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Ingeniería eléctrica
Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2
Lección 4: Respuesta natural y forzada- Las ecuaciones de corriente y voltaje de un capacitor
- Un capacitor integra la corriente
- La ecuación de corriente y voltaje de un capacitor en acción
- Las ecuaciones de un inductor
- Voltaje inductivo de retroceso (1 de 2)
- Voltaje inductivo de retroceso (2 de 2)
- La ecuación de corriente y voltaje de un inductor en acción
- La respuesta natural de un circuito RC. Ideas intuitivas
- La respuesta natural de un circuito RC. Derivación
- La respuesta natural de un circuito RC. Ejemplo
- La respuesta natural de un circuito RC
- La respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón. Ideas intuitivas
- Preparación para la respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón (parte 1 de 3)
- Solución a la respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón (parte 2 de 3)
- Ejemplo sobre la respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón (parte 3 de 3)
- La respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón
- La respuesta natural de un circuito RL
- Esbozar exponenciales
- Esbozar exponenciales. Ejemplos
- Ideas intuitivas acerca de la respuesta natural de un circuito LC (parte 1)
- Ideas intuitivas acerca de la respuesta natural de un circuito LC (parte 2)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 1)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 2)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 3)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 4)
- Ejemplo de la respuesta natural de un circuito LC
- La respuesta natural de un circuito LC
- La respuesta natural de un circuito LC. Deducción
- La respuesta natural de un circuito RLC. Ideas intuitivas
- La respuesta natural de un circuito RLC. Deducción
- La respuesta natural de un circuito RLC. Variaciones
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La respuesta natural de un circuito RLC. Deducción
Una derivación formal de la respuesta natural del circuito RLC. Escrito por Willy McAllister.
Introducción
Vamos a echarle un profundo vistazo a la repuesta natural de un circuito con un resistor-inductor-capacitor, left parenthesis, start text, R, L, C, right parenthesis, end text. Este es el último circuito que vamos a analizar con el tratamiento completo de ecuaciones diferenciales.
De los circuitos de la vida real que de hecho podemos construir, el circuito start text, R, L, C, end text es representativo, ya que cada circuito real tiene una cierta resistencia finita. Este circuito tiene un comportamiento rico y complicado, con muchas aplicaciones en distintas áreas de la ingeniería eléctrica.
Qué vamos a construir
Vamos a modelar el circuito start text, R, L, C, end text con una ecuación diferencial lineal de 2o. orden con la corriente, i, como la variable independiente:
La ecuación característica resultante es:
Vamos a encontrar las raíces de la ecuación característica mediante el uso de la fórmula cuadrática:
Al sustituir las variables alpha y omega, start subscript, o, end subscript podemos escribir s de manera un poco más sencilla como:
donde
alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction y omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction
alpha se llama el factor de amortiguamiento y omega, start subscript, o, end subscript es la frecuencia de resonancia.
Vamos a resolver un ejemplo de un circuito start text, R, L, C, end text con valores específicos de los componentes y a descubrir cómo se ven la corriente y el voltaje.
Estrategia
Seguimos la misma línea de razonamiento que usamos para resolver el circuito LC de segundo orden en un artículo anterior.
- Crear una ecuación diferencial de segundo orden basada en las ecuaciones i-v para los componentes start text, R, end text, start text, L, end text y start text, C, end text. Vamos a usar la ley de Kirchoff del voltaje para construir la ecuación.
- Hacer una suposición educada de la solución. Como de costumbre, nuestra suposición será una función exponencial de la forma K, e, start superscript, s, t, end superscript.
- Introducir la solución propuesta en la ecuación diferencial. Los términos exponenciales se factorizan y nos dejan una ecuación característica en la variable s.
- Encontrar las raíces de la ecuación característica. Esta vez vamos a tener que usar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces.
- Encontrar las constantes al tomar en cuenta las condiciones iniciales.
- Celebrar que encontramos la solución.
Modelar el circuito con una ecuación diferencial
Cuando se cierra el interruptor, el circuito se ve así (ahora con etiquetas de voltaje en el inductor y en el resistor, v, start subscript, start text, L, end text, end subscript y v, start subscript, start text, R, end text, end subscript).
Podemos escribir las ecuaciones i-v para cada elemento individual.
Podemos escribir la ley de Kirchhoff del voltaje (LKV) al empezar en la esquina inferior izquierda y sumar los voltajes conforme recorremos la malla en sentido de las manecillas del reloj. El inductor tiene una subida de voltaje, mientras que el resistor y el capacitor tienen caídas de voltaje.
Reemplazar los términos de v con los correspondientes de i nos da:
Si quisiéramos, podríamos atacar esta ecuación y tratar de resolverla, pero es incómodo trabajar con el término integral. Podemos quitar la integral si tomamos la derivada de toda la ecuación.
Esto nos da la siguiente ecuación con un término de segunda derivada, uno de primera derivada y un término en i, y todo sigue siendo igual a 0.
Esto se llama una ecuación diferencial homogénea ordinaria de segundo grado. Es homogénea porque cada término está relacionado con i y sus derivadas. Es de segundo orden porque la derivada más alta es la segunda derivada. Es ordinaria porque solo hay una variable independiente (no hay derivadas parciales). Ahora nos disponemos a resolver nuestra ecuación diferencial.
Proponer una solución
Del mismo modo que lo hicimos con lo problemas anteriores de respuesta natural (RC, RL, LC), suponemos una solución con forma exponencial. Las funciones exponenciales tienen la maravillosa propiedad de que sus derivadas se parecen mucho a la función original. Cuando tienes múltiples derivadas que participan en una ecuación diferencial, es muy agradable cuando todas se parecen. Suponemos una solución con esta forma:
K es un parámetro ajustable que representa la amplitud de la corriente.
s está en el exponente junto a t, así que debe representar algún tipo de frecuencia (s debe de tener unidades de 1, slash, t). A este valor lo llamamos la frecuencia natural.
Probar la solución propuesta
A continuación, sustituye la solución propuesta en la ecuación diferencial. Si la ecuación resulta ser verdadera, entonces nuestra solución es una ganadora.
Ahora vamos a trabajar en los términos con derivadas.
El término de enmedio: la primera derivada del término start text, R, end text es
El primer término: tomamos la derivada del primer término start text, K, end text, e, start superscript, s, t, end superscript dos veces:
de modo que el primer término se vuelve:
Sustitúyelos en la ecuación diferencial:
Ahora podemos factorizar el término común K, e, start superscript, s, t, end superscript:
Hacer que la ecuación sea verdadera
Ahora vamos a averiguar de cuántas maneras podemos hacer que esta ecuación sea verdadera.
Podríamos hacer K igual a 0. Eso significaría que i, equals, 0, que no le estamos poniendo nada al circuito y que no estamos obteniendo nada. Bastante aburrido.
El término e, start superscript, s, t, end superscript nunca se vuelve 0, a menos que esperemos hasta que t se vaya a infinity. Eso es mucho tiempo. Así, nos queda una manera interesante de hacer que la ecuación sea verdadera: si el término en s es cero.
Esto se llama la ecuación característica del circuito start text, L, R, C, end text.
Encontrar las raíces de la ecuación característica
Vamos a encontrar los valores de s que hacen que la ecuación característica sea verdadera. (Queremos encontrar las raíces de la ecuación característica).
Tenemos exactamente la herramienta adecuada para esto, la fórmula cuadrática:
Para cualquier ecuación cuadrática: a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0,
la fórmula cuadrática nos da las raíces (los cruces por cero):
Al ver de nuevo la ecuación característica, podemos sustituir los valores de los componentes de nuestro circuito para obtener las raíces. a, equals, start text, L, end text, b, equals, start text, R, end text y c, equals, 1, slash, start text, C, end text.
Esa es la respuesta para s, la frecuencia natural. Necesitamos descomponer esto un poco más para obtener una idea del significado de esta solución.
Podemos hacer la notación un poco más compacta al reemplazar partes de la expresión con dos nuevas variables, alpha y omega, start subscript, o, end subscript.
Déjame escribir la ecuación característica de esta manera left parenthesisal dividir todo entre start text, L, end text, right parenthesis:
Si usamos alpha y omega, start subscript, o, end subscript, la ecuación característica se puede escribir como:
Podemos revisar la fórmula cuadrática al separar el denominador 2, start text, L, end text para cada término del numerador:
El segundo término de la raíz cuadrada se reduce a:
Y esto nos permite escribir s en términos de alpha y omega, start subscript, o, end subscript como:
Sabemos que s es un cierto tipo de frecuencia (tiene que tener unidades de 1, slash, t). Eso significa que los dos términos que conforman s son algún cierto tipo de frecuencia.
- alpha se llama el factor de amortiguamiento. Va a determinar qué tan rápido se desvanece la señal total.
- omega, start subscript, o, end subscript se llama la frecuencia de resonancia. Va a determinar qué tan rápido oscila el sistema. Esta es la misma frecuencia de resonancia que encontramos en la respuesta natural del circuito start text, L, C, end text.
La solución propuesta, mejorada
La fórmula cuadrática nos dio dos soluciones para s, las cuales llamamos s, start subscript, 1, end subscript y s, start subscript, 2, end subscript. Necesitamos incluir ambas en la solución propuesta, así que la actualizamos para que sea una combinación lineal (la superposición) de dos términos exponenciales separados con cuatro parámetros ajustables:
s, start subscript, 1, end subscript y s, start subscript, 2, end subscript son frecuencias naturales,
K, start subscript, 1, end subscript y K, start subscript, 2, end subscript son términos de amplitud.
K, start subscript, 1, end subscript y K, start subscript, 2, end subscript son términos de amplitud.
Circuito de ejemplo
En este punto es útil hacer un ejemplo específico con algunos valores de los componentes para ver cómo es una solución particular. Aquí está nuestro circuito de ejemplo:
La ecuación diferencial para el circuito start text, R, L, C, end text es
Con los valores de los componentes reales se vuelve:
Como siempre lo hacemos, suponemos una solución de la forma: i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript
Llevamos a cabo el análisis que hicimos arriba, que resulta en esta ecuación característica:
Encontramos las raíces de la ecuación característica con la fórmula cuadrática:
Con los valores de los componentes reales:
(En ingeniería eléctrica usamos la letra j para el número imaginario square root of, minus, 1, end square root, ya que usamos i como el símbolo para la corriente).
Obtenemos una respuesta compleja, igual que para la respuesta natural del circuito start text, L, C, end text, solo que esta vez la respuesta compleja incluye tanto una parte real como una imaginaria.
Al encontrar las raíces de la ecuación característica obtuvimos dos respuestas posibles para s, de modo que la solución propuesta para i ahora está escrita como la superposición de dos términos exponenciales diferentes:
Los términos en los exponentes son complejos conjugados. Vamos a ocuparnos de la forma en que esto está escrito. Podemos separar las partes real e imaginaria de los exponentes:
y factorizar el término común e, start superscript, minus, 1, t, end superscript:
Observa cómo la parte real de s sale del proceso de factorización para darnos un término principal, una exponencial que decrece, e, start superscript, minus, t, end superscript.
Los términos entre paréntesis son la suma de dos exponenciales imaginarias en donde los exponentes son complejos conjugados. Esto se ve igual que lo que vimos en la respuesta natural del circuito start text, L, C, end text. Como lo hicimos entonces, usamos la fórmula de Euler para ayudarnos con estos términos.
La fórmula de Euler
Al usar la expansión en serie de Maclaurin para e, start superscript, j, x, end superscript, sine, j, x y cosine, j, x, es posible derivar la fórmula de Euler:
y
Cada vez que en el video asociado se dice i, nosotros decimos j.
Estas fórmulas nos permiten convertir e, start superscript, i, m, a, g, i, n, a, r, i, o, end superscript en un número complejo normal.
Usar la fórmula de Euler
Podemos usar la fórmula de Euler para transformar la suma
en
Desarrolla las multiplicaciones por las constantes K, start subscript, 1, end subscript y K, start subscript, 2, end subscript:
y agrupa los términos del coseno y del seno:
Sin estropear la ecuación, podemos simplificar cómo se ve si reemplazamos las expresiones que involucran K con otras incógnitas diferentes en términos de A. Sean A, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis y A, start subscript, 2, end subscript, equals, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript).
La expresión anterior se vuelve:
Y ahora ponemos esto de regreso en nuestra solución propuesta:
Todo bien hasta el momento. A continuación, necesitamos averiguar quiénes son A, start subscript, 1, end subscript y A, start subscript, 2, end subscript al usar las condiciones iniciales.
Encontrar las condiciones iniciales
Para una ecuación de segundo orden, necesitas dos condiciones iniciales para obtener una solución completa: una para la variable independiente, i, y otra para su primera derivada, d, i, slash, d, t.
Si podemos encontrar i y d, i, slash, d, t en un tiempo específico, podemos encontrar A, start subscript, 1, end subscript y A, start subscript, 2, end subscript.
Encontrar las condiciones iniciales para el circuito start text, R, L, C, end text es prácticamente lo mismo que para el circuito LC. Solo tenemos que tomar en cuenta el resistor.
Aquí está lo que sabemos acerca de t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript (el momento antes de que se cierre el interruptor):
- El interruptor está abierto, así que i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
- El voltaje inicial del capacitor está especificado: v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
Si t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript es el momento justo después de que se cierra el interruptor, nuestro objetivo es encontrar i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis y d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis.
Conocemos algunas propiedades de los inductores y de los capacitores que nos dicen qué pasa cuando se cierra el interruptor, yendo de t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript a t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript:
- La corriente en el inductor no cambia de manera instantánea, de modo que i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0.
- El voltaje en el capacitor no cambia de manera instantánea, de modo que v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, point
Ahora conocemos una condición inicial, i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0, y sabemos algo acerca del voltaje, pero no conocemos d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis.
Vamos por la segunda condición inicial, d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis. Cada vez que veo d, i, slash, d, t me hace pensar en la ecuación i-v del inductor.
Si podemos averiguar el voltaje a través del inductor, podemos averiguar d, i, slash, d, t. Vamos a hacer eso mediante un proceso de eliminación.
La ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de la malla es:
Como i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0, eso significa que el voltaje a través del resistor, v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, tiene que ser 0. También sabemos que el voltaje a través del capacitor es v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript. Vamos a usar estos valores en la ecuación de la LVK:
Y ahora conocemos el voltaje a través del inductor en t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript:
Podemos usar esto para derivar d, i, slash, d, t al usar la ecuación i-v del inductor.
En el momento justo antes de que se cierre el interruptor, la corriente en el inductor tiene una pendiente inicial de 10 amperes por segundo.
Encuentra las constantes A, start subscript, 1, end subscript y A, start subscript, 2, end subscript al usar las condiciones iniciales
Como un recordatorio, nuestra solución propuesta es:
y las condiciones iniciales son:
Si evaluamos i en t, equals, 0, podemos encontrar una de las constantes A. Sustituye t, equals, 0 e i, equals, 0 en la solución propuesta:
A, start subscript, 1, end subscript, equals, 0, así que el término del coseno se elimina de la solución. Una constante menos; falta una. Nuestra solución propuesta ahora se ve como:
Vamos a buscar A, start subscript, 2, end subscript al usar la segunda condición inicial:
Necesitamos una ecuación para la derivada de i. ¿Dónde podríamos conseguirla? ¿Y si tomamos la derivada de la solución propuesta?
La solución propuesta es el producto de dos funciones. Para tomar su derivada utilizamos la regla del producto:
Identifica las dos partes del producto y sus derivadas:
Junta las partes de acuerdo con la regla del producto:
Podemos evaluar esta expresión en t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript:
La solución para la corriente
Y por último, después de un montón de trabajo pesado, la solución para la corriente es:
La gráfica de i como una función del tiempo se ve así:
Cuando se cierra el interruptor, la corriente da un gran impulso hacia arriba y toma la forma de la primera joroba de la gráfica del seno. La onda del seno se desvanece rápidamente después de unas cuantas oscilaciones porque la energía en el sistema se disipa rápidamente como calor a medida que la carga fluye hacia adelante y hacia atrás a través del resistor.
El papel de la "fricción" en este ejemplo, interpretado por el valor del resistor, representa una tasa de disipación de energía bastante alta. La corriente solo cambia visiblemente de signo dos veces antes de volverse cero.
Este es un ejemplo de una solución subamortiguada. Vamos a introducir este descriptivo término en la siguiente sección.
Encontrar los voltajes
Solo hay una corriente en el circuito. Ya que conocemos la respuesta natural de la corriente podemos encontrar la respuesta natural de los tres voltajes.
El voltaje del resistor
Usamos la ley de Ohm para encontrar el voltaje del resistor: left parenthesishay un signo minus porque i está en sentido contrario con respecto a v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, right parenthesis.
El voltaje del inductor
El voltaje del inductor surge de la ecuación i-v del inductor:
El voltaje del capacitor
Para encontrar el voltaje del capacitor podemos usar la forma integral de su ecuación i-v: left parenthesisotro signo minus adicional porque la dirección de i se invierte en relación a v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, right parenthesis.
Aquí están los tres voltajes graficados juntos:
Resumen
El circuito start text, R, L, C, end text es el equivalente electrónico de un péndulo con fricción.
El circuito se puede modelar con esta ecuación diferencial lineal de 2o. orden:
La ecuación característica resultante es:
Encontramos las raíces de la ecuación característica mediante el uso de la fórmula cuadrática:
Al sustituir las variables alpha y omega, start subscript, o, end subscript escribimos s de manera un poco más sencilla como:
donde
alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction y omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction
Terminamos por resolver un circuito de ejemplo cuyos componentes produjeron una corriente (y voltajes) que oscila unas cuantas veces.
Las raíces de la ecuación característica pueden tomar formas tanto reales como complejas, dependiendo del tamaño relativo de alpha y omega, start subscript, o, end subscript. En el siguiente artículo, vamos a describir estás tres formas con más detalle:
- sobreamortiguado, alpha, is greater than, omega, start subscript, 0, end subscript; conduce a la suma de dos exponenciales decrecientes.
- críticamente amortiguado, alpha, equals, omega, start subscript, 0, end subscript; conduce a t, dot exponencial decreciente.
- subamortiguado, alpha, is less than, omega, start subscript, 0, end subscript; conduce a un seno decreciente.
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¿Que pasa si se deja la ecuación diferencial en términos de Vc en vez de la corriente?(1 voto)- Tengo una duda al momento de la integración por partes de Vc ¿Dónde quedó el -4? Porque más abajo ya no aparece.(1 voto)