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Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada

Deducción de la respuesta natural de un circuito LC (parte 4)

En el paso final del cálculo, encontramos dos condiciones iniciales y las utilizamos para encontrar una solución sinusoidal para la respuesta natural de un circuito LC. Creado por Willy McAllister.

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Transcripción del video

ahora vamos a usar las condiciones iniciales para encontrar los valores de nuestras constantes a1 y a2 que se encuentran en nuestra solución propuesta para la corriente del circuito lc algo que tenemos que hacer ya que esta es una ecuación de segundo orden necesitamos tener dos condiciones iniciales para la variable que estamos estudiando en este caso y en ese momento sólo tenemos una condición inicial para iu y ya que esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden vamos a necesitar dos condiciones iniciales para ahí ya tenemos una condición inicial aquí y queremos saber cuál es el dt cuando el tiempo es igual a cero el otro dato que tenemos aquí es este de cero para el voltaje cuando el tiempo es igual a cero vamos a usarlo y a sustituirlo directamente en la ecuación del inductor la ecuación del inductor cuando t es igual a cero el voltaje que pasa a través del inductor es de cero y es igual a l de ahí de lo que significa que del dt es igual a cero entre l ahora ya tenemos dos condiciones iniciales para ir aquí tenemos una y aquí tenemos la otra y ahora podemos usarlas para encontrar a1 y a2 primero sustituyamos ahí cuando te es igual a cero y luego veamos si podemos encontrar algo aquí cuando el tiempo es igual a cero la corriente es cero y es igual a 1 por el coche no de omega 0 por t perote es igual a cero así que lo multiplicamos por 0 más a 2 por el seno de omega 0 por t perote es igual a 0 así que es omega 0 x 0 y esto a que es igual esto es seno de cero y el seno de 0 es igual a cero esto de acá es el coseno de cero y el coche no de cero es igual a 1 lo que nos da que 0 es igual a 1 si aún no es 0 quiere decir que todo este término de nuestra solución se va a cero por lo que nos quedamos con y iguala a 2 por seno de omega 0 t todo este término desaparece de la solución así que nos queda esta solución propuesta ahora tenemos que encontrar a 2 como pueden sospechar vamos a usar nuestra segunda condición inicial así que para usar nuestra segunda condición inicial tenemos que trabajar con del dt así que vamos a calcular la derivada con respecto al tiempo de toda esta ecuación del lado izquierdo nos queda de bt igual a de dt de a 2 por el seno de omega 0 t continuemos y tenemos que del dt es igual a 2 ya que esta es una constante y sale de la derivada y la derivada de seno omega 0 t con respecto a t es omega 0 por el coseno de omega 0 t ahora usamos nuestra condición inicial vayamos a cuando te es igual a 0 y sabemos que el dt es de 0 / l que es igual a 2 omega 0 coseno de omega 0 t y como t es igual a 0 lo multiplicamos por 0 y el coseno de 0 es igual a 1 ahora despejamos a 2 a 2 es igual a de cero entre el iomega serova en el denominador y ya encontramos nuestro segundo parámetro ajustable recordamos que nuestra solución propuesta era igual a 2 por el seno de omega 0 t y ahora sustituimos a 2 por lo que va a ser igual a de cero entre el omega 0 por el seno de omega 0 t y ahora vamos a sustituir el valor que teníamos para omega 0 y si recuerdan dijimos que omega 0 era igual a la raíz cuadrada de 1 entre l por c así que el omega 0 es igual a la raíz cuadrada de 1 entre l por c por l lo que es igual a la raíz cuadrada de l al cuadrado / l porsche y esto es igual a la raíz cuadrada de l entre c finalmente escribimos que uno entre el omega 0 es igual a la raíz cuadrada de c entre l al recíproco y ahora podemos escribir ahí como que es igual a la raíz cuadrada de c entre el porve 0 seno de omega 0 t y esta es la solución para la respuesta natural de un circuito el ecce tiene la forma de una onda senoidal la frecuencia está determinada por omega 0 que son los valores de ambos componentes y la amplitud está determinada por la energía con la que comenzamos que está representada aquí por b 0 y por la proporción de ambos componentes también y es por esto que al principio dije que es aquí en donde nacen las senoidal es