La respuesta natural de un circuito RLC. Ideas intuitivas

En este artículo damos un vistazo intuitivo a la respuesta natural del circuito compuesto por un resistor, un inductor y un capacitor $(\text{RLC)}$‍. Este es el último circuito que vamos a analizar con el tratamiento completo de las ecuaciones diferenciales, que llevaremos a cabo en dos artículos siguientes.

De los circuitos de la vida real que de hecho podemos construir, el circuito $\text{RLC}$‍ es representativo, ya que cada circuito real tiene una cierta resistencia finita. Este circuito tiene un comportamiento rico y complicado, con muchas aplicaciones en distintas áreas de la ingeniería eléctrica.

Para entender la respuesta natural del circuito $\text{RLC}$‍ de manera intuitiva, pensamos en cómo se mueve la carga en el circuito a lo largo del tiempo. Si colocamos una carga inicial en el capacitor y después cerramos el interruptor, la carga irá de una placa del capacitor a la otra, pasando a través del inductor y del resistor en ambas direcciones. Cada ciclo de oscilación será un poco menor que el anterior, porque se pierde energía conforme la carga en movimiento calienta el resistor.

El circuito eléctrico $\text{RLC}$‍ tiene una analogía mecánica: el péndulo. Esta es una buena manera de visualizar lo que está pasando en el circuito.

Para esta discusión, supón que el valor del resistor es relativamente pequeño, como unos cuantos ohms. Esta predicción es parecida a la que hicimos para la respuesta natural del circuito LC. Esta vez agregamos un resistor pequeño, el cual es más representativo de los circuitos de la vida real.

Digamos que el capacitor tiene un voltaje inicial, $V_0$‍, lo cual significa que está almacenando algo de carga, $q$‍. Supón que un circuito externo, que no se muestra, puso ahí la carga. Como el interruptor está abierto, no hay corriente inicial en el inductor; tampoco en el capacitor o en el resistor. Así, la carga solo está en el capacitor sin hacer nada.

¿Qué va a pasar cuando se cierre el interruptor y dejemos que el circuito "haga lo que quiera"? Ese comportamiento es lo que llamamos la respuesta natural. Vamos a razonar esto al darle seguimiento a lo que le pasa a la carga, $q$‍.

La cantidad de $q$‍ está establecida por el producto del voltaje inicial en el capacitor y el valor del capacitor, $q=\text{C}{v}_{\text{C}}$‍. Al inicio, toda la carga está quieta en el capacitor. La cantidad total de carga , $q$‍, es constante, no cambia durante la respuesta natural. (Podemos hacer un seguimiento de dónde está al observar el voltaje en el capacitor).

Cuando decimos "poner una carga en el capacitor", nos referimos a poner cierta cantidad de $+q$‍ en la placa superior y la misma cantidad exacta de $-q$‍ en la placa inferior, creando una separación de carga. A largo plazo, al final de la respuesta natural, toda esa carga separada habrá fluido alrededor y encontrado una carga de signo opuesto, neutralizándose. La carga no desaparece, pero la separación de la carga se elimina.

Mientras afinamos nuestra predicción, rastreamos $+q$‍, y sabemos que la misma cantidad de $-q$‍ se está moviendo en la dirección opuesta. Trata de "ver" el movimiento de la carga en tu mente a medida que nos adentramos en este análisis.

Ahora cerramos el interruptor y dejamos que el circuito $\text{RLC}$‍ se comporte de forma "natural".

El inductor empieza con $0$‍ corriente y $0$‍ volts. El resistor también tiene $0$‍ corriente, así que por la ley de Ohm, hay $0$‍ volts a través de él.

El interruptor cerrado súbitamente proporciona una trayectoria cerrada para que la carga $+$‍ en la placa superior pueda buscar la carga $-$‍ en la placa inferior (y viceversa; no se muestra).

De repente, el inductor y el resistor juntos "ven" el voltaje del capacitor, $v_{\text{C}}={\text{V}}_0$‍. Este voltaje va a crear una corriente en el inductor y en el resistor. ¿De dónde viene esa corriente? Viene de la carga en el capacitor, por supuesto. La carga es jalada por la fuerza de atracción eléctrica hacia la carga opuesta en la otra placa.

El resistor ahora tiene una corriente que fluye a través de él, y la ley de Ohm nos dice que habrá una caída de voltaje a través de $\text{R}$‍. Supusimos que $\text{R}$‍ era pequeña, así que la caída de voltaje también será pequeña. Sin embargo, el resistor se calienta un poco a medida que disipa un poco de potencia.

El inductor tiene una corriente, así que empieza a almacenar energía en su campo magnético circundante. Esa energía almacenada va a volver a salir del campo magnético en un momento. (El voltaje a través del inductor es un poco menor que $v_{\text{C}}$‍ debido a la pequeña caída de voltaje a través del resistor).

En el capacitor, la corriente fluye desde la placa superior, pasa por el resistor, el inductor y da la vuelta hacia la placa inferior del capacitor. Si $q$‍ va hacia abajo, entonces $q=\text{C}v$‍ nos dice que $v_{\text{C}}$‍ también tiene que ir hacia abajo.

Eventualmente, llegamos a un estado en donde la cantidad de carga en la placa superior es la misma que en la placa inferior. Por lo tanto, el voltaje a través del capacitor cae a $0$‍.

En el inductor fluye una corriente, aunque el voltaje sea o esté cerca de $0$‍. La energía almacenada en el campo magnético del inductor tiende a mantener la corriente fluyendo. (La corriente no cae abruptamente a $0$‍ cuando el voltaje en el inductor alcanza $0$‍. Los inductores "no dejan" que ocurran cambios bruscos en la corriente).

Incluso después de que el voltaje haya caído a $0$‍, la corriente del inductor continúa moviendo carga de la placa superior a la inferior del capacitor. Ahora hay más carga positiva en la placa inferior que en la superior, así que el voltaje invierte su signo y se vuelve negativo.

Conforme la carga se acumula en el placa inferior, repele la llegada de nueva carga proveniente de la corriente del inductor (repulsión electrostática). La corriente del inductor disminuye y empieza a caer de regreso a $0$‍.

Después de un rato, el voltaje alcanzará un valor máximo negativo. El voltaje será negativo, y un poco menor que el original $v_{\text{C}}(0)$‍ donde empezó el capacitor. ¿Te acuerdas del resistor? Está drenando energía del circuito, de modo que el pico negativo del voltaje no es tan alto como al inicio. La carga se deja de mover por un breve momento cuando el voltaje alcanza un pico, así que la corriente cae a $0$‍.

La imagen anterior es casi la misma que donde empezamos. La corriente está de regreso en cero y el voltaje está en un valor máximo (un poco menor). Podemos regresar al principio de la historia y volverla a contar de la misma manera, excepto que la carga se estará moviendo de la placa inferior del capacitor a la superior. Aquí está el resultado después de un ciclo completo:

Al final de un ciclo estamos de regreso donde empezamos, pero con algo de energía eliminada del sistema. La carga continuará pasando de una placa del capacitor a la otra, perdiendo un poco de energía cada vez, hasta que eventualmente el sistema llegue a un estado de reposo.

El circuito $\text{LC}$‍ es el análogo a un oscilador mecánico, el péndulo que oscila sin fricción. El circuito $\text{RLC}$‍ tiene un análogo mecánico parecido. Agregarle el resistor al circuito $\text{RLC}$‍ es equivalente a agregar la resistencia del aire para hacer que el péndulo disipe energía y se detenga.

A medida que un péndulo oscila, la fricción debida a la resistencia del aire disipa energía, y cada oscilación se vuelve más y más corta hasta que el péndulo se deja de mover. Si la resistencia del aire es baja, el péndulo oscila mucho tiempo antes de detenerse. Si es muy alta, el péndulo cae una sola vez lentamente hasta el centro y se detiene. Para un valor preciso, el péndulo caerá hasta el centro tan rápido como pueda, sin pasarse y sin regresar.

Nuestro circuito $\text{RLC}$‍ va a mostrar el mismo tipo de comportamiento a medida que su corriente y su voltaje oscilen. (Otra buena analogía mecánica es un peso que cuelga de un resorte. Si jalas el peso hacia abajo y lo sueltas, su movimiento hacia arriba y hacia abajo es parecido a la oscilación del péndulo).

¿Te acuerdas que supusimos que el resistor era relativamente pequeño? Una resistencia pequeña permite que el sistema oscile un rato. ¿Qué crees que pasará si el resistor es más grande? (Pista: ¿cuánto tiempo oscilaría un péndulo si hubiera más fricción en el soporte?).

En los siguientes dos artículos vamos a descubrir de manera precisa cómo funciona el $\text{RLC}$‍ al hacer una derivación formal de la respuesta natural. Seremos capaces de predecir la frecuencia de oscilación y veremos qué tan rápido se desvanece la señal.

Seguimos el movimiento de la carga en un circuito $\text{RLC}$‍ a lo largo del tiempo. Comenzamos con una carga en el capacitor y cerramos el interruptor. La carga fluyó hacia adelante y hacia atrás de una placa del capacitor a la otra, pasando a través del inductor y el resistor en ambas direcciones.

A medida que la corriente pasa por el inductor, se almacena energía en el campo magnético que rodea al inductor. Esa energía regresa al circuito empujando la carga.

Cada ciclo de oscilación es un poco menor que el anterior, debido a la energía que se pierde cuando la carga en movimiento calienta el resistor.

El péndulo es una analogía mecánica del circuito eléctrico $\text{RLC}$‍. Te ayuda a visualizar lo que está pasando en el circuito.