Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 3)

en el vídeo anterior tratamos de adivinar cuál era la solución para nuestra ecuación diferencial y llegamos a una exponencial como respuesta y conforme hicimos el análisis desarrollamos la ecuación característica y terminamos con una respuesta compleja para uno de los parámetros ajustables que es la frecuencia natural de nuestro circuito esta es la forma de nuestra solución propuesta y luce complicada pero no se preocupen vamos a simplificar la muy pronto tenemos dos soluciones para ese s1 y s2 que pusimos como más o menos j omega 0 y tenemos otros parámetros ajustables de amplitud que tenemos que encontrar en este vídeo vamos a seguir resolviendo nuestra ecuación diferencial y algo que vamos a hacer aquí es algo muy importante en la electrónica y en general también vamos a usar la fórmula de oyler que de hecho son dos fórmulas vamos a usar estas fórmulas para saber qué hacer con estos términos exponenciales complejos si ustedes buscan este término en khan academy se encontrarán una explicación de dónde vienen estas expresiones pero aquí solamente las vamos a enunciar y la fórmula de hoy leer es el elevado a la jota por equis cualquier cosa aquí arriba es igual al coseno de x más jota seno de x esta es una de las fórmulas la otra fórmula nos dice que a la menos jx es igual a coseno de x menos j por seno de x estas no son útiles porque tienen esta función con la unidad compleja dentro de ellas y si vemos este lado tenemos un número complejo digamos que normal el coseno de x es un número que se encuentra entre más y menos uno seno de x es un número que se encuentra entre más y menos uno y es un número complejo normal así que esto nos puede ayudar a simplificar nos la vida conforme resolvemos esto así que estas son fórmulas muy importantes y las vamos a usar para resolver nuestro circuito lc vamos a reescribir nuestras exponenciales usando la fórmula de hoy leer se va a hacer un poco grande pero verán que pronto va a hacerse más pequeño es igual a cada uno por el ala más j omega 0 t así que usemos esta fórmula de acá por el coseno x es omega 0 por t más j por seno de omega 0 t ya transformamos nuestro primer término ahora vamos a hacer lo mismo con el segundo término y para éste vamos a usar la segunda fórmula de hoy leer más k 2 por ahora tenemos el negativo en el exponente por coseno de omega 0 t - j por el seno de omega 0 t aquí ya tenemos extendida todas nuestra solución vamos a reducir la vamos a poner juntos todos los términos de coseno y haremos lo mismo con todos los términos de seno y es igual coseno de omega 0 t y el coche no está x cada uno más k 2 a esto le sumamos tenemos jota seno y j seno así que lo vamos a escribir aquí este es el omega 0 t por aquí ponemos la j y va a estar x que pues tenemos aquí acá 1 y ahora tenemos este signo negativo que hace que tengamos una menos que 2 así que tenemos que la corriente es igual a un número que multiplica a coseno de omega 0 t más j que multiplica a otro número por este seno estas son dos constantes arbitrarias así que vamos a inventar otra constante que le vamos a llamar a 1 aún no es igual a cada uno más caros y ésta será a 2 que va a ser igual aquí incluyo a la j k 1 - k 2 y ahora podemos reescribir todo esto como como y igual a 1 coseno omega 0 t más a 2 seno omega 0 t de aquí en adelante vamos a trabajar con estas as y si en algún momento queremos saber qué significan regresaremos a estas ecuaciones de acá una vez que yo encuentre los valores d podremos encontrar los valores de ambas casas como podemos encontrar a1 y a2 para hacer esto vamos a necesitar las condiciones iniciales recordemos que en nuestro circuito original teníamos una q aquí lo que indica que aquí también tenemos de 0 y dijimos que la corriente que pasa por aquí comenzaba en 0 estas son nuestras condiciones iniciales de cuando el tiempo es igual a 0 es igual a b 0 y la corriente cuando el tiempo es igual a 0 es igual también a 0 usaremos estos valores para encontrar a a1 y a2 esto lo haremos en el siguiente vídeo mientras seguimos encontrando la deducción de esta respuesta natural