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Ingeniería eléctrica

Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada
Ciencia
Ingeniería eléctrica
Análisis de circuitos
Respuesta natural y forzada
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La respuesta natural de un circuito RC

Google Classroom
La respuesta natural de un circuito RC. El producto de R por C se llama la constante de tiempo. Escrito por Willy McAllister.
El circuito resistor-capacitor left parenthesis, start text, R, C, end text, right parenthesis es uno de los primeros circuitos interesantes que podemos construir y analizar. Comprender el comportamiento de este circuito es esencial para aprender electrónica. Podemos encontrar formas de este circuito en todas partes. A veces, construirás este circuito a propósito; otras, el circuito aparecerá por su cuenta.
Este es uno de los primeros circuitos que encontramos donde tenemos que tomar en cuenta el tiempo. Para desarrollar una comprensión precisa necesitamos herramientas de cálculo. Para describir el circuito start text, R, C, end text, usamos derivadas.
Queremos entender la respuesta natural de este circuito.
Esquema 1.

Qué vamos a construir

Para un circuito resistor-capacitor, donde el capacitor tiene un voltaje individual V, start subscript, 0, end subscript, el voltaje disminuirá exponencialmente de acuerdo a la ecuación:
v(t)=V0e−t/RC
Donde start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript es el voltaje al tiempo t, equals, 0. A esta se le llama la respuesta natural.
La constante de tiempo para un circuito start text, R, C, end text es tau, equals, start text, R, end text, dot, start text, C, end text, point
El circuito que estudiaremos es un resistor en serie con un capacitor. Si le aplicamos un voltaje, ¿cómo responde este circuito?
Esquema 1.

Primero, usa la intuición para predecir lo que sucede

El circuito que exploramos en esta sección es:
Esquema 2.
Queremos saber qué pasa con v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, el voltaje del capacitor, cuando encendemos y apagamos el interruptor.
Analizaremos las siguientes preguntas una a la vez:
¿Cuánto vale v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, el voltaje a través del capacitor...
  • ...antes de subir el interruptor?
  • ...después subir el interruptor?
  • ...después de bajar el interruptor?

Antes subir el interruptor

Comenzamos nuestro análisis al determinar el estado inicial del circuito, antes de que algo cambie. Con el interruptor hacia abajo, podemos dibujar el siguiente circuito equivalente, donde v, start subscript, e, end subscript es igual a 0 volts y el lado izquierdo de start text, R, end text está conectado a la parte inferior de start text, C, end text.
Esquema 3.
Supongamos por el momento que el circuito lleva mucho tiempo en este estado, de tal manera que cualquier carga almacenada en el capacitor ya se haya drenado a través del resistor; así, q, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, 0. De este hecho, sabemos que el voltaje a través del capacitor debe ser de 0 volts, pues v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, q, slash, start text, C, end text, equals, 0, slash, start text, C, end text, equals, 0.
Como a través del capacitor hay 0 volts, tampoco hay voltaje a través del resistor, por lo que la corriente que fluye por start text, R, end text (y la corriente que fluye por el capacitor) debe ser igual a 0 amperes. Decimos que el circuito está en estado estacionario, en reposo o en equilibrio. Hemos respondido la primera pregunta, "¿Cuál es el voltaje a través de start text, C, end text antes subir el interruptor?".

Después de subir el interruptor

Ahora subimos el interruptor. El voltaje v, start subscript, e, end subscript se vuelve start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript, y algo está por cambiar.
Esquema 4.
La corriente comienza a fluir por la terminal positiva de la batería y a través de start text, R, end text y start text, C, end text, y en el capacitor se acumula carga. Esta acumulación de carga genera un voltaje a través del capacitor (v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, q, slash, start text, C, end text) que crece. Llamamos "periodo de transición" al periodo de tiempo durante el cual el voltaje v, start subscript, C, end subscript cambia.
¿Qué impide que v, start subscript, start text, C, end text, end subscript crezca por siempre? La carga se acumula en el capacitor hasta que v, start subscript, start text, C, end text, end subscript crece al mismo valor del voltaje de la batería: v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript. En este punto, el voltaje a través del resistor es de 0 volts, por lo que la corriente en el resistor deja de fluir (ley de Ohm). Esto también significa que la corriente (carga) deja de fluir a través del capacitor. La cantidad de carga en el capacitor deja de cambiar y por lo tanto el voltaje del capacitor se vuelve constante: v, start subscript, start text, c, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript. El periodo de transición ha concluido.
Hemos respondido la segunda pregunta, "¿Cuál es el voltaje a través de start text, C, end text después de subir el interruptor?". Después del periodo de transición, el circuito alcanza un nuevo estado estacionario, con v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript, y permanece en él hasta que algo perturba su dicha.

Después de bajar el interruptor

Ahora colocamos el interruptor en su posición original, en la terminal negativa de la batería (v, start subscript, e, end subscript, equals, 0). ¿Qué ocurre a continuación?
Esquema 3.
Este es el mismo circuito con el que empezamos, pero esta vez start text, C, end text está almacenando algo de carga, por lo que hay un voltaje inicial a través de él. Por esta razón, hay una diferencia de potencial entre las terminales de start text, R, end text. En el momento en que bajamos el interruptor, el voltaje es v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript; por lo tanto, una corriente debe comenzar a fluir a través de start text, R, end text (así lo establece la ley de Ohm). La carga almacenada en start text, C, end text es la que proporciona esta corriente, y continuará haciéndolo hasta que se agote, dejando start text, C, end text descargado. Eventualmente, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript cae a cero volts, y la diferencia de potencial a través de start text, R, end text también cae a cero. El circuito ha regresado a su estado de equilibrio original. Finalmente, hemos respondido la tercera pregunta, "¿Cuál es el voltaje a través de start text, C, end text después de bajar el interruptor?".

Resumen

Con tan solo nuestra intuición, dedujimos que el voltaje del capacitor, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, comienza en 0 volts, aumenta a start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript y luego regresa a 0 volts. Dicho de otro modo, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript va de un estado estacionario a un segundo estado transitorio y regresa a su estado original. Además, conocemos exactamente el valor de los voltajes inicial y final de cada estado transitorio. No está mal, pero... ¿qué es lo que no sabemos? No sabemos qué tanto duran los estados transitorios o su forma. Es tiempo de hacer un poco de cálculo para obtener una solución precisa y útil.

Deducción formal de la respuesta natural de un circuito start text, R, C, end text

El circuito consiste solo un resistor start text, R, end text y un capacitor start text, C, end text conectados. Por "encontrar la respuesta" nos referimos a encontrar start color #e07d10, v, end color #e07d10 e start color #11accd, i, end color #11accd como funciones del tiempo.
Para hacer que el circuito haga algo (además de estar ahí), colocamos una carga inicial en el capacitor. Esto se hace por un circuito externo no mostrado. Después de agregar esta energía dejamos que el circuito se comporte de manera natural. Imagina que el capacitor estuviera cargado con un voltaje inicial, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, proveniente de un circuito externo, el cual se acaba de desconectar.
El resultado que estamos por obtener se llama la respuesta natural de un circuito start text, R, C, end text. La respuesta natural es lo que hace el circuito cuando tiene una condición inicial, pero nada más actúa sobre él.

Modelar los componentes

Podemos describir los componentes start text, R, end text y start text, C, end text del circuito con sus ecuaciones de voltaje-corriente características.
Para el resistor, escogemos una forma de la ley de Ohm:
i, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, start fraction, v, divided by, start text, R, end text, end fraction
La relación voltaje-corriente correspondiente para el capacitor es:
i, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction

Modelar el circuito

Podemos escribir una ecuación por medio de la ley de la corriente de Kirchhoff para las dos corrientes que fluyen hacia afuera del nodo superior.
i, start subscript, start text, C, end text, end subscript, plus, i, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, 0
start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, v, equals, 0

Resolver el circuito

La ecuación anterior es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (EDO), y tenemos las habilidades matemáticas para resolverla.
La solución de una ecuación diferencial es alguna clase de función; en nuestro caso, una función del voltaje con respecto al tiempo, v, left parenthesis, t, right parenthesis. La función v, left parenthesis, t, right parenthesis es una solución si satisface la ecuación diferencial.
start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, v, equals, 0
(Ecuación diferencial)
¿De dónde vienen las soluciones de una EDO? Una manera es hacer una suposición educada.
Mientras contemplas la ecuación diferencial, consulta tu papelera de reciclaje mental de conocimiento sobre funciones.
Los dos términos en la ecuación tienen que sumar cero. Esto sugiere que la primera derivada de la función necesita tener la misma forma que la función misma. Busca en tu memoria una función cuya primera derivada se vea como ella misma. Mmmh...
Una función que encaja en la descripción es alguna forma de la exponencial, e, start superscript, x, end superscript, ya que la derivada de una exponencial es otra exponencial.
start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, e, start superscript, alpha, t, end superscript, equals, alpha, e, start superscript, alpha, t, end superscript
Para resolver nuestra ecuación diferencial, vamos a hacer una proposición audaz para la forma de la solución (esta parte requiere valor). Luego sustituiremos nuestra solución en la ecuación y determinaremos algunas constantes específicas del circuito (esta parte requiere matemáticas). Si encontramos constantes que satisfagan la ecuación, entonces la función propuesta es una solución de la ecuación y habremos triunfado.
Nuestra solución propuesta es una función exponencial decorada con dos parámetros ajustables, K y s.
v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript
  • t es el tiempo.
  • v, left parenthesis, t, right parenthesis es el voltaje como función del tiempo.
  • K y s son constantes que tenemos que determinar.
    • K es un factor de amplitud que hace mayor o menor el voltaje.
    • s es el exponente, y debe tener unidades que cancelen el tiempo; por lo tanto, s tiene unidades de 1, slash, t.
Verifiquemos si nuestra solución propuesta funciona...
Sustituye v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript en la ecuación diferencial:
start text, C, end text, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, 0
Calcula la derivada en el primer término
start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, s, start text, K, end text, e, start superscript, s, t, end superscript
Sustituye s, start text, K, end text, e, start superscript, s, t, end superscript en la ecuación diferencial:
s, start text, C, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0
Ahora puedes factorizar el término K, e, start superscript, s, t, end superscript:
left parenthesis, s, start text, C, end text, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, right parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0
Esta ecuación representa nuestro circuito específico, con la solución propuesta. Ya casi terminamos. Ahora debemos determinar las constantes y ver si la ecuación se satisface.
¿De cuántas maneras podemos hacer el lado izquierdo igual a cero? Tres maneras: cualquiera de los tres términos podría ser cero, K o e, start superscript, s, t, end superscript o left parenthesis, s, start text, C, end text, plus, 1, slash, start text, R, end text, right parenthesis.
Una solución trivial es K, equals, 0. Esto es equivalente a poner la carga inicial del capacitor igual a 0; el circuito solo está ahí sin hacer nada. Qué aburrido.
Otra solución trivial es hacer e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0. Iguala s a cualquier número negativo y deja que t tienda a plus, infinity. La exponencial e, start superscript, minus, infinity, end superscript desaparece por completo, lo que significa que esperamos un tiempo infinito para que el capacitor se descargue completamente. De nuevo, no es tan interesante.
Una solución más provocadora surge de la tercera opción:
s, start text, C, end text, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, equals, 0
Esta ecuación es verdadera si:
s, equals, minus, start fraction, 1, divided by, start text, R, C, end text, end fraction
Hasta ahora, nuestra solución propuesta se ve como:
v(t)=Ke−t/RC
Casi terminamos. Solo nos falta determinar el valor de K. Examina las condiciones iniciales del circuito. Recuerda que el capacitor inicialmente está cargado a un voltaje start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript. Si llamamos a ese momento t, equals, 0, entonces
v(0)=V0=Ke−0RC
Por lo que K, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript.
Encontramos s y K tales que la ecuación diferencial se satisface. Hemos terminado. Redoble de tambor, por favor...
La solución general para la respuesta natural de un circuito start text, R, C, end text es,
v(t)=V0e−t/RC

La constante de tiempo

Una exponencial no puede tener unidades. Esto significa que, para cancelar las unidades de t en el numerador, el producto start text, R, C, end text en e, start superscript, minus, t, slash, start text, R, C, end text, end superscript debe tener unidades de tiempo. Por lo tanto, start text, o, h, m, s, end text, dot, start text, f, a, r, a, d, s, space, =, space, s, e, g, u, n, d, o, s, end text, resultado que tal vez no esperabas.
Al producto de start text, R, end text con start text, C, end text lo llamamos la constante de tiempo del circuito , y usualmente la denotamos con la letra griega tau (tau).
tau, equals, start text, R, C, end text
Entonces, escribimos la solución como:
v(t)=V0e−t/τ
Cuando t es igual a la constante de tiempo, el exponente de e se vuelve minus, 1, y el término exponencial es igual a 1, slash, e, o aproximadamente 0, point, 37. La constante de tiempo determina qué tan rápido tiende a cero la exponencial. Después de que 1 constante de tiempo ha pasado, el voltaje ha disminuido hasta el 37, percent de su valor inicial.

Ejemplo 1

Para la respuesta natural del circuito,
sean start text, R, end text, equals, 3, start text, k, end text, \Omega, start text, C, end text, equals, 1, mu, start text, F, end text y start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, 1, point, 4, start text, V, end text.
a. Escribe la expresión para v, left parenthesis, t, right parenthesis.
b. ¿Cuánto vale v, left parenthesis, t, right parenthesis cuando t, equals, start text, R, C, end text ?
c. Grafica v, left parenthesis, t, right parenthesis.

Solución al ejemplo 1

a. Escribe la expresión para v, left parenthesis, t, right parenthesis.
v(t)=V0e−t/RC
v(t)=1.4e−t3kΩ⋅1μF
v(t)=1.4e−t3×103⋅1×10−6
v(t)=1.4e−t3×10−3
v(t)=1.4e−t3ms
b. ¿Cuánto vale v, left parenthesis, t, right parenthesis cuando t, equals, start text, R, C, end text ?
El producto start text, R, C, end text tiene unidades de segundos.
tau, equals, start text, R, C, end text, equals, 3, times, 10, cubed, dot, 1, times, 10, start superscript, minus, 6, end superscript
tau, equals, 3, times, 10, start superscript, minus, 3, end superscript, equals, 3, start text, m, s, end text
v, left parenthesis, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, equals, 1, point, 4, e, start superscript, minus, start fraction, 3, start text, m, s, end text, divided by, 3, start text, m, s, end text, end fraction, end superscript
v, left parenthesis, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, equals, 1, point, 4, e, start superscript, minus, 1, end superscript
v, left parenthesis, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, equals, 1, point, 4, dot, 0, point, 3679
v, left parenthesis, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, equals, 0, point, 515, start text, v, o, l, t, s, end text (Encerrado en un círculo en la siguiente gráfica).
c. Grafica v, left parenthesis, t, right parenthesis.
El start color #ff8482, start text, c, ı, with, \', on top, r, c, u, l, o, end text, end color #ff8482 muestra la respuesta de la parte b: v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, point, 515, start text, V, end text cuando t, equals, start text, R, C, end text, equals, 3, start text, m, s, end text.

Una regla general útil:

Cuando el tiempo es igual a la constante de tiempo, start text, R, C, end text, el voltaje ha disminuido en un factor de 1, slash, e de su valor inicial, o a alrededor del 37, percent. Esto es verdad para cualquier voltaje inicial y para cualquier producto start text, R, C, end text.

Ejemplo 2

Sean start text, R, end text, equals, 1, start text, k, end text, \Omega, start text, C, end text, equals, 1, start text, p, F, end text y start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, 1, point, 0, start text, V, end text.
a. Escribe la expresión para v(t).
b. ¿Cuánto vale la constante de tiempo?
c. Grafica v, left parenthesis, t, right parenthesis.
d. ¿Cuántas constantes de tiempo requiere el circuito para que el voltaje disminuya un 95, percent de su valor inicial?

Solución al ejemplo 2

a. Escribe la expresión para v(t).
v(t)=V0e−t/RC
v(t)=1.0e−t1kΩ⋅1pF
v(t)=1.0e−t1×10−9
v(t)=1.0e−t1ns
b. ¿Cuál es la constante de tiempo?
tau, equals, start text, R, C, end text, equals, 1, start text, k, end text, \Omega, dot, 1, start text, p, F, end text
tau, equals, 1, times, 10, start superscript, plus, 3, end superscript, dot, 1, times, 10, start superscript, minus, 12, end superscript
tau, equals, 1, times, 10, start superscript, minus, 9, end superscript, equals, 1, start text, n, s, end text
c. Grafica v, left parenthesis, t, right parenthesis.
El start color #ff8482, start text, c, ı, with, \', on top, r, c, u, l, o, end text, end color #ff8482 muestra la respuesta de la parte d.
d. ¿Cuántas constantes de tiempo requiere el circuito para que el voltaje disminuya un 95, percent de su valor inicial?
Al leer la gráfica anterior, vemos que el voltaje cae a left parenthesis, 1, minus, 0, point, 95, right parenthesis, dot, 1, start text, V, end text, equals, 0, point, 05 volts alrededor de los 3 ns, lo cual corresponde a 3 constantes de tiempo. Este punto está indicado con el start color #ff8482, start text, c, ı, with, \', on top, r, c, u, l, o, end text, end color #ff8482.

Otra regla general

Cualquier estado transitorio start text, R, C, end text termina alrededor de 3 constantes de tiempo después. Esto es verdad para cualquier voltaje inicial y para cualquier producto start text, R, C, end text.

Resumen

La respuesta natural de un circuito start text, R, C, end text es una exponencial:
v(t)=V0e−t/RC
Donde start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript es el voltaje al tiempo t, equals, 0.
La constante de tiempo para un circuito start text, R, C, end text es tau, equals, start text, R, C, end text, point

Epílogo

La función e, start superscript, x, end superscript

La función e, start superscript, x, end superscript crece (x, is greater than, 0) o decrece (x, is less than, 0) a alguna razón que depende de x. Hay bastantes funciones con esta forma general. Cualquier curva que se vea como y, start superscript, x, end superscript tiene la misma forma. Si podemos obtener la misma forma con diferentes valores de y, como 2, start superscript, x, end superscript o 10, start superscript, x, end superscript, ¿por qué es tan importante el número irracional e? La razón por la que amamos e más que cualquier otra opción es que e es el único número para el cual la derivada de y, start superscript, x, end superscript es igual a la función. Es decir, la pendiente de e, start superscript, x, end superscript en cualquier punto x es igual al valor de e, start superscript, x, end superscript.
start fraction, empty space, start text, d, end text, e, start superscript, x, end superscript, divided by, empty space, start text, d, end text, x, empty space, end fraction, equals, e, start superscript, x, end superscript
Sin batidillo, sin alharaca, exactamente la misma cosa.

Las exponenciales ocurren en la naturaleza

El problema que acabamos de resolver, la respuesta natural de un circuito RC, es representativo de fenómenos que ocurren frecuentemente en la naturaleza. La función exponencial es un muy buen modelo matemático para describir cómo crecen o decrecen las cosas: el decaimiento del uranio, el crecimiento poblacional, los pagos de hipoteca, el calentamiento y el enfriamiento, y muchos otros procesos reales. En los más amplios términos: las exponenciales surgen en situaciones donde la cantidad de cambio es proporcional a la cantidad de cosas. Para nuestro circuito RC, la razón de cambio del voltaje es proporcional al voltaje. La curva es pronunciada cuando el voltaje es alto, y se va aplanando conforme el voltaje cae.

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    Publicado hace hace 8 meses. Enlace directo a la publicación “Considere una situación e...” de Natalia Torres
    Considere una situación en la que se establece un circuito RC, con R = 1000 Ω y C = 150pF (pico Faradios). Si la carga total suministrada por la fuente de voltaje es Q0 y dado que la constante de tiempo τ = RC determina el tiempo en que el capacitor que compone el circuito se carga aproximadamente a un 63% de Q0. ¿Cuánto tiempo, en términos de τ , debe transcurrir para que el capacitor se cargue un 100% de Q0?
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