3 ms) = 1.4 \cdot 0.3679

v (3 ms) = 0.515 volts

(Encerrado en un círculo en la siguiente gráfica).

c. Grafica $v (t)$ ‍.

círculo

muestra la respuesta de la parte b:

v (t) = 0.515 V

cuando

t = RC = 3 ms

Una regla general útil:

Cuando el tiempo es igual a la constante de tiempo,

RC

, el voltaje ha disminuido en un factor de

1 / e

de su valor inicial, o a alrededor del

37 %

. Esto es verdad para cualquier voltaje inicial y para cualquier producto

RC

Ejemplo 2

Sean

R = 1 k Ω

C = 1 pF

V_{0} = 1.0 V

a. Escribe la expresión para v(t).
b. ¿Cuánto vale la constante de tiempo?
c. Grafica $v (t)$ ‍.
d. ¿Cuántas constantes de tiempo requiere el circuito para que el voltaje disminuya un $95 %$ ‍ de su valor inicial?

Solución al ejemplo 2

a. Escribe la expresión para v(t).

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

v (t) = 1.0 e^{- \frac{t}{1 k Ω \cdot 1 pF}}

v (t) = 1.0 e^{- \frac{t}{1 \times 10^{- 9}}}

v (t) = 1.0 e^{- \frac{t}{1 ns}}

b. ¿Cuál es la constante de tiempo?

τ = RC = 1 k Ω \cdot 1 pF

τ = 1 \times 10^{+ 3} \cdot 1 \times 10^{- 12}

τ = 1 \times 10^{- 9} = 1 ns

c. Grafica $v (t)$ ‍.

círculo

muestra la respuesta de la parte d.

d. ¿Cuántas constantes de tiempo requiere el circuito para que el voltaje disminuya un $95 %$ ‍ de su valor inicial?

Al leer la gráfica anterior, vemos que el voltaje cae a

(1 - 0.95) \cdot 1 V = 0.05

volts alrededor de los

3

ns, lo cual corresponde a

3

constantes de tiempo. Este punto está indicado con el

círculo

Otra regla general

Cualquier estado transitorio

RC

termina alrededor de

3

constantes de tiempo después. Esto es verdad para cualquier voltaje inicial y para cualquier producto

RC

Resumen

La respuesta natural de un circuito

RC

es una exponencial:

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

Donde

V_{0}

es el voltaje al tiempo

t = 0

La constante de tiempo para un circuito

RC

τ = RC .

Epílogo

La función $e^{x}$ ‍

La función

e^{x}

crece (

x > 0

) o decrece (

x < 0

) a alguna razón que depende de

x

. Hay bastantes funciones con esta forma general. Cualquier curva que se vea como

y^{x}

tiene la misma forma. Si podemos obtener la misma forma con diferentes valores de

y

, como

2^{x}

10^{x}

, ¿por qué es tan importante el número irracional

e

? La razón por la que amamos

e

más que cualquier otra opción es que

e

es el único número para el cual la derivada de

y^{x}

es igual a la función. Es decir, la pendiente de

e^{x}

en cualquier punto

x

es igual al valor de

e^{x}

\frac{d e^{x}}{d x} = e^{x}

Sin batidillo, sin alharaca, exactamente la misma cosa.

Las exponenciales ocurren en la naturaleza

El problema que acabamos de resolver, la respuesta natural de un circuito RC, es representativo de fenómenos que ocurren frecuentemente en la naturaleza. La función exponencial es un muy buen modelo matemático para describir cómo crecen o decrecen las cosas: el decaimiento del uranio, el crecimiento poblacional, los pagos de hipoteca, el calentamiento y el enfriamiento, y muchos otros procesos reales. En los más amplios términos: las exponenciales surgen en situaciones donde la cantidad de cambio es proporcional a la cantidad de cosas. Para nuestro circuito RC, la razón de cambio del voltaje es proporcional al voltaje. La curva es pronunciada cuando el voltaje es alto, y se va aplanando conforme el voltaje cae.

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Natalia Torres
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “Considere una situación e...” de Natalia Torres
Considere una situación en la que se establece un circuito RC, con R = 1000 Ω y C = 150pF (pico Faradios). Si la carga total suministrada por la fuente de voltaje es Q0 y dado que la constante de tiempo τ = RC determina el tiempo en que el capacitor que compone el circuito se carga aproximadamente a un 63% de Q0. ¿Cuánto tiempo, en términos de τ , debe transcurrir para que el capacitor se cargue un 100% de Q0?
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Qué vamos a construir

Primero, usa la intuición para predecir lo que sucede

Antes subir el interruptor

Después de subir el interruptor

Después de bajar el interruptor

Resumen

Deducción formal de la respuesta natural de un circuito RC‍

Modelar los componentes

Modelar el circuito

Resolver el circuito

La constante de tiempo

Ejemplo 1

Solución al ejemplo 1

Una regla general útil:

Ejemplo 2

Solución al ejemplo 2

Otra regla general

Resumen

Epílogo

La función ex‍

Las exponenciales ocurren en la naturaleza

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La función $e^{x}$ ‍