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Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada

La respuesta natural de un circuito RL

Respuesta natural de un circuito RL. Escrito por Willy McAllister.

Investigamos la respuesta natural de un circuito que consiste de un resistor y un inductor. Esta discusión es paralela al análisis de la respuesta de un circuito RC.

Este circuito

RL

es muy común. Aparece siempre que hay un alambre enrollado en un circuito, como cuando obligas a un relé mecánico a provocar un movimiento físico (un relé contiene una bobina que se utiliza como electroimán). Encontramos inductores en casi todas las fuentes de poder y en muchos filtros. Todos los cables y los trazados de las tarjetas de circuitos tienen una pequeña autoinductancia, que puede ser importante en circuitos muy veloces.

Este es un circuito en el que tenemos que tomar en cuenta el tiempo. Para desarrollar una comprensión precisa, requerimos conceptos del cálculo, pues necesitamos derivadas para describir el comportamiento de un circuito

RL

Qué vamos a construir

Para un circuito resistor-inductor, si el inductor tiene una corriente inicial,

I_{0}

, esta disminuirá exponencialmente de acuerdo a la ecuación:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

Donde

I_{0}

es la corriente al tiempo

t = 0

. A esta la llamamos respuesta natural del circuito.

La constante de tiempo para un circuito

RL

τ = \frac{L}{R}

La constante de tiempo es una medida de qué tan abrupta es la exponencial. Tiene unidades de segundos.

La respuesta natural de un circuito es lo que hace el circuito cuando no está bajo influencias externas (no entra energía). Es el comportamiento más básico del circuito. Cuando lo colocamos en un circuito más grande, la respuesta natural juega un papel fundamental en el comportamiento general.

Establecer la respuesta natural del circuito RL

Para lograr que el circuito

RL

haga algo, necesitamos que un ayudante externo le añada algo de energía y luego se retire y lo deje en paz mientras observamos qué ocurre.

En el lado derecho del esquema tenemos un inductor

L

y un resistor

R

. Este es el circuito que queremos estudiar. En el lado izquierdo está nuestro "ayudante externo", que consiste en una fuente de corriente,

I

, un resistor,

R 0

, y un interruptor en posición cerrada.

Si suponemos que el interruptor ha estado cerrado un largo tiempo, el trayecto cerrado azul nos muestra cómo fluye la corriente en este circuito:

¿Cómo sabemos que toda la corriente fluye por el inductor y no por los resistores? La ecuación del inductor nos lo garantiza:

v = L \frac{d i}{d t}

La corriente que proviene de la fuente es constante, es decir, no cambia con el tiempo.

Esto significa que el cambio de la corriente con respecto al tiempo es

\frac{d i}{d t} = 0

Si sustituimos este valor en la ecuación del inductor, obtenemos

v = L \cdot 0 = 0

. El voltaje que pasa a través del inductor (y por lo tanto, de ambos resistores) es

0

. La ley de Ohm nos garantiza que la corriente de un resistor con

0

volts es igual a

0

Cuando la corriente que fluye por un inductor es constante, decimos que el inductor "se ve como" un cortocircuito, pues entre sus terminales hay

0

volts, justo como un cable ideal.

Condiciones iniciales

Ahora que hay una corriente que fluye a través de nuestro inductor, abrimos el interruptor al tiempo

t = 0

y determinamos las condiciones iniciales.

El interruptor abierto desconecta el circuito auxiliar

(I, R 0)

de la sección

RL

. Del lado del circuito auxiliar, la corriente

I

comienza a fluir por

R 0

(el circuito auxiliar ha hecho su trabajo y ya no le prestaremos atención). Del lado del circuito

RL

, la corriente que fluye por

L

inmediatamente dobla y comienza a fluir por

R

Resumen de las condiciones iniciales

En el instante previo a que abra el interruptor,

t = 0^{-}

, el inductor tiene una corriente que llamaremos

I_{0}

, y hay

0

volts a través de sus terminales y las del resistor.

Un momento después, en

t = 0^{+}

, abrimos el interruptor; la corriente

I_{0}

aún fluye por

L

y ahora comienza a fluir por

R

La corriente en el inductor no cambia instantáneamente (de hecho, le es imposible). Así, la corriente que fluye en el inductor justo después de que abrimos el interruptor es igual a la corriente que fluía cuando estaba cerrado.

La corriente en un inductor provoca que el campo magnético circundante almacene energía. Esa energía no puede desaparecer o ir a otro lado en cero segundos. La energía gradualmente regresa al circuito al sostener la corriente del inductor hasta que se agota.

Observamos este comportamiento en la ecuación del inductor:

v = L \frac{d i}{d t}

Si la corriente cambia instantáneamente, esto significa que hay un cambio finito en

i

en un intervalo cero de tiempo, por lo que la derivada de la corriente,

d i / d t

, es infinita, y por lo tanto el voltaje a través del inductor es infinito. En la realidad no existen voltajes infinitos.

Una analogía mecánica: el campo magnético almacenado en el inductor es análogo al momento almacenado en una masa. Si tratas de detener una masa en movimiento, su momento no se disipa instantáneamente. La masa no se detiene en un instante. Decimos: "el momento tiende a sostener la velocidad de la masa". En esta analogía, el voltaje corresponde a la fuerza que empuja la masa, y la corriente corresponde a la velocidad de la masa.

La corriente en el inductor es

I_{0}

para todo el tiempo anterior a

t = 0^{+}

Respuesta natural del circuito RL - descripción intuitiva

Razonemos lo que ocurre después. Queremos determinar

i

v

como funciones del tiempo.

Dijimos anteriormente que

I_{0}

fluye por el inductor justo después de abrirlo. ¿Qué le ocurre al voltaje?

La corriente en el resistor acaba de brincar de

0

I_{0}

, por lo que el voltaje cambia instantáneamente a

v (0^{+}) = I_{0} R

Un inductor no tiene problemas con que el voltaje cambie instantáneamente. Si el voltaje salta de

1

10

, la ecuación predice que la pendiente de la corriente se incrementará en un factor de

10 \times

. Esto de hecho pasa en circuitos inductores reales.

En la analogía mecánica, cambiar el voltaje a través de un inductor es análogo a cambiar la fuerza sobre una masa. Nada te impide cambiar la fuerza.

Ahora conocemos tanto la corriente como el voltaje justo después de que abre el interruptor. A continuación, pensemos en el estado final del circuito después de que ha transcurrido un gran periodo de tiempo.

Un resistor (a diferencia de un inductor ideal o de un capacitor ideal), disipa energía en forma de calor. Ese calor surge de la energía almacenada en el campo magnético del inductor (la única fuente de energía en nuestro circuito de respuesta natural). Si esperamos un largo tiempo, el resistor eventualmente transformará en calor toda la energía que comenzó en el inductor. Cuando se haya agotado,

i

será

0

v

también será

0

. Este es el estado final de nuestro circuito.

Una vez que la respuesta final se ha establecido,

i (t)

v (t)

se ven así:

¿Qué ocurre entretanto?

Ahora determinamos qué ocurre en el intervalo de tiempo entre

t (0^{+})

y "mucho tiempo después". Por ahora, voy a suponer que hay una curva suave que conecta los dos segmentos de la curva; también, que al comienzo la razón de cambio es máxima, cuando la corriente es alta, y que hay una mayor tasa de disipación de potencia en el resistor. Usando esta intuición, puedo graficar las curvas esperadas para la corriente y el voltaje.

Estas resultan ser muy buenas conjeturas para la respuesta natural de un circuito

RL

. Con tan solo nuestra intuición, determinamos el estado inicial y el estado final, e hicimos un estimado de cómo se ven las curvas de corriente y voltaje durante la transición entre ambos. No estamos exactamente seguros de qué tan rápido caen las curvas, o realmente cuánto tiempo es "mucho tiempo después".

A continuación, desarrollamos una solución precisa, para la cual requerimos algo de cálculo.

Deducción formal de la respuesta natural de un circuito $RL$ ‍

Queremos deducir la respuesta natural de un circuito

RL

, es decir,

i

v

como funciones del tiempo. Para lograrlo, procederemos igual que lo hicimos para la respuesta natural del circuito RC.

Suponemos que una corriente inicial

I_{0}

fluye por

L

Modelar los componentes

Modelamos los dos componentes con sus ecuaciones

i

v

características.

Para describir el resistor, usamos la ley de Ohm:

v_{R} = i R

Para describir el inductor, usamos su ecuación

i

v

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

Modelar el circuito

Podemos escribir la ley de voltaje de Kirchhoff comenzando en la esquina superior izquierda del esquema y recorriéndolo en el sentido opuesto a las manecillas del reloj:

v_{L} + v_{R} = 0

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

Esta es la ecuación diferencial que modela el circuito.

De aquí en adelante, nos referiremos a

v_{R}

simplemente como

v

Resolver el circuito

La ecuación anterior es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (EDO).

Ahora vamos a mostrar paso a paso cómo resolver una EDO. Una forma es proponer una solución razonable y probarla. Esto es lo que vamos a hacer aquí, como lo hicimos para el análisis de la respuesta natural del circuito RC.

Esta EDO es una ecuación diferencial separable. Incluimos un método para resolver ecuaciones como apéndice al final de este artículo. Con este método, no hay necesidad de adivinar.

Tenemos una serie de videos sobre ecuaciones diferenciales separables, donde estudiamos a fondo este método de solución. También hablamos sobre proponer soluciones cuando resolvemos ecuaciones diferenciales de segundo orden. Las ecuaciones de segundo orden aparecerán cuando estudiemos circuitos

RLC

Para resolver la ecuación, soñamos con una función para la corriente,

i (t)

, y la sustituimos en la ecuación diferencial para ver si es correcta.

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

(Ecuación diferencial).

Justo como lo hicimos con el circuito

RC

, intentamos con una función exponencial con parámetros ajustables,

K

s

i (t) = K e^{s t}

$t$ ‍ es el tiempo.
$i (t)$ ‍ es la corriente como función del tiempo.
$K$ ‍ y $s$ ‍ son constantes que debemos determinar.
$K$ ‍ es un termino de amplitud que escala la corriente hacia arriba o hacia abajo.
$s$ ‍ debe tener unidades de $1 / t$ ‍, de tal manera que tengamos un exponente adimensional.

Sustituyamos nuestra propuesta de solución en la ecuación diferencial y veamos si funciona:

L \frac{d}{d t} (K e^{s t}) + R (K e^{s t}) = 0

Calculemos la derivada en el primer término:

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

Sustituyamos la derivada en la ecuación diferencial:

s L K e^{s t} + R K e^{s t} = 0

Ahora podemos factorizar el término común

K e^{s t}

(s L + R) K e^{s t} = 0

Esta ecuación describe nuestro circuito con la solución propuesta

i (t)

Ahora determinamos las dos constantes,

K

s

, para ver si podemos resolver la ecuación.

Podríamos igualar

K = 0

para obtener una solución, pero eso es muy aburrido, no pones nada y no obtienes nada.

Podríamos igualar

e^{s t} = 0

para obtener otra solución, pero esto también es aburrido. Si hacemos

s

un número negativo y dejamos que

t

tienda a

+ \infty

, significa que nos sentamos a esperar por siempre a que la corriente desaparezca. Aburrido.

La tercera forma en que podemos satisfacer la ecuación es tomar

s L + R = 0

, que es más interesante. Esta ecuación se satisface si

s = - \frac{R}{L}

Así, hemos determinado el valor de

s

, y nuestra función de corriente se ve como:

i (t) = K e^{- R t / L}

El último paso es determinar

K

, el factor de amplitud. Para lograrlo, usamos las condiciones iniciales. En el instante en que abrimos el interruptor, sabíamos el valor de la corriente. Para encontrar

K

, sustituimos todo lo que sabemos para

t = 0^{+}

; en ese instante, la corriente era

i (0^{+}) = I_{0}

i (0) = I_{0} = K e^{- R \cdot 0 / L}

I_{0} = K e^{0}

K = I_{0}

¡Todo listo! Encontramos una función y dos constantes que verifican la ecuación. Hemos determinado la corriente para todo el tiempo posterior a la apertura del circuito.

La solución general para la respuesta natural de un circuito

RL

es,

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

Podemos obtener el voltaje por medio de la ley de Ohm:

v (t) = R \cdot i (t)

v (t) = R I_{0} e^{- R t / L}

La respuesta natural del circuito $RL$ ‍ se ve así

Estas gráficas muestran la forma de la respuesta natural del circuito

RL

. Para

t \leq 0

, la corriente es

I_{0}

; después de

t = 0

, la corriente decae de forma exponencial hasta que se vuelve

0

. La razón de cambio (la pendiente) es máxima al principio, cuando la corriente es mayor. El cociente

R / L

determina qué tan pronunciada es la respuesta exponencial.

El voltaje a través del inductor es igual a

0

para

t \leq 0

, y hace un salto pronunciado en

t = 0

, cuando la corriente comienza a cambiar. La magnitud del pico de voltaje depende de la corriente inicial

I_{0}

y el resistor

R

(y, curiosamente, no depende del valor del inductor

L

). El voltaje sigue una curva exponencial, semejante a la de la corriente, hasta que decae a

0

Compara estas gráficas con las que bosquejamos anteriormente. Los bocetos tienen la forma correcta.

Constante de tiempo de una combinación resistor-inductor

Una exponencial tiene que ser un número adimensional, no puede tener unidades. Esto significa que el cociente

R / L

debe tener unidades de

1 / tiempo

, de tal forma que cancele las unidades de

t

. Así,

L / R

tiene unidades de

segundos

Llamamos al cociente

L / R

la constante de tiempo de la combinación resistor-inductor. Tiene las mismas propiedades del producto correspondiente

R \cdot C

del circuito resistor-capacitor. Utilizamos la letra griega

τ

(tau) para denotar esta constante. Para un par resistor-inductor:

τ = \frac{L}{R}

La constante de tiempo para un resistor y un inductor crece conforme lo hace el inductor, y disminuye conforme la resistencia es mayor (en contraste con la constante de tiempo

RC

, que aumenta conforme lo hacen

C

R

Por medio de

τ

, podemos escribir la ecuación de la respuesta natural de la siguiente manera:

i (t) = I_{0} e^{- t / τ}

Cuando

t

es igual a la constante de tiempo, el exponente de

e

- 1

, y el término exponencial es igual a

1 / e

, o alrededor de

0.37

. La constante de tiempo determina qué tan rápido decae la curva exponencial a cero. Después de que ha transcurrido

1

constante de tiempo, la corriente es tan solo el

37 %

de su valor inicial.

Ejemplo de la respuesta natural de un circuito $RL$ ‍

Juntos hagamos un ejemplo. Para este circuito:

Problema 1

¿Cuánto vale $i$ ‍ si el interruptor está cerrado?

i =

mA.

Problema 2

¿Cuánto vale $v$ ‍ si el interruptor está cerrado?

v =

V

Abrimos el circuito al tiempo

t = 0

Problema 3

¿Cuánto vale $i$ ‍ en el inductor el instante posterior a que abrimos el interruptor?

i =

mA.

Problema 4

¿Cuál es el valor de la constante de tiempo, $τ$ ‍ ?

τ =

segundos

Escribe las expresiones para $i (t)$ ‍ y $v (t)$ ‍ después de $t = 0$ ‍.

i (t) =____,

v (t) =____

La respuesta natural para el circuito del ejemplo se ve así:

Resumen

La respuesta natural de un circuito

RL

es una exponencial:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

Donde

I_{0}

es la corriente al tiempo

t = 0

La constante de tiempo para un circuito

RL

τ = \frac{L}{R}

Apéndice - Resolver una ecuación diferencial separable

Como recordatorio, la ecuación diferencial del circuito

LC

es:

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

Aquí están los pasos para resolver esta ecuación diferencial separable. Si has estudiado esta técnica en tus cursos de cálculo, puedes resolver tanto la ecuación diferencial del circuito

RL

como la ecuación diferencial del circuito

RC

sin adivinar una solución.

$\begin{aligned} L \frac{d i}{d t} & = - i R \\ L \frac{d i}{i} & = - R d t \\ \int_{0}^{t} L \frac{d i}{i} & = - \int_{0}^{t} R d t \\ L [\ln i (t) - \ln i (0)] & = - R t \\ L \ln (i (t) / I_{0}) & = - R t \\ \ln (i (t) / I_{0}) & = - R t / L \\ i (t) / I_{0} & = e^{- R t / L} \\ i (t) & = I_{0} e^{- R t / L} \end{aligned}$ ‍

Este es el mismo resultado que obtuvimos en el artículo principal al adivinar una solución.

Aquí hay una serie de videos donde mostramos cómo resolver este tipo de ecuaciones diferenciales separables.

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