Contenido principal
Ingeniería eléctrica
Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2
Lección 4: Respuesta natural y forzada- Las ecuaciones de corriente y voltaje de un capacitor
- Un capacitor integra la corriente
- La ecuación de corriente y voltaje de un capacitor en acción
- Las ecuaciones de un inductor
- Voltaje inductivo de retroceso (1 de 2)
- Voltaje inductivo de retroceso (2 de 2)
- La ecuación de corriente y voltaje de un inductor en acción
- La respuesta natural de un circuito RC. Ideas intuitivas
- La respuesta natural de un circuito RC. Derivación
- La respuesta natural de un circuito RC. Ejemplo
- La respuesta natural de un circuito RC
- La respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón. Ideas intuitivas
- Preparación para la respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón (parte 1 de 3)
- Solución a la respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón (parte 2 de 3)
- Ejemplo sobre la respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón (parte 3 de 3)
- La respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón
- La respuesta natural de un circuito RL
- Esbozar exponenciales
- Esbozar exponenciales. Ejemplos
- Ideas intuitivas acerca de la respuesta natural de un circuito LC (parte 1)
- Ideas intuitivas acerca de la respuesta natural de un circuito LC (parte 2)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 1)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 2)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 3)
- Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 4)
- Ejemplo de la respuesta natural de un circuito LC
- La respuesta natural de un circuito LC
- La respuesta natural de un circuito LC. Deducción
- La respuesta natural de un circuito RLC. Ideas intuitivas
- La respuesta natural de un circuito RLC. Deducción
- La respuesta natural de un circuito RLC. Variaciones
© 2023 Khan AcademyTérminos de usoPolítica de privacidadAviso de cookies
La respuesta natural de un circuito RLC. Variaciones
La respuesta natural del circuito RLC cae en una de tres categorías: sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado. Escrito por Willy McAllister.
Introducción
La respuesta natural de un circuito con un resistor, un inductor y un capacitor left parenthesis, start text, R, L, C, right parenthesis, end text puede tomar tres formas diferentes, dependiendo de los valores específicos de sus componentes.
En dos artículos anteriores, cubrimos una descripción intuitiva de cómo se comporta el circuito start text, R, L, C, end text y llevamos a cabo una derivación formal en donde modelamos el circuito con una ecuación diferencial de 2.º orden y resolvimos un circuito específico de ejemplo. En este artículo, nos fijamos con detalle en la ecuación característica y le damos nombres a las diferentes soluciones.
Qué vamos a construir
La ecuación característica del circuito start text, R, L, C, end text es:
Vamos a encontrar las raíces de la ecuación característica mediante el uso de la fórmula cuadrática:
Al sustituir las variables alpha y omega, start subscript, o, end subscript podemos escribir s de manera un poco más sencilla como:
donde:
alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction, comma omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction
alpha se llama el factor de amortiguamiento y omega, start subscript, o, end subscript es la frecuencia de resonancia.
Dependiendo del tamaño relativo de alpha y de omega, start subscript, o, end subscript, habrá tres formas diferentes para la solución para i, left parenthesis, t, right parenthesis,
- sobreamortiguado, alpha, is greater than, omega, start subscript, 0, end subscript, conduce a la suma de dos exponenciales decrecientes.
- críticamente amortiguado, alpha, equals, omega, start subscript, 0, end subscript, nos da t multiplicado por una exponencial decreciente.
- subamortiguado, alpha, is less than, omega, start subscript, 0, end subscript; conduce a un seno decreciente.
Modelar y resolver el circuito: repaso
En un artículo anterior creamos y resolvimos una ecuación diferencial de 2o. orden que modela el circuito start text, R, L, C, end text. Esa ecuación se ve así:
Propusimos una solución con una forma exponencial (la cual nos funcionó bastante bien), y encontramos lo que se llama la ecuación característica, que tiene esta forma:
Encontramos s, la raíces de la ecuación característica del circuito start text, R, L, C, end text, al usar la fórmula cuadrática,
Al sustituir las variables alpha y omega, start subscript, o, end subscript escribimos s de manera un poco más sencilla como:
donde
alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction y omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction
alpha se llama "factor de amortiguamiento" y omega, start subscript, o, end subscript se llama "frecuencia de resonancia".
Revisamos nuestra solución propuesta para que tenga esta forma:
Ahora vemos más de cerca la expresión para s, las raíces de la ecuación característica del circuito start text, R, L, C, end text y el impacto que tiene en la solución para i.
La solución exacta
Si queremos una solución exacta para algunos valores particulares de start text, R, end text, start text, L, end text y start text, C, end text, hacemos un cálculo como el que hicimos en el artículo anterior para el circuito de ejemplo. De manera alternativa, podemos introducir el circuito en un simulador de circuitos para ayudarnos a encontrar un resultado.
Sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado
Podemos darnos una idea de la riqueza de la respuesta natural al ver tres posibles resultados en un sentido cualitativo.
La solución para s depende del signo de la resta que está dentro del término de la raíz cuadrada en la ecuación:
Cómo resultan ser las raíces:
| Relación | Signo de alpha, squared, minus, omega, squared | Apodo | s |
|---|---|---|---|
| alpha, is greater than, omega, start subscript, o, end subscript | plus | Sobreamortiguado | 2 raíces reales |
| alpha, equals, omega, start subscript, o, end subscript | 0 | Críticamente amortiguado | 2 raíces repetidas |
| alpha, is less than, omega, start subscript, o, end subscript | minus | Subamortiguado | 2 raíces complejas |
Cómo resulta ser la respuesta, i, left parenthesis, t, right parenthesis:
| Relación | Signo de alpha, squared, minus, omega, squared | Apodo | i, left parenthesis, t, right parenthesis |
|---|---|---|---|
| alpha, is greater than, omega, start subscript, o, end subscript | plus | Sobreamortiguado | 2 exponenciales decrecientes |
| alpha, equals, omega, start subscript, o, end subscript | 0 | Críticamente amortiguado | t, dot exponencial decreciente |
| alpha, is less than, omega, start subscript, o, end subscript | minus | Subamortiguado | Seno decreciente |
Si tus estudios de ingeniería te llevan al área de Teoría de Control, estos términos se usan para describir cómo actúan los sistemas dinámicos. Por ejemplo, el movimiento de los brazos de un robot se puede describir con una ecuación diferencial de segundo orden. Si le pides a tu robot que alcance un objeto rápidamente, puedes describir cómo se mueve su mano por medio de estas palabras.
Vamos a echarle un vistazo a los tres posibles resultados con un poco más de detalle.
alpha, squared, minus, omega, squared, is greater than, 0, colon sobreamortiguado
Bajo esta condición, el término omega, start subscript, o, end subscript, squared es pequeño con relación a alpha, squared, entonces sabemos que la expresión dentro de la raíz cuadrada será positiva. También sabemos que la expresión de la raíz cuadrada será más pequeña que alpha. Esto significa que s será dos números reales, ambos negativos.
s, start subscript, 1, end subscript, equals, minus, start text, n, u, with, \', on top, m, e, r, o, space, r, e, a, l, end text, start subscript, 1, end subscript y s, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, start text, n, u, with, \', on top, m, e, r, o, space, r, e, a, l, end text, start subscript, 2, end subscript
(Convéncete de que tanto s, start subscript, 1, end subscript como s, start subscript, 2, end subscript serán negativos).
La corriente será la superposición de dos exponenciales reales que decrecen hacia cero.
Se dice que el circuito está sobreamortiguado porque las dos exponenciales superpuestas están llevando la corriente a cero.
Un circuito estará sobreamortiguado si la resistencia es alta en relación a la frecuencia de resonancia.
alpha, squared, minus, omega, squared, equals, 0, colon críticamente amortiguado
La frontera entre subamortiguado y sobreamortiguado ocurre cuando alpha, equals, omega, start subscript, o, end subscript. El factor de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia están balanceadas, y el término dentro de la raíz cuadrada se hace 0. Las raíces de la ecuación característica, s, son dos números reales idénticos, llamados raíces repetidas:
Resolver una ecuación diferencial de 2.º orden con raíces repetidas es un poco complicado. No voy a hacer la deducción aquí, pero en lugar de eso te voy a referir a un video que trata acerca de resolver las raíces repetidas. Bienvenido de vuelta... Con las raíces repetidas, la respuesta es una exponencial multiplicada por t.
Se dice que esta respuesta es críticamente amortiguada.
alpha, squared, minus, omega, squared, is less than, 0, colon subamortiguado
Cuando alpha es más pequeña que omega, start subscript, o, end subscript, el término de la raíz cuadrada tiene un número negativo adentro, y s resulta ser dos números complejos conjugados, con partes real e imaginaria. El circuito de ejemplo que trabajamos en artículo de la deducción de la respuesta natural del circuito RLC es un sistema subamortiguado.
La corriente se ve como una onda de seno que disminuye a través del tiempo. Piensa en el sonido que hace una campana cuando la golpeas. La nota de la campana resuena y se desvanece a través del tiempo. Ese es un sistema mecánico subamortiguado de segundo orden. Para los circuitos eléctricos de segundo orden, pedimos prestado el término y decimos que un sistema subamortiguado "resuena" a una frecuencia de aproximadamente omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction, point
Si dejamos que la resistencia se haga muy pequeña y eventualmente se vaya a 0, entonces alpha, equals, start text, R, end text, slash, 2, start text, L, end text se va a cero y s, start subscript, 1, comma, 2, end subscript se vuelve omega, start subscript, o, end subscript. El circuito se vuelve puramente una configuración start text, L, C, end text. Cuando analizamos la respuesta natural del circuito LC, encontramos una onda sinusoidal que duraba para siempre. (En la vida real, start text, R, end text en realidad nunca es 0, así que siempre se pierde algo de energía. Una campana no resuena para siempre).
El primer circuito de ejemplo que trabajamos anteriormente en este artículo tenía start text, R, end text, equals, 2, \Omega, comma, start text, L, end text, equals, 1, start text, H, end text y start text, C, end text, equals, 1, slash, 5, start text, F, end text, point
No vamos a repetir la solución, pero aquí hay algunas observaciones al usar la notación de alpha y omega, start subscript, o, end subscript.
El factor de amortiguamiento, alpha, es
La frecuencia de resonancia, omega, start subscript, o, end subscript, es
Al ver los términos dentro de la raíz cuadrada:
alpha, squared, minus, omega, squared, equals, 1, squared, minus, square root of, 5, end square root, squared, equals, minus, 4, equals, un número negativo, el cual vimos que conduce a una solución de un seno decreciente. Por lo tanto, describiríamos el circuito de ejemplo como un sistema subamortiguado.
Resumen
El circuito start text, R, L, C, end text es el equivalente electrónico de un péndulo con fricción.
El circuito se puede modelar con esta ecuación diferencial lineal de 2o. orden:
La ecuación característica resultante es:
Encontramos las raíces de la ecuación característica mediante el uso de la fórmula cuadrática:
Al sustituir las variables alpha y omega, start subscript, o, end subscript escribimos s de manera un poco más sencilla como:
donde
alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction y omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction
Dependiendo del tamaño relativo entre alpha y omega, start subscript, o, end subscript, encontramos tres formas distintas para la solución:
- sobreamortiguado, alpha, is greater than, omega, start subscript, 0, end subscript; conduce a la suma de dos exponenciales decrecientes.
- críticamente amortiguado, alpha, equals, omega, start subscript, 0, end subscript; conduce a t multiplicado por la exponencial decreciente.
- subamortiguado, alpha, is less than, omega, start subscript, 0, end subscript; conduce a un seno decreciente.
¿Quieres unirte a la conversación?
Sin publicaciones aún.