Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 1)

en este vídeo comenzaremos a hacer la deducción formal de la respuesta natural de un circuito el s la respuesta de un circuito inductor capacitor y esta es una deducción difícil pero al final tendremos una buena recompensa por hacerlo ya que veremos que es aquí donde se forman las ondas senoidal es y este es un resultado genial porque las ondas senoidal es se encuentran en todas partes tanto en la electrónica como en el mundo natural vamos a comenzar poniendo una carga en este capacitor y la corriente del circuito y va a comenzar en cero así que y cero es igual a cero esta es la corriente a través de este circuito lo que significa que esta corriente también existe de este lado pongamos un interruptor en este circuito y vamos a cerrar el interruptor cuando te sea igual a cero así que una de las variables que vamos a usar es kim y la otra variable va a ser be be es este voltaje de aquí después de que se cierre el interruptor así que queremos encontrar ahí llave y para esto nos vamos a enfocar en encontrar ahí ya que si encontramos ahí será muy sencillo encontrar ave así que esta va a ser nuestra variable independiente la corriente comencemos el análisis y cuando el tiempo te sea igual a 0 la carga que se encuentra aquí va a comenzar a fluir en el circuito y tanto el voltaje como la corriente van a comenzar a cambiar así que comencemos escribiendo algunas cosas que sabemos que son verdaderas acerca de nuestros componentes comencemos con el capacitor comenzamos escribiendo la expresión para nuestro capacitor y aquí va a haber un cambio de signo así que hay que tener cuidado si yo tengo ve en un capacitor y en un capacitor puedo decir que el capacitor va a ser igual hace por debe ser porque es el capacitor dt y si vemos aquí bc es la misma que la ve que tenemos aquí el signo positivo arriba aquí y acá también el signo negativo por lo que a veces son iguales pero con y debemos tener cuidado y se encuentra en la dirección opuesta a la corriente que elegí como variable independiente así que esto está invertido así que nuestra y tendrá un signo negativo está ahí es igual a menos se debe dt y esta es la ecuación y ve de este circuito en particular que tiene este signo negativo extra ahora voy a escribir la forma integral de la ecuación y ved el capacitor b es igual a 1 en 13 que multiplica a la integral de i dt y no olvidemos nuestro signo negativo ahora encontremos el voltaje a través de nuestro inductor el voltaje del inductor es igual a la misma variable b igual a l por el dt y aquí no tenemos un signo negativo extra esto tiene el signo de acuerdo a la convención de los componentes pasivos así que tenemos una expresión para b en él pastor y una expresión para ver en el inductor y sabemos que ambos son el mismo voltaje así que pongamos estas cosas juntas podemos decir que el del dt es igual a menos 1 en 13 por la integral de i dt lo único que hicimos fue igualar estas ecuaciones que son del mismo voltaje y ahora vamos a manipular las un poco tenemos que el del dt más 1 en 13 por la integral de i dt es igual a 0 simplemente pusimos todos los términos del lado izquierdo y dejamos 0 en el lado derecho y ya que no estoy acostumbrada a tener integrales aquí en estas ecuaciones realmente yo prefiero tener derivadas ya que tengo cierta experiencia con ecuaciones diferenciales así que vamos a tomar la derivada de toda esta ecuación vamos a encontrar la derivada con respecto a t de todo esto de aquí y esto nos da la segunda derivada de este primer término tenemos l por la segunda derivada de y con respecto al tiempo más 1 en 13 y la derivada de la integral de y dt resulta que es simplemente iu y la derivada de 0 en este lado es igual a 0 y esta es la ecuación diferencial del circuito lc y tiene un nombre es una ecuación diferencial ordinaria homogénea de segundo orden es una ecuación diferencial porque tiene derivadas es homogénea porque sólo tiene derivadas de i con respecto a t y nada más el indicador es que tenemos este lado igual a cero no tenemos ningún término forzado de este lado así que cuando podemos escribir la ecuación de esta manera decimos que es homogénea y es de segundo orden porque tiene esta segunda derivada aquí así que tenemos nuestra ed o homogénea de segundo orden establecida y en el siguiente vídeo la vamos a resolver la resolveremos paso a paso