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Ingeniería eléctrica

Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada

La respuesta natural de un circuito RLC. Deducción

Una derivación formal de la respuesta natural del circuito RLC. Escrito por Willy McAllister.

Introducción

Vamos a echarle un profundo vistazo a la repuesta natural de un circuito con un resistor-inductor-capacitor,

(RLC)

. Este es el último circuito que vamos a analizar con el tratamiento completo de ecuaciones diferenciales.

De los circuitos de la vida real que de hecho podemos construir, el circuito

RLC

es representativo, ya que cada circuito real tiene una cierta resistencia finita. Este circuito tiene un comportamiento rico y complicado, con muchas aplicaciones en distintas áreas de la ingeniería eléctrica.

Qué vamos a construir

Vamos a modelar el circuito

RLC

con una ecuación diferencial lineal de

2

o. orden con la corriente,

i

, como la variable independiente:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

La ecuación característica resultante es:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Vamos a encontrar las raíces de la ecuación característica mediante el uso de la fórmula cuadrática:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Al sustituir las variables

α

ω_{o}

podemos escribir

s

de manera un poco más sencilla como:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

donde

α = \frac{R}{2 L}

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

se llama el factor de amortiguamiento y

ω_{o}

es la frecuencia de resonancia.

Vamos a resolver un ejemplo de un circuito

RLC

con valores específicos de los componentes y a descubrir cómo se ven la corriente y el voltaje.

Estrategia

Seguimos la misma línea de razonamiento que usamos para resolver el circuito LC de segundo orden en un artículo anterior.

Crear una ecuación diferencial de segundo orden basada en las ecuaciones $i$ ‍- $v$ ‍ para los componentes $R$ ‍, $L$ ‍ y $C$ ‍. Vamos a usar la ley de Kirchoff del voltaje para construir la ecuación.
Hacer una suposición educada de la solución. Como de costumbre, nuestra suposición será una función exponencial de la forma $K e^{s t}$ ‍.
Introducir la solución propuesta en la ecuación diferencial. Los términos exponenciales se factorizan y nos dejan una ecuación característica en la variable $s$ ‍.
Encontrar las raíces de la ecuación característica. Esta vez vamos a tener que usar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces.
Encontrar las constantes al tomar en cuenta las condiciones iniciales.
Celebrar que encontramos la solución.

Modelar el circuito con una ecuación diferencial

[Notas sobre la asignación del voltaje]

Cuando se cierra el interruptor, el circuito se ve así (ahora con etiquetas de voltaje en el inductor y en el resistor,

v_{L}

v_{R}

Podemos escribir las ecuaciones

i

v

para cada elemento individual.

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

v_{R} = - i R

v_{C} = \frac{1}{C} \int - i d t

Podemos escribir la ley de Kirchhoff del voltaje (LKV) al empezar en la esquina inferior izquierda y sumar los voltajes conforme recorremos la malla en sentido de las manecillas del reloj. El inductor tiene una subida de voltaje, mientras que el resistor y el capacitor tienen caídas de voltaje.

+ v_{L} - v_{R} - v_{C} = 0

Reemplazar los términos de

v

con los correspondientes de

i

nos da:

L \frac{d i}{d t} + R i + \frac{1}{C} \int i d t = 0

Si quisiéramos, podríamos atacar esta ecuación y tratar de resolverla, pero es incómodo trabajar con el término integral. Podemos quitar la integral si tomamos la derivada de toda la ecuación.

\frac{d}{d t} [L \frac{d i}{d t} + R i + \frac{1}{C} \int i d t = 0]

Esto nos da la siguiente ecuación con un término de segunda derivada, uno de primera derivada y un término en

i

, y todo sigue siendo igual a

0

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

Esto se llama una ecuación diferencial homogénea ordinaria de segundo grado. Es homogénea porque cada término está relacionado con

i

y sus derivadas. Es de segundo orden porque la derivada más alta es la segunda derivada. Es ordinaria porque solo hay una variable independiente (no hay derivadas parciales). Ahora nos disponemos a resolver nuestra ecuación diferencial.

Proponer una solución

Del mismo modo que lo hicimos con lo problemas anteriores de respuesta natural (RC, RL, LC), suponemos una solución con forma exponencial. Las funciones exponenciales tienen la maravillosa propiedad de que sus derivadas se parecen mucho a la función original. Cuando tienes múltiples derivadas que participan en una ecuación diferencial, es muy agradable cuando todas se parecen. Suponemos una solución con esta forma:

i (t) = K e^{s t}

K

es un parámetro ajustable que representa la amplitud de la corriente.

s

está en el exponente junto a

t

, así que debe representar algún tipo de frecuencia (

s

debe de tener unidades de

1 / t

). A este valor lo llamamos la frecuencia natural.

Probar la solución propuesta

A continuación, sustituye la solución propuesta en la ecuación diferencial. Si la ecuación resulta ser verdadera, entonces nuestra solución es una ganadora.

L \frac{d^{2}}{d t^{2}} K e^{s t} + R \frac{d}{d t} K e^{s t} + \frac{1}{C} K e^{s t} = 0

Ahora vamos a trabajar en los términos con derivadas.

El término de enmedio: la primera derivada del término

R

R \frac{d}{d t} K e^{s t} = s R K e^{s t}

El primer término: tomamos la derivada del primer término

K e^{s t}

dos veces:

\frac{d}{d t} K e^{s t} = s K e^{s t}

\frac{d}{d t} s K e^{s t} = s^{2} K e^{s t}

de modo que el primer término se vuelve:

L \frac{d^{2}}{d t^{2}} K e^{s t} = s^{2} L K e^{s t}

Sustitúyelos en la ecuación diferencial:

s^{2} L K e^{s t} + s R K e^{s t} + \frac{1}{C} K e^{s t} = 0

Ahora podemos factorizar el término común

K e^{s t}

K e^{s t} (s^{2} L + s R + \frac{1}{C}) = 0

Hacer que la ecuación sea verdadera

Ahora vamos a averiguar de cuántas maneras podemos hacer que esta ecuación sea verdadera.

Podríamos hacer

K

igual a

0

. Eso significaría que

i = 0

, que no le estamos poniendo nada al circuito y que no estamos obteniendo nada. Bastante aburrido.

El término

e^{s t}

nunca se vuelve

0

, a menos que esperemos hasta que

t

se vaya a

\infty

. Eso es mucho tiempo. Así, nos queda una manera interesante de hacer que la ecuación sea verdadera: si el término en

s

es cero.

s^{2} L + s R + \frac{1}{C} = 0

Esto se llama la ecuación característica del circuito

LRC

Encontrar las raíces de la ecuación característica

Vamos a encontrar los valores de

s

que hacen que la ecuación característica sea verdadera. (Queremos encontrar las raíces de la ecuación característica).

Tenemos exactamente la herramienta adecuada para esto, la fórmula cuadrática:

Para cualquier ecuación cuadrática:

a x^{2} + b x + c = 0

la fórmula cuadrática nos da las raíces (los cruces por cero):

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Al ver de nuevo la ecuación característica, podemos sustituir los valores de los componentes de nuestro circuito para obtener las raíces.

a = L

b = R

c = 1 / C

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Esa es la respuesta para

s

, la frecuencia natural. Necesitamos descomponer esto un poco más para obtener una idea del significado de esta solución.

Podemos hacer la notación un poco más compacta al reemplazar partes de la expresión con dos nuevas variables,

α

ω_{o}

α = \frac{R}{2 L}

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Déjame escribir la ecuación característica de esta manera

(

al dividir todo entre

L)

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Si usamos

α

ω_{o}

, la ecuación característica se puede escribir como:

s^{2} + 2 α s + ω_{o}^{2} = 0

Podemos revisar la fórmula cuadrática al separar el denominador

2 L

para cada término del numerador:

s = - \frac{R}{2 L} \pm \sqrt{{(\frac{R}{2 L})}^{2} - (\frac{4 L / C}{4 L^{2}})}

El segundo término de la raíz cuadrada se reduce a:

(\frac{4 L / C}{4 L^{2}}) = (\frac{4 L / C}{4 L^{2}}) = \frac{1}{LC}

Y esto nos permite escribir

s

en términos de

α

ω_{o}

como:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

Sabemos que

s

es un cierto tipo de frecuencia (tiene que tener unidades de

1 / t

). Eso significa que los dos términos que conforman

s

son algún cierto tipo de frecuencia.

$α$ ‍ se llama el factor de amortiguamiento. Va a determinar qué tan rápido se desvanece la señal total.
$ω_{o}$ ‍ se llama la frecuencia de resonancia. Va a determinar qué tan rápido oscila el sistema. Esta es la misma frecuencia de resonancia que encontramos en la respuesta natural del circuito $LC$ ‍.

La solución propuesta, mejorada

La fórmula cuadrática nos dio dos soluciones para

s

, las cuales llamamos

s_{1}

s_{2}

. Necesitamos incluir ambas en la solución propuesta, así que la actualizamos para que sea una combinación lineal (la superposición) de dos términos exponenciales separados con cuatro parámetros ajustables:

i = K_{1} e^{s_{1} t} + K_{2} e^{s_{2} t}

s_{1}

s_{2}

son frecuencias naturales,

K_{1}

K_{2}

son términos de amplitud.

Circuito de ejemplo

En este punto es útil hacer un ejemplo específico con algunos valores de los componentes para ver cómo es una solución particular. Aquí está nuestro circuito de ejemplo:

La ecuación diferencial para el circuito

RLC

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

Con los valores de los componentes reales se vuelve:

1 \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + 2 \frac{d i}{d t} + 5 i = 0

Como siempre lo hacemos, suponemos una solución de la forma:

i (t) = K e^{s t}

Llevamos a cabo el análisis que hicimos arriba, que resulta en esta ecuación característica:

s^{2} + 2 s + 5 = 0

Encontramos las raíces de la ecuación característica con la fórmula cuadrática:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Con los valores de los componentes reales:

s = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2}

s = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2}

s = - 1 \pm \frac{\sqrt{- 16}}{2}

s = - 1 \pm j 2

(En ingeniería eléctrica usamos la letra

j

para el número imaginario

\sqrt{- 1}

, ya que usamos

i

como el símbolo para la corriente).

Obtenemos una respuesta compleja, igual que para la respuesta natural del circuito

LC

, solo que esta vez la respuesta compleja incluye tanto una parte real como una imaginaria.

Al encontrar las raíces de la ecuación característica obtuvimos dos respuestas posibles para

s

, de modo que la solución propuesta para

i

ahora está escrita como la superposición de dos términos exponenciales diferentes:

i = K_{1} e^{(- 1 + j 2) t} + K_{2} e^{(- 1 - j 2) t}

Los términos en los exponentes son complejos conjugados. Vamos a ocuparnos de la forma en que esto está escrito. Podemos separar las partes real e imaginaria de los exponentes:

i = K_{1} e^{- 1 t} e^{+ j 2 t} + K_{2} e^{- 1 t} e^{- j 2 t},

y factorizar el término común

e^{- 1 t}

i = e^{- t} (K_{1} e^{+ j 2 t} + K_{2} e^{- j 2 t})

Observa cómo la parte real de

s

sale del proceso de factorización para darnos un término principal, una exponencial que decrece,

e^{- t}

Los términos entre paréntesis son la suma de dos exponenciales imaginarias en donde los exponentes son complejos conjugados. Esto se ve igual que lo que vimos en la respuesta natural del circuito

LC

. Como lo hicimos entonces, usamos la fórmula de Euler para ayudarnos con estos términos.

La fórmula de Euler

Al usar la expansión en serie de Maclaurin para

e^{j x}

\sin j x

\cos j x

, es posible derivar la fórmula de Euler:

e^{+ j x} = \cos x + j \sin x

e^{- j x} = \cos x - j \sin x

Cada vez que en el video asociado se dice

i

, nosotros decimos

j

Estas fórmulas nos permiten convertir

e^{i m a g i n a r i o}

en un número complejo normal.

Usar la fórmula de Euler

Podemos usar la fórmula de Euler para transformar la suma

K_{1} e^{+ j 2 t} + K_{2} e^{- j 2 t}

K_{1} (\cos 2 t + j \sin 2 t) + K_{2} (\cos 2 t - j \sin 2 t) .

Desarrolla las multiplicaciones por las constantes

K_{1}

K_{2}

K_{1} \cos 2 t + j K_{1} \sin 2 t + K_{2} \cos 2 t - j K_{2} \sin 2 t,

y agrupa los términos del coseno y del seno:

(K_{1} + K_{2}) \cos 2 t + j (K_{1} - K_{2}) \sin 2 t

Sin estropear la ecuación, podemos simplificar cómo se ve si reemplazamos las expresiones que involucran

K

con otras incógnitas diferentes en términos de

A

. Sean

A_{1} = (K_{1} + K_{2})

A_{2} = j (K_{1} - K_{2}

La expresión anterior se vuelve:

A_{1} \cos 2 t + A_{2} \sin 2 t

Y ahora ponemos esto de regreso en nuestra solución propuesta:

i = e^{- t} (A_{1} \cos 2 t + A_{2} \sin 2 t)

Todo bien hasta el momento. A continuación, necesitamos averiguar quiénes son

A_{1}

A_{2}

al usar las condiciones iniciales.

Encontrar las condiciones iniciales

Para una ecuación de segundo orden, necesitas dos condiciones iniciales para obtener una solución completa: una para la variable independiente,

i

, y otra para su primera derivada,

d i / d t

Si podemos encontrar

i

d i / d t

en un tiempo específico, podemos encontrar

A_{1}

A_{2}

Encontrar las condiciones iniciales para el circuito

RLC

es prácticamente lo mismo que para el circuito LC. Solo tenemos que tomar en cuenta el resistor.

Aquí está lo que sabemos acerca de

t = 0^{-}

(el momento antes de que se cierre el interruptor):

El interruptor está abierto, así que $i (0^{-}) = 0$ ‍
El voltaje inicial del capacitor está especificado: $v_{C} (0^{-}) = V_{0}$ ‍

t = 0^{+}

es el momento justo después de que se cierra el interruptor, nuestro objetivo es encontrar

i (0^{+})

d i / d t (0^{+})

. Conocemos algunas propiedades de los inductores y de los capacitores que nos dicen qué pasa cuando se cierra el interruptor, yendo de

t = 0^{-}

t = 0^{+}

La corriente en el inductor no cambia de manera instantánea, de modo que $i (0^{+}) = i (0^{-}) = 0$ ‍.
El voltaje en el capacitor no cambia de manera instantánea, de modo que $v_{C} (0^{+}) = v_{C} (0^{-}) = V_{0} .$ ‍

Ahora conocemos una condición inicial,

i (0^{+}) = 0

, y sabemos algo acerca del voltaje, pero no conocemos

d i / d t (0^{+})

Vamos por la segunda condición inicial,

d i / d t (0^{+})

. Cada vez que veo

d i / d t

me hace pensar en la ecuación

i

v

del inductor. Si podemos averiguar el voltaje a través del inductor, podemos averiguar

d i / d t

. Vamos a hacer eso mediante un proceso de eliminación.

La ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de la malla es:

+ v_{L} - v_{R} - v_{C} = 0

Como

i (0^{+}) = 0

, eso significa que el voltaje a través del resistor,

v_{R}

, tiene que ser

0

. También sabemos que el voltaje a través del capacitor es

v_{C} = V_{0}

. Vamos a usar estos valores en la ecuación de la LVK:

v_{L} - 0 - V_{0} = 0

Y ahora conocemos el voltaje a través del inductor en

t = 0^{+}

v_{L} = V_{0}

Podemos usar esto para derivar

d i / d t

al usar la ecuación

i

v

del inductor.

v_{L} (0^{+}) = L \frac{d i}{d t} (0^{+})

10 = 1 \frac{d i}{d t} (0^{+})

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = 10 A / s

En el momento justo antes de que se cierre el interruptor, la corriente en el inductor tiene una pendiente inicial de

10

amperes por segundo.

Encuentra las constantes $A_{1}$ ‍ y $A_{2}$ ‍ al usar las condiciones iniciales

Como un recordatorio, nuestra solución propuesta es:

i = e^{- t} (A_{1} \cos 2 t + A_{2} \sin 2 t)

y las condiciones iniciales son:

i (0^{+}) = 0

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = 10

Si evaluamos

i

t = 0

, podemos encontrar una de las constantes

A

. Sustituye

t = 0

i = 0

en la solución propuesta:

0 = e^{- 0} (A_{1} \cos 2 \cdot 0 + A_{2} \sin 2 \cdot 0)

0 = 1 (A_{1} \cos 0 + A_{2} \sin 0)

0 = (A_{1} \cdot 1 + A_{2} \cdot 0)

A_{1} = 0

A_{1} = 0

, así que el término del coseno se elimina de la solución. Una constante menos; falta una. Nuestra solución propuesta ahora se ve como:

i = A_{2} e^{- t} \sin 2 t

Vamos a buscar

A_{2}

al usar la segunda condición inicial:

Necesitamos una ecuación para la derivada de

i

. ¿Dónde podríamos conseguirla? ¿Y si tomamos la derivada de la solución propuesta?

\frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} (A_{2} e^{- t} \sin 2 t)

La solución propuesta es el producto de dos funciones. Para tomar su derivada utilizamos la regla del producto:

{(f g)}^{'} = f^{'} g + f g^{'}

Identifica las dos partes del producto y sus derivadas:

f = A_{2} e^{- t} g = \sin 2 t

f^{'} = - A_{2} e^{- t} g^{'} = 2 \cos 2 t

Junta las partes de acuerdo con la regla del producto:

\frac{d i}{d t} = - A_{2} e^{- t} \sin 2 t + A_{2} e^{- t} 2 \cos 2 t

\frac{d i}{d t} = A_{2} e^{- t} (2 \cos 2 t - \sin 2 t)

Podemos evaluar esta expresión en

t = 0^{+}

10 = A_{2} e^{- 0} (2 \cos 0 - \sin 0)

10 = A_{2} \cdot 1 \cdot (2 - 0) = 2 A_{2}

A_{2} = 5

La solución para la corriente

Y por último, después de un montón de trabajo pesado, la solución para la corriente es:

i = 5 e^{- t} \sin 2 t

La gráfica de

i

como una función del tiempo se ve así:

Cuando se cierra el interruptor, la corriente da un gran impulso hacia arriba y toma la forma de la primera joroba de la gráfica del seno. La onda del seno se desvanece rápidamente después de unas cuantas oscilaciones porque la energía en el sistema se disipa rápidamente como calor a medida que la carga fluye hacia adelante y hacia atrás a través del resistor.

El papel de la "fricción" en este ejemplo, interpretado por el valor del resistor, representa una tasa de disipación de energía bastante alta. La corriente solo cambia visiblemente de signo dos veces antes de volverse cero.

Este es un ejemplo de una solución subamortiguada. Vamos a introducir este descriptivo término en la siguiente sección.

Encontrar los voltajes

Solo hay una corriente en el circuito. Ya que conocemos la respuesta natural de la corriente podemos encontrar la respuesta natural de los tres voltajes.

El voltaje del resistor

Usamos la ley de Ohm para encontrar el voltaje del resistor:

(

hay un signo

-

porque

i

está en sentido contrario con respecto a

v_{R})

v_{R} = - i R

v_{R} = - 5 e^{- t} \sin 2 t \cdot 2 Ω

v_{R} = - 10 e^{- t} \sin 2 t

El voltaje del inductor

El voltaje del inductor surge de la ecuación

i

v

del inductor:

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

v_{L} = 1 \cdot \frac{d}{d t} (5 e^{- t} \sin 2 t)

[Mostrar los pasos de la derivada]

v_{L} = - 5 e^{- t} (\sin 2 t - 2 \cos 2 t)

El voltaje del capacitor

Para encontrar el voltaje del capacitor podemos usar la forma integral de su ecuación

i

v

(

otro signo

-

adicional porque la dirección de

i

se invierte en relación a

v_{C})

v_{C} = \frac{1}{C} \int - i d t

v_{C} = \frac{1}{1 / 5} \int - 5 e^{- t} \sin 2 t d t

[Mostrar la integración.]

v_{C} = 5 e^{- t} (\sin 2 t + 2 \cos 2 t)

Aquí están los tres voltajes graficados juntos:

[Otra manera de encontrar el voltaje del capacitor mediante el uso de la LVK.]

Resumen

El circuito

RLC

es el equivalente electrónico de un péndulo con fricción. El circuito se puede modelar con esta ecuación diferencial lineal de

2

o. orden:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0