Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 2)

en el vídeo anterior encontramos esta ecuación diferencial que describe un circuito lc y ahora vamos a resolver este circuito de segundo orden la técnica que usaremos aquí es la misma que nos sirvió para resolver las ecuaciones diferenciales de primer orden necesitamos una función de iu que haga que toda esta ecuación sea verdadera y vamos a hacerlo proponiendo una y sustituyendo la en la ecuación y ver si funciona si funciona ganamos si no tendremos que pensar en otra cosa y seguiremos haciendo esto hasta que lo resolvamos sabiendo lo que conocemos sobre derivadas y viendo esta ecuación me puedo imaginar una posible solución aquí tenemos dos términos cuya suma tiene que ser igual a cero durante todo el tiempo vamos a escribir esta ecuación así quitamos esta constante de acá aquí lo que tenemos es un factor de escala que multiplica a y que tiene que restarse por completo a la segunda derivada de esta ahí así que estos dos términos tienen que lucir muy similares el tiempo y conozco una función cuyas derivadas lucen como con lo que iniciamos y es la función exponencial así que voy a suponer que y dt tiene la forma de una constante por la exponencial de st la exponencial del tiempo por algún otro factor k es un parámetro ajustable y es la amplitud nos va a decir qué tan grande es la señal y qué es ese es está en el exponente junto con t y sabemos que al momento de tomar la exponencial de cualquier cosa lo que sea que tengamos aquí arriba no debe tener unidades lo que significa que esta multiplicación no debe tener unidades y si es está multiplicando a t entonces ese tendrá unidades de 1 entre tiempo así que ese es una frecuencia y en particular va a ser una frecuencia en radiales van a ser radiales por segundo así que a ese le llamaremos la frecuencia natural ahora vamos a sustituir está ahí en nuestra ecuación para ver si se cumple sustituimos y directamente aquí y necesitamos la segunda derivada de y así que primero debemos encontrar la primera derivada del y es igual a del dt de acá por el ala st y esto va a ser igual acá por s por el ala st así que sigue siendo una exponencial y ahora necesitamos la segunda derivada así que vamos a tomar la derivada de esto que acabamos de encontrar la segunda derivada de y con respecto al tiempo es igual a la derivada con respecto al tiempo de nuestra primera derivada que es s por cada x a la sct aquí baja otra s por lo que tenemos s al cuadrado por k por el ala st ya tenemos nuestra segunda derivada que vamos a poner aquí la sustituimos y tenemos s al cuadrado porque x a la st 1 / l c porque por el ala st igual a 0 vamos a sacar el factor común que tenemos aquí que es acá y ala st que multiplica a s al cuadrado más 1 entre l c todo esto igual a cero aquí cuántos parámetros ajustables tenemos pues tenemos acá y a ese nada más tenemos a estos dos se le dice son constantes que son los valores de nuestro circuito así que necesitamos encontrar los valores de acá y de ese para que esta ecuación sea igual a cero cada podría ser cero por lo que nuestra amplitud sería igual a cero lo que significa que si ponemos nada en el circuito pues también tendremos nada como resultado lo que es totalmente aburrido esta no es una solución interesante a la ese porte se vuelve cero alguna vez y algo nunca se vuelve cero si yo dejara que te llegara a más infinito y ese fuera un número negativo entonces si es a la ese porte sería cero pero si hay que esperar que éste se vuelve a infinito pues hay que esperar muchísimo tiempo y no queremos esperar tanto así que la solución interesante es s al cuadrado más 1 / l x c igual a cero y a esta ecuación le llamamos la ecuación característica veamos qué sucede cuando tratamos de resolver esto el primer paso es tener s al cuadrado igual a menos 1 entre l por c o s igual a la raíz cuadrada de menos 1 entre l porsche y vean lo que tenemos aquí la raíz cuadrada de un número negativo que va a suceder aquí pues nuestra respuesta va a ser un número imaginario podemos escribir esto como la raíz cuadrada de menos 1 por la raíz cuadrada de uno entre el porsche y esto me va a dar dos respuestas a la primera respuesta le vamos a llamar ese 1 y va a ser igual a jota que es nuestro número imaginario que es la raíz cuadrada de menos 1 para los ingenieros eléctricos multiplicado por la raíz cuadrada de 1 entre l porsche y nuestra respuesta s 2 es el negativo de esto igual a menos jota por raíz cuadrada de uno entre l porsche estas son dos posibles soluciones a nuestra ecuación diferencial y vamos a darle un sobrenombre a esta expresión de aquí ya que no quiero escribir tanto vamos a llamar omega 0 a la raíz cuadrada de 1 entre l por c esta es la letra griega o mega pero en minúscula esta es la omega mayúscula la que usamos para homs pero la omega minúscula se usa para esta variable así que puedo decir que ese 1 es igual a j omega 0 positivo y s2 es igual a menos j omega 0 vamos a usar esta anotación pero recuerden que es solamente una sustitución tenemos dos raíces diferentes que pueden hacer que nuestra ecuación diferencial sea 0 así que vamos a combinarlas para tener una solución para y decimos que es igual y vamos a usar una combinación de estas respuestas ya que no sabemos cuál de ellas es incluso podrían ser ambas podrían estar superpuestas y justo para esto sirve la superposición ahora también necesitaremos dos constantes esto es igual a cada uno por el a la s 1 t mascados por el ala s 2 t es igual a cada uno por el sustituimos la s 1 por más j omega 0 t cada dos por el ala menos j omega 0 t y esta es mi solución propuesta y encontramos dos valores para nuestra s y ahora necesitamos encontrar estas dos constantes en el siguiente vídeo usaremos las condiciones iniciales para encontrar los valores de k1 y k2