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Ingeniería eléctrica

Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada

La respuesta natural de un circuito RL

Respuesta natural de un circuito RL. Escrito por Willy McAllister.

Investigamos la respuesta natural de un circuito que consiste de un resistor y un inductor. Esta discusión es paralela al análisis de la respuesta de un circuito RC.

Este circuito start text, R, L, end text es muy común. Aparece siempre que hay un alambre enrollado en un circuito, como cuando obligas a un relé mecánico a provocar un movimiento físico (un relé contiene una bobina que se utiliza como electroimán). Encontramos inductores en casi todas las fuentes de poder y en muchos filtros. Todos los cables y los trazados de las tarjetas de circuitos tienen una pequeña autoinductancia, que puede ser importante en circuitos muy veloces.

Este es un circuito en el que tenemos que tomar en cuenta el tiempo. Para desarrollar una comprensión precisa, requerimos conceptos del cálculo, pues necesitamos derivadas para describir el comportamiento de un circuito start text, R, L, end text.

Qué vamos a construir

Para un circuito resistor-inductor, si el inductor tiene una corriente inicial, start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript, esta disminuirá exponencialmente de acuerdo a la ecuación:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

Donde start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript es la corriente al tiempo t, equals, 0. A esta la llamamos respuesta natural del circuito.

La constante de tiempo para un circuito start text, R, L, end text es tau, equals, start fraction, start text, L, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction.

La constante de tiempo es una medida de qué tan abrupta es la exponencial. Tiene unidades de segundos.

La respuesta natural de un circuito es lo que hace el circuito cuando no está bajo influencias externas (no entra energía). Es el comportamiento más básico del circuito. Cuando lo colocamos en un circuito más grande, la respuesta natural juega un papel fundamental en el comportamiento general.

[respuestas natural y forzada]

Establecer la respuesta natural del circuito RL

Para lograr que el circuito start text, R, L, end text haga algo, necesitamos que un ayudante externo le añada algo de energía y luego se retire y lo deje en paz mientras observamos qué ocurre.

En el lado derecho del esquema tenemos un inductor start text, L, end text y un resistor start text, R, end text. Este es el circuito que queremos estudiar. En el lado izquierdo está nuestro "ayudante externo", que consiste en una fuente de corriente, start text, I, end text, un resistor, start text, R, end text, 0, y un interruptor en posición cerrada.

Si suponemos que el interruptor ha estado cerrado un largo tiempo, el trayecto cerrado azul nos muestra cómo fluye la corriente en este circuito:

¿Cómo sabemos que toda la corriente fluye por el inductor y no por los resistores? La ecuación del inductor nos lo garantiza:

v, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction

La corriente que proviene de la fuente es constante, es decir, no cambia con el tiempo.

Esto significa que el cambio de la corriente con respecto al tiempo es start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, 0.

Si sustituimos este valor en la ecuación del inductor, obtenemos v, equals, start text, L, end text, dot, 0, equals, 0. El voltaje que pasa a través del inductor (y por lo tanto, de ambos resistores) es 0. La ley de Ohm nos garantiza que la corriente de un resistor con 0 volts es igual a 0.

Cuando la corriente que fluye por un inductor es constante, decimos que el inductor "se ve como" un cortocircuito, pues entre sus terminales hay 0 volts, justo como un cable ideal.

Condiciones iniciales

Ahora que hay una corriente que fluye a través de nuestro inductor, abrimos el interruptor al tiempo t, equals, 0 y determinamos las condiciones iniciales.

El interruptor abierto desconecta el circuito auxiliar left parenthesis, start text, I, end text, comma, start text, R, end text, 0, right parenthesis de la sección start text, R, L, end text. Del lado del circuito auxiliar, la corriente start text, I, end text comienza a fluir por start text, R, end text, 0 (el circuito auxiliar ha hecho su trabajo y ya no le prestaremos atención). Del lado del circuito start text, R, L, end text, la corriente que fluye por start text, L, end text inmediatamente dobla y comienza a fluir por start text, R, end text:

[¿Qué hace R0?]

Resumen de las condiciones iniciales

En el instante previo a que abra el interruptor, t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript, el inductor tiene una corriente que llamaremos start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript, y hay 0 volts a través de sus terminales y las del resistor.

Un momento después, en t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript, abrimos el interruptor; la corriente start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript aún fluye por start text, L, end text y ahora comienza a fluir por start text, R, end text.

La corriente en el inductor no cambia instantáneamente (de hecho, le es imposible). Así, la corriente que fluye en el inductor justo después de que abrimos el interruptor es igual a la corriente que fluía cuando estaba cerrado.

[¿Por qué?]

La corriente en el inductor es start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript para todo el tiempo anterior a t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript:

Respuesta natural del circuito RL - descripción intuitiva

Razonemos lo que ocurre después. Queremos determinar i y v como funciones del tiempo.

Dijimos anteriormente que start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript fluye por el inductor justo después de abrirlo. ¿Qué le ocurre al voltaje?

La corriente en el resistor acaba de brincar de 0 a start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript, por lo que el voltaje cambia instantáneamente a v, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript, start text, R, end text.

[El voltaje puede cambiar en un instante.]

Ahora conocemos tanto la corriente como el voltaje justo después de que abre el interruptor. A continuación, pensemos en el estado final del circuito después de que ha transcurrido un gran periodo de tiempo.

Un resistor (a diferencia de un inductor ideal o de un capacitor ideal), disipa energía en forma de calor. Ese calor surge de la energía almacenada en el campo magnético del inductor (la única fuente de energía en nuestro circuito de respuesta natural). Si esperamos un largo tiempo, el resistor eventualmente transformará en calor toda la energía que comenzó en el inductor. Cuando se haya agotado, i será 0 y v también será 0. Este es el estado final de nuestro circuito.

Una vez que la respuesta final se ha establecido, i, left parenthesis, t, right parenthesis y v, left parenthesis, t, right parenthesis se ven así:

¿Qué ocurre entretanto?

Ahora determinamos qué ocurre en el intervalo de tiempo entre t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis y "mucho tiempo después". Por ahora, voy a suponer que hay una curva suave que conecta los dos segmentos de la curva; también, que al comienzo la razón de cambio es máxima, cuando la corriente es alta, y que hay una mayor tasa de disipación de potencia en el resistor. Usando esta intuición, puedo graficar las curvas esperadas para la corriente y el voltaje.

Estas resultan ser muy buenas conjeturas para la respuesta natural de un circuito start text, R, L, end text. Con tan solo nuestra intuición, determinamos el estado inicial y el estado final, e hicimos un estimado de cómo se ven las curvas de corriente y voltaje durante la transición entre ambos. No estamos exactamente seguros de qué tan rápido caen las curvas, o realmente cuánto tiempo es "mucho tiempo después".

A continuación, desarrollamos una solución precisa, para la cual requerimos algo de cálculo.

Deducción formal de la respuesta natural de un circuito start text, R, L, end text

Queremos deducir la respuesta natural de un circuito start text, R, L, end text, es decir, start color #11accd, i, end color #11accd y start color #e07d10, v, end color #e07d10 como funciones del tiempo. Para lograrlo, procederemos igual que lo hicimos para la respuesta natural del circuito RC.

Suponemos que una corriente inicial start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript fluye por start text, L, end text.

Modelar los componentes

Modelamos los dos componentes con sus ecuaciones i-v características.

Para describir el resistor, usamos la ley de Ohm:

v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, i, start text, R, end text

Para describir el inductor, usamos su ecuación i-v:

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction

[Convención del signo para los componentes pasivos.]

Modelar el circuito

Podemos escribir la ley de voltaje de Kirchhoff comenzando en la esquina superior izquierda del esquema y recorriéndolo en el sentido opuesto a las manecillas del reloj:

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, 0

start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, i, start text, R, end text, equals, 0

Esta es la ecuación diferencial que modela el circuito.

De aquí en adelante, nos referiremos a v, start subscript, start text, R, end text, end subscript simplemente como v.

Resolver el circuito

La ecuación anterior es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (EDO).

[¿Qué significa esta jerga?]

Ahora vamos a mostrar paso a paso cómo resolver una EDO. Una forma es proponer una solución razonable y probarla. Esto es lo que vamos a hacer aquí, como lo hicimos para el análisis de la respuesta natural del circuito RC.

[¿Existen otras formas?]

Para resolver la ecuación, soñamos con una función para la corriente, i, left parenthesis, t, right parenthesis, y la sustituimos en la ecuación diferencial para ver si es correcta.

start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, i, start text, R, end text, equals, 0 (Ecuación diferencial).

Justo como lo hicimos con el circuito start text, R, C, end text, intentamos con una función exponencial con parámetros ajustables, K y s.

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript

t es el tiempo.
i, left parenthesis, t, right parenthesis es la corriente como función del tiempo.
K y s son constantes que debemos determinar.
K es un termino de amplitud que escala la corriente hacia arriba o hacia abajo.
s debe tener unidades de 1, slash, t, de tal manera que tengamos un exponente adimensional.

Sustituyamos nuestra propuesta de solución en la ecuación diferencial y veamos si funciona:

start text, L, end text, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, plus, start text, R, end text, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, 0

Calculemos la derivada en el primer término:

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript

[Recordatorio: la derivada de una exponencial.]

Sustituyamos la derivada en la ecuación diferencial:

s, start text, L, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start text, R, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

Ahora podemos factorizar el término común K, e, start superscript, s, t, end superscript.

left parenthesis, s, start text, L, end text, plus, start text, R, end text, right parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

Esta ecuación describe nuestro circuito con la solución propuesta i, left parenthesis, t, right parenthesis.

Ahora determinamos las dos constantes, K y s, para ver si podemos resolver la ecuación.

Podríamos igualar K, equals, 0 para obtener una solución, pero eso es muy aburrido, no pones nada y no obtienes nada.

Podríamos igualar e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0 para obtener otra solución, pero esto también es aburrido. Si hacemos s un número negativo y dejamos que t tienda a plus, infinity, significa que nos sentamos a esperar por siempre a que la corriente desaparezca. Aburrido.

La tercera forma en que podemos satisfacer la ecuación es tomar s, start text, L, end text, plus, start text, R, end text, equals, 0, que es más interesante. Esta ecuación se satisface si

s, equals, minus, start fraction, start text, R, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction

Así, hemos determinado el valor de s, y nuestra función de corriente se ve como:

i (t) = K e^{- R t / L}

El último paso es determinar K, el factor de amplitud. Para lograrlo, usamos las condiciones iniciales. En el instante en que abrimos el interruptor, sabíamos el valor de la corriente. Para encontrar K, sustituimos todo lo que sabemos para t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript; en ese instante, la corriente era i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript.

i (0) = I_{0} = K e^{- R \cdot 0 / L}

I_{0} = K e^{0}

K, equals, start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript

¡Todo listo! Encontramos una función y dos constantes que verifican la ecuación. Hemos determinado la corriente para todo el tiempo posterior a la apertura del circuito.

La solución general para la respuesta natural de un circuito start text, R, L, end text es,

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

Podemos obtener el voltaje por medio de la ley de Ohm:

v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start text, R, end text, dot, i, left parenthesis, t, right parenthesis

v (t) = R I_{0} e^{- R t / L}

La respuesta natural del circuito start text, R, L, end text se ve así

Estas gráficas muestran la forma de la respuesta natural del circuito start text, R, L, end text. Para t, is less than or equal to, 0, la corriente es start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript; después de t, equals, 0, la corriente decae de forma exponencial hasta que se vuelve 0. La razón de cambio (la pendiente) es máxima al principio, cuando la corriente es mayor. El cociente start text, R, end text, slash, start text, L, end text determina qué tan pronunciada es la respuesta exponencial.

El voltaje a través del inductor es igual a 0 para t, is less than or equal to, 0, y hace un salto pronunciado en t, equals, 0, cuando la corriente comienza a cambiar. La magnitud del pico de voltaje depende de la corriente inicial start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript y el resistor start text, R, end text (y, curiosamente, no depende del valor del inductor start text, L, end text). El voltaje sigue una curva exponencial, semejante a la de la corriente, hasta que decae a 0.

Compara estas gráficas con las que bosquejamos anteriormente. Los bocetos tienen la forma correcta.

Constante de tiempo de una combinación resistor-inductor

Una exponencial tiene que ser un número adimensional, no puede tener unidades. Esto significa que el cociente start text, R, end text, slash, start text, L, end text debe tener unidades de 1, slash, start text, t, i, e, m, p, o, end text, de tal forma que cancele las unidades de t. Así, start text, L, end text, slash, start text, R, end text tiene unidades de start text, s, e, g, u, n, d, o, s, end text.

Llamamos al cociente start text, L, end text, slash, start text, R, end text la constante de tiempo de la combinación resistor-inductor. Tiene las mismas propiedades del producto correspondiente start text, R, end text, dot, start text, C, end text del circuito resistor-capacitor. Utilizamos la letra griega tau (tau) para denotar esta constante. Para un par resistor-inductor:

tau, equals, start fraction, start text, L, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction

La constante de tiempo para un resistor y un inductor crece conforme lo hace el inductor, y disminuye conforme la resistencia es mayor (en contraste con la constante de tiempo start text, R, C, end text, que aumenta conforme lo hacen start text, C, end text y start text, R, end text).

Por medio de tau, podemos escribir la ecuación de la respuesta natural de la siguiente manera:

i (t) = I_{0} e^{- t / τ}

Cuando t es igual a la constante de tiempo, el exponente de e es minus, 1, y el término exponencial es igual a 1, slash, e, o alrededor de 0, point, 37. La constante de tiempo determina qué tan rápido decae la curva exponencial a cero. Después de que ha transcurrido 1 constante de tiempo, la corriente es tan solo el 37, percent de su valor inicial.

[La constante de tiempo NO es R multiplicada por L.]

Ejemplo de la respuesta natural de un circuito start text, R, L, end text

Juntos hagamos un ejemplo. Para este circuito:

Problema 1

¿Cuánto vale start color #11accd, i, end color #11accd si el interruptor está cerrado?

i, equals

start text, m, A, point, end text

Problema 2

¿Cuánto vale start color #e07d10, v, end color #e07d10 si el interruptor está cerrado?

v, equals

start text, V, end text

Abrimos el circuito al tiempo t, equals, 0.

Problema 3

¿Cuánto vale start color #11accd, i, end color #11accd en el inductor el instante posterior a que abrimos el interruptor?

i, equals

start text, m, A, point, end text

Problema 4

¿Cuál es el valor de la constante de tiempo, tau ?

tau, equals

start text, s, e, g, u, n, d, o, s, end text

Escribe las expresiones para i, left parenthesis, t, right parenthesis y v, left parenthesis, t, right parenthesis después de t, equals, 0.

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, \_, \_, \_, \_, comma v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, \_, \_, \_, \_

[Explicación]

La respuesta natural para el circuito del ejemplo se ve así:

Resumen

La respuesta natural de un circuito start text, R, L, end text es una exponencial:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

Donde start text, I, end text, start subscript, 0, end subscript es la corriente al tiempo t, equals, 0.

La constante de tiempo para un circuito start text, R, L, end text es tau, equals, start fraction, start text, L, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction.

Apéndice - Resolver una ecuación diferencial separable

Como recordatorio, la ecuación diferencial del circuito start text, L, C, end text es:

start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, i, start text, R, end text, equals, 0

Aquí están los pasos para resolver esta ecuación diferencial separable. Si has estudiado esta técnica en tus cursos de cálculo, puedes resolver tanto la ecuación diferencial del circuito start text, R, L, end text como la ecuación diferencial del circuito start text, R, C, end text sin adivinar una solución.

$\begin{aligned} L \frac{d i}{d t} & = - i R \\ L \frac{d i}{i} & = - R d t \\ \int_{0}^{t} L \frac{d i}{i} & = - \int_{0}^{t} R d t \\ L [\ln i (t) - \ln i (0)] & = - R t \\ L \ln (i (t) / I_{0}) & = - R t \\ \ln (i (t) / I_{0}) & = - R t / L \\ i (t) / I_{0} & = e^{- R t / L} \\ i (t) & = I_{0} e^{- R t / L} \end{aligned}$ ‍

Este es el mismo resultado que obtuvimos en el artículo principal al adivinar una solución.

Aquí hay una serie de videos donde mostramos cómo resolver este tipo de ecuaciones diferenciales separables.

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