Las ecuaciones de corriente y voltaje de un capacitor

vamos a hablar sobre las ecuaciones que describen cómo funciona un capacitor y luego veremos un ejemplo de cómo funcionan estas ecuaciones la ecuación básica de un capacitor dice que la carga q en un capacitor es igual a la capacitancia ce multiplicada por el voltaje que pasa a través del capacitor este es nuestro capacitor y digamos que tiene un voltaje más menos b y decimos que tiene una capacitancia de valor ce y es una propiedad de este dispositivo y se es igual viendo la ecuación de aquí es igual a la proporción de la carga almacenada en el capacitor entre el voltaje que pasa a través de este nos referimos a la carga almacenada a que cuando la corriente pasa por este capacitor va a dejar cierta carga extra en esta parte de arriba que estoy dibujando con signos demás y tendrá su conjunto correspondiente de cargas negativas aquí abajo en la otra placa del capacitor a esta colección de carga extra le vamos a llamar pumas y a esta colección de carga extra aquí abajo le vamos a llamar con menos y van a tener el mismo valor y decimos que cuando el capacitor está en este estado va a almacenar esta carga y nombramos cualquiera de estos números de aquí que serán iguales pero con signos opuestos y esto significa cuando un capacitor almacena carga y ahora quiero desarrollar un tipo de expresión que relaciona la corriente que pasa por un capacitor con el voltaje así que queremos desarrollar una ecuación característica y ve algo que corresponda a la ley de ohm pero para el capacitor que relaciona a la corriente con el voltaje y vamos a hacerlo usando esta ecuación pero aplicándole ciertos cambios en particular vamos a cambiar el voltaje de este capacitor y veremos qué sucede acá y cuando decimos que vamos a cambiar el voltaje quiere decir que vamos a tener una condición dv dt el cambio de voltaje entre el cambio en el tiempo y puedo hacerlo encontrando la derivada en ambos lados de esta ecuación ya lo hice para este lado y voy a hacerlo para este otro lado y aquí me queda de q dt y tomamos la derivada en ambos lados para asegurarnos de que estamos tratando igual ambos lados de la ecuación veamos esta expresión que es bastante interesante este es el cambio en la carga entre el cambio en el tiempo y esto es la corriente el símbolo de la corriente es y así que dq dt es la corriente por definición le damos el símbolo y y esto va a ser igual a c dv dt y esta es una ecuación importante básicamente es la relación y ve que estábamos buscando la relación voltaje corriente en un capacitor y nos dice que la corriente es proporcional y nuestra constante de proporcionalidad es c y la corriente es proporcional a la tasa de cambio de el voltaje no al voltaje en sí mismo sino a la tasa de cambio del voltaje ahora veamos si podemos encontrar ave en términos de alguna expresión que tenga ahí y para hacerlo necesito eliminar esta derivada de aquí y para hacerlo voy a realizar la integral y para hacerlo voy a calcular la integral de este lado de la expresión y al mismo tiempo voy a calcular la integral del otro lado de esta igualdad para mantener todo igual y nos queda la integral de y con respecto al tiempo es igual a la integral de c dv dt con respecto al tiempo de este lado estos términos se cancelan y me queda la integral de se debe por lo que luce como una anti derivada es una integral actuando como una anti derivada y qué función tiene una derivada que sea debe pues va a ser b así que voy a reescribir este lado de la ecuación que es una constante por lo que la voy a sacar y aquí me queda ve solita y esto es igual a la integral de i dt así que aquí estamos desarrollando lo que se llama la forma integral de la ecuación y b del capacitor ahora tengo que encontrar cuáles son los límites de esta integral los límites de esta integral son básicamente desde el tiempo igual a menos infinito hasta el tiempo igual al tiempo t mayúscula que digamos es el tiempo actual y esto es igual a la capacitancia por el voltaje quitamos se lo ponemos del otro lado y ahora vamos a poner a b del lado izquierdo así que me queda de igual a 1 en 13 por la integral del dt que va de menos infinito hasta t mayúscula estate mayúscula es el tiempo actual y esto nos dice que el voltaje en un capacitor tiene que ver con la suma o la integral de la corriente durante toda su vida desde que el tiempo es igual a menos infinito y esto no es muy conveniente lo que vamos a hacer ahora es elegir un tiempo y le vamos a llamar de igual a cero y vamos a decir que el voltaje en el capacitor era igual a cero y ahora lo que vamos a hacer es cambiar el límite en nuestra integral de menos infinito e igual a cero y ahora haremos la integral desde cero hasta el tiempo que nos interesa así que esta ecuación va a lucir así lo único que hicimos fue cambiar los límites de nuestra integral ya tenemos la integral con los nuevos límites pero ahora tenemos que tomar en cuenta el tiempo antes de este igual a cero y lo que vamos a hacer es básicamente sumar de cero cualquiera que sea esta vez cero va a ser nuestro punto inicial en el tiempo igual a cero y la integral nos lleva del tiempo igual a cero hasta mi tiempo igual a t el tiempo actual esta es la forma integral de la ecuación del capacitor y vamos a hacer un cambio más esta es mi función con respecto a la t mayúscula pero lo que yo quiero es tener mi función en términos de t minúscula así es como nos gusta que luzca esta ecuación así que los límites de mi integral van de cero hasta t minúscula y ahora necesito encontrar un reemplazo para esta de t puedo llamarla de forma distinta esto es y ya esto le voy a llamar tau que es una variable falsa de tal más de cero y esta es la forma integral de la ecuación del capacitor tenemos la otra forma de la ecuación que es igual a c mayúscula dv de t y estas son las dos formas de la ecuación del capacitor ahora veremos un ejemplo con esta ecuación simplemente para ver cómo funciona cuando tenemos un circuito con un capacitor