La respuesta natural de un circuito RC. Derivación

ahora lo que vamos a ver para este circuito rc es una traducción formal de cómo lucen exactamente estas dos curvas y después veremos una definición precisa de la respuesta natural ahora vamos a dibujar rápidamente nuestro circuito aquí está la resistencia aquí el capacitor tenemos un voltaje inicial de 0 en el capacitor y ahora queremos encontrar vedete aquí está r y aquí está también vamos a etiquetar las corrientes en este circuito esta es la corriente en la resistencia y esta es la corriente en el capacitor y ahora vamos a escribir las dos relaciones voltaje corriente en estos dos componentes la ley de ohm me dice que y es igual a 1 entre r por ver y la corriente en un capacitor esta es r y esta es c y la corriente en el capacitor es igual a c por dv dt estas son las dos corrientes en nuestros dispositivos ahora vamos a usar la ley de corrientes de kircos en este nodo de aquí y esto nos dice que todas las corrientes que salen de este modo su suma tiene que ser igual a cero vamos a hacerlo decimos que y se más cierre es igual a cero esto es el cec a la ley de corrientes de kirk os si por dv dt + 1 / r volver es igual a 0 ahora vamos a dividir todo en 13 y nos queda dv dt + 1 / rc por b igual a 0 y nos referimos a esta expresión de aquí como una ecuación diferencial ordinaria tiene una derivada en ella y es lo que la hace una ecuación diferencial y lado significa que es ordinaria que solo tiene una variable independiente de t ustedes pueden buscar este término de o en can academy y en los vídeos de matemáticas verán diferentes formas de resolver esta ecuación ahora vamos a hacer lo mismo aquí lo que vamos a hacer es tratar de encontrar una expresión para bebé te vamos a definir de bt de manera que esta ecuación sea verdadera de manera que pongamos nuestra función aquí cualquiera que ésta sea calculemos su derivada la ponemos aquí y toda esta expresión tiene que ser verdadera un par de maneras de resolver esto y la que vamos a usar aquí es adivinar una respuesta aquí necesitamos una función cuya derivada luzca como ella misma ya que la suma de esto tiene que ser igual a cero lo que significa que la función be y la función dvd t tienen que tener la misma forma para que su suma tenga la posibilidad de ser igual a cero y la función que yo conozco cuya derivada luce igual que la función es la exponencial así que vamos a proponer que esto es una exponencial y esta exponencial va a estar elevada a una constante que podemos ajustar y pondremos otra constante aquí y esta es la solución que proponemos de manera que la solución dv dt sea algo que tenga una constante y también tenga una exponencial elevada a otra constante es deporte la forma en que probamos nuestra solución es sustituirla en la ecuación y ver si esta ecuación se cumple si lo hace nuestra solución fue la correcta si no tendremos que probar otra cosa aquí vamos a poner nuestra vedette y también necesitamos la derivada de b con respecto a t dv dt es igual a la derivada con respecto al tiempo de cada por el ala ese porte y esto será igual acá está ese baja y el ala st permanece igual y ahora tenemos la derivada de nuestra solución propuesta ahora vamos a sustituir todo esto en la ecuación para ver si se cumple ponemos nuestra derivada más nuestra solución propuesta y veremos si su suma es igual a cero o no entonces es ese porque por él a la s t más 1 / rc así se queda por nuestra solución propuesta que es k por el ala ese porte y esto debería ser igual a cero vamos a factorizar el término común y tenemos cada por el ala st por s más 1 / r por c y esto es igual a 0 analizamos esto cómo hacemos que esto sea igual a 0 tenemos 3 términos en este producto cualquiera de estos tres términos puede ser igual a cero el primero si acá fuera igual a cero sería algo aburrido ya que nos dice que tenemos un circuito sin energía así que esto no es interesante ahora tenemos a la ese porte que podríamos hacerlo igual a cero pero esto nos llevaría mucho tiempo ya que tendríamos que dejar que te fuera hacia el infinito ese tendría que ser un número negativo y te tendría que ir hacia el infinito lo cual es mucho tiempo de espera para que ocurra algo así que esta solución tampoco es interesante así que la parte interesante es cuando ese más uno entre reporte es igual a cero es más uno entre r por c igual a cero por lo que ese será igual a menos 1 / el reporte y esto hace que esta solución sea verdadera y si este es el caso podemos decir que bb&t es igual a una constante k por el ala menos t sobre el reporte y aquí sucede algo interesante fíjense en este término de menos t entre el reporte todo este exponente no debe tener unidades en el momento en el que lo evaluamos lo que significa que el reporte deben de tener unidades de tiempo rc se mide en segundos las unidades de r por c sports nos dan segundos ya encontramos ese y ahora necesitamos encontrar que acá es una variable el tiempo es una variable y el voltaje es una variable si conociéramos b&t al mismo tiempo podríamos encontrar acá y hay un momento en el que sabemos esto y es cuando t a 0 cuando te es igual a 0 sabemos que la batería se quitó y hay carga en el capacitor por lo que sabemos que el voltaje en el capacitor cuando te es igual a cero va a ser igual a b 0 y aquí tenemos un par de variables que conocemos de ive al mismo tiempo pongamos esto en nuestra solución propuesta para ver cuál es el valor de k de cuando te es igual a 0 es igual a de 0 y esto es igual acá por el ala menos de que es 0 / r porsche y toda esta expresión es que a la 0 o igual a 1 por lo que nos queda que acá es igual a b 0 k es el voltaje inicial almacenado en el capacitor y esto nos da nuestra respuesta final es vedette es igual a b 0 nuestro voltaje inicial por el ala menos / r porsche vamos a dar un paso más allá y vamos a encontrar que es y dt y va a ser igual a bb t / r que es la ley de ohm por lo que y dt es igual a b 0 / r por el ala menos t entre el reporte y esta es la respuesta natural de un circuito rc