If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada

La respuesta natural de un circuito RC

La respuesta natural de un circuito RC. El producto de R por C se llama la constante de tiempo. Escrito por Willy McAllister.
El circuito resistor-capacitor (RC) es uno de los primeros circuitos interesantes que podemos construir y analizar. Comprender el comportamiento de este circuito es esencial para aprender electrónica. Podemos encontrar formas de este circuito en todas partes. A veces, construirás este circuito a propósito; otras, el circuito aparecerá por su cuenta.
Este es uno de los primeros circuitos que encontramos donde tenemos que tomar en cuenta el tiempo. Para desarrollar una comprensión precisa necesitamos herramientas de cálculo. Para describir el circuito RC, usamos derivadas.
Queremos entender la respuesta natural de este circuito.
Esquema 1.

Qué vamos a construir

Para un circuito resistor-capacitor, donde el capacitor tiene un voltaje individual V0, el voltaje disminuirá exponencialmente de acuerdo a la ecuación:
v(t)=V0et/RC
Donde V0 es el voltaje al tiempo t=0. A esta se le llama la respuesta natural.
La constante de tiempo para un circuito RC es τ=RC.

El circuito que estudiaremos es un resistor en serie con un capacitor. Si le aplicamos un voltaje, ¿cómo responde este circuito?
Esquema 1.

Primero, usa la intuición para predecir lo que sucede

El circuito que exploramos en esta sección es:
Esquema 2.
Queremos saber qué pasa con vC, el voltaje del capacitor, cuando encendemos y apagamos el interruptor.
Analizaremos las siguientes preguntas una a la vez:
¿Cuánto vale vC, el voltaje a través del capacitor...
  • ...antes de subir el interruptor?
  • ...después subir el interruptor?
  • ...después de bajar el interruptor?

Antes subir el interruptor

Comenzamos nuestro análisis al determinar el estado inicial del circuito, antes de que algo cambie. Con el interruptor hacia abajo, podemos dibujar el siguiente circuito equivalente, donde ve es igual a 0 volts y el lado izquierdo de R está conectado a la parte inferior de C.
Esquema 3.
Supongamos por el momento que el circuito lleva mucho tiempo en este estado, de tal manera que cualquier carga almacenada en el capacitor ya se haya drenado a través del resistor; así, qC=0. De este hecho, sabemos que el voltaje a través del capacitor debe ser de 0 volts, pues vC=q/C=0/C=0.
Como a través del capacitor hay 0 volts, tampoco hay voltaje a través del resistor, por lo que la corriente que fluye por R (y la corriente que fluye por el capacitor) debe ser igual a 0 amperes. Decimos que el circuito está en estado estacionario, en reposo o en equilibrio. Hemos respondido la primera pregunta, "¿Cuál es el voltaje a través de C antes subir el interruptor?".

Después de subir el interruptor

Ahora subimos el interruptor. El voltaje ve se vuelve VBAT, y algo está por cambiar.
Esquema 4.
La corriente comienza a fluir por la terminal positiva de la batería y a través de R y C, y en el capacitor se acumula carga. Esta acumulación de carga genera un voltaje a través del capacitor (vC=q/C) que crece. Llamamos "periodo de transición" al periodo de tiempo durante el cual el voltaje vC cambia.
¿Qué impide que vC crezca por siempre? La carga se acumula en el capacitor hasta que vC crece al mismo valor del voltaje de la batería: vC=VBAT. En este punto, el voltaje a través del resistor es de 0 volts, por lo que la corriente en el resistor deja de fluir (ley de Ohm). Esto también significa que la corriente (carga) deja de fluir a través del capacitor. La cantidad de carga en el capacitor deja de cambiar y por lo tanto el voltaje del capacitor se vuelve constante: vc=VBAT. El periodo de transición ha concluido.
Hemos respondido la segunda pregunta, "¿Cuál es el voltaje a través de C después de subir el interruptor?". Después del periodo de transición, el circuito alcanza un nuevo estado estacionario, con vC=VBAT, y permanece en él hasta que algo perturba su dicha.

Después de bajar el interruptor

Ahora colocamos el interruptor en su posición original, en la terminal negativa de la batería (ve=0). ¿Qué ocurre a continuación?
Esquema 3.
Este es el mismo circuito con el que empezamos, pero esta vez C está almacenando algo de carga, por lo que hay un voltaje inicial a través de él. Por esta razón, hay una diferencia de potencial entre las terminales de R. En el momento en que bajamos el interruptor, el voltaje es vC=VBAT; por lo tanto, una corriente debe comenzar a fluir a través de R (así lo establece la ley de Ohm). La carga almacenada en C es la que proporciona esta corriente, y continuará haciéndolo hasta que se agote, dejando C descargado. Eventualmente, vC cae a cero volts, y la diferencia de potencial a través de R también cae a cero. El circuito ha regresado a su estado de equilibrio original. Finalmente, hemos respondido la tercera pregunta, "¿Cuál es el voltaje a través de C después de bajar el interruptor?".

Resumen

Con tan solo nuestra intuición, dedujimos que el voltaje del capacitor, vC, comienza en 0 volts, aumenta a VBAT y luego regresa a 0 volts. Dicho de otro modo, vC va de un estado estacionario a un segundo estado transitorio y regresa a su estado original. Además, conocemos exactamente el valor de los voltajes inicial y final de cada estado transitorio. No está mal, pero... ¿qué es lo que no sabemos? No sabemos qué tanto duran los estados transitorios o su forma. Es tiempo de hacer un poco de cálculo para obtener una solución precisa y útil.

Deducción formal de la respuesta natural de un circuito RC

El circuito consiste solo un resistor R y un capacitor C conectados. Por "encontrar la respuesta" nos referimos a encontrar v e i como funciones del tiempo.
Para hacer que el circuito haga algo (además de estar ahí), colocamos una carga inicial en el capacitor. Esto se hace por un circuito externo no mostrado. Después de agregar esta energía dejamos que el circuito se comporte de manera natural. Imagina que el capacitor estuviera cargado con un voltaje inicial, V0, proveniente de un circuito externo, el cual se acaba de desconectar.
El resultado que estamos por obtener se llama la respuesta natural de un circuito RC. La respuesta natural es lo que hace el circuito cuando tiene una condición inicial, pero nada más actúa sobre él.

Modelar los componentes

Podemos describir los componentes R y C del circuito con sus ecuaciones de voltaje-corriente características.
Para el resistor, escogemos una forma de la ley de Ohm:
iR=vR
La relación voltaje-corriente correspondiente para el capacitor es:
iC=Cdvdt

Modelar el circuito

Podemos escribir una ecuación por medio de la ley de la corriente de Kirchhoff para las dos corrientes que fluyen hacia afuera del nodo superior.
iC+iR=0
Cdvdt+1Rv=0

Resolver el circuito

La ecuación anterior es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (EDO), y tenemos las habilidades matemáticas para resolverla.
La solución de una ecuación diferencial es alguna clase de función; en nuestro caso, una función del voltaje con respecto al tiempo, v(t). La función v(t) es una solución si satisface la ecuación diferencial.
Cdvdt+1Rv=0
(Ecuación diferencial)
¿De dónde vienen las soluciones de una EDO? Una manera es hacer una suposición educada.
Mientras contemplas la ecuación diferencial, consulta tu papelera de reciclaje mental de conocimiento sobre funciones.
Los dos términos en la ecuación tienen que sumar cero. Esto sugiere que la primera derivada de la función necesita tener la misma forma que la función misma. Busca en tu memoria una función cuya primera derivada se vea como ella misma. Mmmh...
Una función que encaja en la descripción es alguna forma de la exponencial, ex, ya que la derivada de una exponencial es otra exponencial.
ddteαt=αeαt
Para resolver nuestra ecuación diferencial, vamos a hacer una proposición audaz para la forma de la solución (esta parte requiere valor). Luego sustituiremos nuestra solución en la ecuación y determinaremos algunas constantes específicas del circuito (esta parte requiere matemáticas). Si encontramos constantes que satisfagan la ecuación, entonces la función propuesta es una solución de la ecuación y habremos triunfado.
Nuestra solución propuesta es una función exponencial decorada con dos parámetros ajustables, K y s.
v(t)=Kest
  • t es el tiempo.
  • v(t) es el voltaje como función del tiempo.
  • K y s son constantes que tenemos que determinar.
    • K es un factor de amplitud que hace mayor o menor el voltaje.
    • s es el exponente, y debe tener unidades que cancelen el tiempo; por lo tanto, s tiene unidades de 1/t.
Verifiquemos si nuestra solución propuesta funciona...
Sustituye v(t)=Kest en la ecuación diferencial:
Cddt(Kest)+1R(Kest)=0
Calcula la derivada en el primer término
ddt(Kest)=sKest
Sustituye sKest en la ecuación diferencial:
sCKest+1RKest=0
Ahora puedes factorizar el término Kest:
(sC+1R)Kest=0
Esta ecuación representa nuestro circuito específico, con la solución propuesta. Ya casi terminamos. Ahora debemos determinar las constantes y ver si la ecuación se satisface.
¿De cuántas maneras podemos hacer el lado izquierdo igual a cero? Tres maneras: cualquiera de los tres términos podría ser cero, K o est o (sC+1/R).
Una solución trivial es K=0. Esto es equivalente a poner la carga inicial del capacitor igual a 0; el circuito solo está ahí sin hacer nada. Qué aburrido.
Otra solución trivial es hacer est=0. Iguala s a cualquier número negativo y deja que t tienda a +. La exponencial e desaparece por completo, lo que significa que esperamos un tiempo infinito para que el capacitor se descargue completamente. De nuevo, no es tan interesante.
Una solución más provocadora surge de la tercera opción:
sC+1R=0
Esta ecuación es verdadera si:
s=1RC
Hasta ahora, nuestra solución propuesta se ve como:
v(t)=Ket/RC
Casi terminamos. Solo nos falta determinar el valor de K. Examina las condiciones iniciales del circuito. Recuerda que el capacitor inicialmente está cargado a un voltaje V0. Si llamamos a ese momento t=0, entonces
v(0)=V0=Ke0RC
Por lo que K=V0.
Encontramos s y K tales que la ecuación diferencial se satisface. Hemos terminado. Redoble de tambor, por favor...
La solución general para la respuesta natural de un circuito RC es,
v(t)=V0et/RC

La constante de tiempo

Una exponencial no puede tener unidades. Esto significa que, para cancelar las unidades de t en el numerador, el producto RC en et/RC debe tener unidades de tiempo. Por lo tanto, ohmsfarads = segundos, resultado que tal vez no esperabas.
Al producto de R con C lo llamamos la constante de tiempo del circuito , y usualmente la denotamos con la letra griega τ (tau).
τ=RC
Entonces, escribimos la solución como:
v(t)=V0et/τ
Cuando t es igual a la constante de tiempo, el exponente de e se vuelve 1, y el término exponencial es igual a 1/e, o aproximadamente 0.37. La constante de tiempo determina qué tan rápido tiende a cero la exponencial. Después de que 1 constante de tiempo ha pasado, el voltaje ha disminuido hasta el 37% de su valor inicial.

Ejemplo 1

Para la respuesta natural del circuito,
sean R=3kΩ, C=1μF y V0=1.4V.
a. Escribe la expresión para v(t).
b. ¿Cuánto vale v(t) cuando t=RC ?
c. Grafica v(t).

Solución al ejemplo 1

a. Escribe la expresión para v(t).
v(t)=V0et/RC
v(t)=1.4et3kΩ1μF
v(t)=1.4et3×1031×106
v(t)=1.4et3×103
v(t)=1.4et3ms
b. ¿Cuánto vale v(t) cuando t=RC ?
El producto RC tiene unidades de segundos.
τ=RC=3×1031×106
τ=3×103=3ms
v(3ms)=1.4e3ms3ms
v(3ms)=1.4e1
v(3ms)=1.40.3679
v(3ms)=0.515volts (Encerrado en un círculo en la siguiente gráfica).
c. Grafica v(t).
El círculo muestra la respuesta de la parte b: v(t)=0.515V cuando t=RC=3ms.

Una regla general útil:

Cuando el tiempo es igual a la constante de tiempo, RC, el voltaje ha disminuido en un factor de 1/e de su valor inicial, o a alrededor del 37%. Esto es verdad para cualquier voltaje inicial y para cualquier producto RC.

Ejemplo 2

Sean R=1kΩ, C=1pF y V0=1.0V.
a. Escribe la expresión para v(t).
b. ¿Cuánto vale la constante de tiempo?
c. Grafica v(t).
d. ¿Cuántas constantes de tiempo requiere el circuito para que el voltaje disminuya un 95% de su valor inicial?

Solución al ejemplo 2

a. Escribe la expresión para v(t).
v(t)=V0et/RC
v(t)=1.0et1kΩ1pF
v(t)=1.0et1×109
v(t)=1.0et1ns
b. ¿Cuál es la constante de tiempo?
τ=RC=1kΩ1pF
τ=1×10+31×1012
τ=1×109=1ns
c. Grafica v(t).
El círculo muestra la respuesta de la parte d.
d. ¿Cuántas constantes de tiempo requiere el circuito para que el voltaje disminuya un 95% de su valor inicial?
Al leer la gráfica anterior, vemos que el voltaje cae a (10.95)1V=0.05 volts alrededor de los 3 ns, lo cual corresponde a 3 constantes de tiempo. Este punto está indicado con el círculo.

Otra regla general

Cualquier estado transitorio RC termina alrededor de 3 constantes de tiempo después. Esto es verdad para cualquier voltaje inicial y para cualquier producto RC.

Resumen

La respuesta natural de un circuito RC es una exponencial:
v(t)=V0et/RC
Donde V0 es el voltaje al tiempo t=0.
La constante de tiempo para un circuito RC es τ=RC.

Epílogo

La función ex

La función ex crece (x>0) o decrece (x<0) a alguna razón que depende de x. Hay bastantes funciones con esta forma general. Cualquier curva que se vea como yx tiene la misma forma. Si podemos obtener la misma forma con diferentes valores de y, como 2x o 10x, ¿por qué es tan importante el número irracional e? La razón por la que amamos e más que cualquier otra opción es que e es el único número para el cual la derivada de yx es igual a la función. Es decir, la pendiente de ex en cualquier punto x es igual al valor de ex.
xdexxdxx=ex
Sin batidillo, sin alharaca, exactamente la misma cosa.

Las exponenciales ocurren en la naturaleza

El problema que acabamos de resolver, la respuesta natural de un circuito RC, es representativo de fenómenos que ocurren frecuentemente en la naturaleza. La función exponencial es un muy buen modelo matemático para describir cómo crecen o decrecen las cosas: el decaimiento del uranio, el crecimiento poblacional, los pagos de hipoteca, el calentamiento y el enfriamiento, y muchos otros procesos reales. En los más amplios términos: las exponenciales surgen en situaciones donde la cantidad de cambio es proporcional a la cantidad de cosas. Para nuestro circuito RC, la razón de cambio del voltaje es proporcional al voltaje. La curva es pronunciada cuando el voltaje es alto, y se va aplanando conforme el voltaje cae.

¿Quieres unirte a la conversación?

  • Avatar blobby green style para el usuario Natalia Torres
    Considere una situación en la que se establece un circuito RC, con R = 1000 Ω y C = 150pF (pico Faradios). Si la carga total suministrada por la fuente de voltaje es Q0 y dado que la constante de tiempo τ = RC determina el tiempo en que el capacitor que compone el circuito se carga aproximadamente a un 63% de Q0. ¿Cuánto tiempo, en términos de τ , debe transcurrir para que el capacitor se cargue un 100% de Q0?
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar para el usuario
¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.