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Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada

Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 1)

Comenzamos el cálculo de la respuesta natural del circuito LC al modelarlo con una ecuación diferencial de 2o. orden. Creado por Willy McAllister.

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Transcripción del video

en este vídeo comenzaremos a hacer la deducción formal de la respuesta natural de un circuito el s la respuesta de un circuito inductor capacitor y esta es una deducción difícil pero al final tendremos una buena recompensa por hacerlo ya que veremos que es aquí donde se forman las ondas senoidal es y este es un resultado genial porque las ondas senoidal es se encuentran en todas partes tanto en la electrónica como en el mundo natural vamos a comenzar poniendo una carga en este capacitor y la corriente del circuito y va a comenzar en cero así que y cero es igual a cero esta es la corriente a través de este circuito lo que significa que esta corriente también existe de este lado pongamos un interruptor en este circuito y vamos a cerrar el interruptor cuando te sea igual a cero así que una de las variables que vamos a usar es kim y la otra variable va a ser be be es este voltaje de aquí después de que se cierre el interruptor así que queremos encontrar ahí llave y para esto nos vamos a enfocar en encontrar ahí ya que si encontramos ahí será muy sencillo encontrar ave así que esta va a ser nuestra variable independiente la corriente comencemos el análisis y cuando el tiempo te sea igual a 0 la carga que se encuentra aquí va a comenzar a fluir en el circuito y tanto el voltaje como la corriente van a comenzar a cambiar así que comencemos escribiendo algunas cosas que sabemos que son verdaderas acerca de nuestros componentes comencemos con el capacitor comenzamos escribiendo la expresión para nuestro capacitor y aquí va a haber un cambio de signo así que hay que tener cuidado si yo tengo ve en un capacitor y en un capacitor puedo decir que el capacitor va a ser igual hace por debe ser porque es el capacitor dt y si vemos aquí bc es la misma que la ve que tenemos aquí el signo positivo arriba aquí y acá también el signo negativo por lo que a veces son iguales pero con y debemos tener cuidado y se encuentra en la dirección opuesta a la corriente que elegí como variable independiente así que esto está invertido así que nuestra y tendrá un signo negativo está ahí es igual a menos se debe dt y esta es la ecuación y ve de este circuito en particular que tiene este signo negativo extra ahora voy a escribir la forma integral de la ecuación y ved el capacitor b es igual a 1 en 13 que multiplica a la integral de i dt y no olvidemos nuestro signo negativo ahora encontremos el voltaje a través de nuestro inductor el voltaje del inductor es igual a la misma variable b igual a l por el dt y aquí no tenemos un signo negativo extra esto tiene el signo de acuerdo a la convención de los componentes pasivos así que tenemos una expresión para b en él pastor y una expresión para ver en el inductor y sabemos que ambos son el mismo voltaje así que pongamos estas cosas juntas podemos decir que el del dt es igual a menos 1 en 13 por la integral de i dt lo único que hicimos fue igualar estas ecuaciones que son del mismo voltaje y ahora vamos a manipular las un poco tenemos que el del dt más 1 en 13 por la integral de i dt es igual a 0 simplemente pusimos todos los términos del lado izquierdo y dejamos 0 en el lado derecho y ya que no estoy acostumbrada a tener integrales aquí en estas ecuaciones realmente yo prefiero tener derivadas ya que tengo cierta experiencia con ecuaciones diferenciales así que vamos a tomar la derivada de toda esta ecuación vamos a encontrar la derivada con respecto a t de todo esto de aquí y esto nos da la segunda derivada de este primer término tenemos l por la segunda derivada de y con respecto al tiempo más 1 en 13 y la derivada de la integral de y dt resulta que es simplemente iu y la derivada de 0 en este lado es igual a 0 y esta es la ecuación diferencial del circuito lc y tiene un nombre es una ecuación diferencial ordinaria homogénea de segundo orden es una ecuación diferencial porque tiene derivadas es homogénea porque sólo tiene derivadas de i con respecto a t y nada más el indicador es que tenemos este lado igual a cero no tenemos ningún término forzado de este lado así que cuando podemos escribir la ecuación de esta manera decimos que es homogénea y es de segundo orden porque tiene esta segunda derivada aquí así que tenemos nuestra ed o homogénea de segundo orden establecida y en el siguiente vídeo la vamos a resolver la resolveremos paso a paso