Ejemplo de la respuesta natural de un circuito LC

en vídeos anteriores encontramos una expresión para la corriente y en un circuito el s como este y lo que encontramos fue que y es igual a la raíz cuadrada de la capacitancia entre la inductancia por el voltaje inicial de 0 por el seno de omega 0 t omega 0 es la frecuencia natural y dijimos que omega 0 es igual a la raíz cuadrada de 1 entre l por ser de 0 es el voltaje inicial en el capacitor y en nuestra su posición original dijimos que la corriente iniciaba en 0 y esta es la expresión para la corriente ahora vamos a realizar un ejemplo en específico que dibujaré aquí abajo primero vamos a poner un interruptor de manera que podamos agregar energía que no se vaya de aquí se va a ser igual a un cuarto de un faro y eleva a ser igual a un henry y en el capacitor voy a poner la carga suficiente para llegar a 10 volts antes de que cerremos el interruptor y cuando te es igual a 0 cerramos el interruptor y queremos encontrar ahí dt tenemos a l tenemos hacer tenemos un voltaje inicial por lo que tenemos todo lo necesario para encontrar la corriente primero vamos a encontrar a omega 0 omega 0 es igual a la raíz cuadrada de 1 entre l por c que es igual a la raíz cuadrada de 1 entre l es un henri por sé que es un cuarto de farah esto es igual a la raíz cuadrada de 4 que es igual a 2 que es igual a 2 y esto tiene unidades de radiales por segundo esta es la frecuencia natural ya tenemos la frecuencia natural y podemos calcular lo demás y es igual a la raíz cuadrada de un cuarto de farah entre un henri por 1000 es igual a 10 volts seno de omega 0 t omega 0 es 2 por t finalmente y va a ser igual a la raíz cuadrada de un cuarto o un medio un medio por 10 5 y es igual a 5 por el seno de 2 t así que para este circuito en específico esta es la respuesta para esta corriente de acá y les voy a mostrar cómo luce esto esta es una gráfica de iu de t igual a 5 por el seno de 2 t y así luce esta onda seno aquí tenemos este eje del tiempo en segundos y en este otro eje tenemos los amperes que va desde los 5 amperes hasta los menos 5 amperes y continúa así para siempre y ahora lo que vamos a hacer es encontrar el voltaje en el circuito aún no hemos hablado del voltaje vamos a dibujar de nuevo el circuito aquí y aquí tenemos el voltaje entre estos dos nodos ya encontramos ahí y ahora queremos encontrar a b sabemos que es igual a 5 por el seno de 2 t y para encontrar a b1 formas más sencillas es usar la ecuación del inductor sabemos que ve es igual a él por de y dt es la ecuación básica y ve del inductor de es igual a l él es uno por del dt que es de dt de 5 por el seno de 2 t lo escribimos por acá me es igual 5 sale de la derivada por la derivada del seno de 2 t y la derivada del seno de 2 t es 2 por el coseno de 2 t por lo que la solución para nuestro voltaje es 10 por el coseno de 2 t aquí ocurrió algo interesante comenzamos con la corriente siendo una onda c no después tomamos la derivada de esa corriente de esa función seno y obtuvimos una función coseno así que pasamos de seno a coseno para el voltaje lo que significa que el voltaje no luce igual a la corriente ahora veamos una gráfica del voltaje este es el voltaje btt que encontramos es igual a 10 coseno de 2 t comienza con un valor de 10 cuando te es igual a 0 y forma una onda coseno sube y baja entre 10 y menos 10 volts ahora veamos cómo luce la gráfica tanto de y como debe en el mismo lugar y podemos ver la relación temporal entre ellas esta es la gráfica de iu de té en azul y verde t en anaranjado la corriente es la onda seno y el voltaje es la onda coseno y esto es lo que buscamos la respuesta natural de un circuito lc y aquí tenemos los valores específicos de los dos componentes y vimos que pudimos encontrar la corriente y el voltaje ambos lucen como onda senoidal es y es de aquí de donde salen las ondas senoidal es en la electrónica lo que es bastante genial