Preparación para la respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón (parte 1 de 3)

en el vídeo anterior vimos este circuito con una entrada tipo escalón que va de 0 a bs con esta fuente que hace un cambio brusco cuando t es igual a 0 y usando nuestra intuición deducimos cómo luciría este voltaje de aquí vedete en este vídeo vamos a desarrollar una expresión precisa de lo que ocurre aquí con el voltaje a través de este capacitor nuevamente recordamos que este es un circuito muy común pues hay miles de millones de estos en todas y cada una de las computadoras por lo que vale la pena estudiar su comportamiento y comprenderlo a detalle debido a que esta es una función del tiempo vamos a tener que ocupar ciertas técnicas de cálculo para encontrar esto apropiadamente así que aquí necesitaremos usar nuestras habilidades con el cálculo también vamos a suponer que ya vieron el vídeo sobre la respuesta natural del circuito rc en donde encontramos justamente cuál es la respuesta natural de este circuito la que ocurre cuando no tenemos un voltaje aquí la respuesta natural es b igual a de 0 por ala menos t entre el reporte y tenemos un vídeo y un artículo en khan academy sobre esta respuesta natural que los invito a que vean vamos a analizar esto formalmente y lo primero que debemos hacer es poner etiquetas a las cantidades que nos interesan aquí tenemos la corriente y al voltaje de aquí le llamamos br aquí usamos minúsculas cuando la cantidad cambia con el tiempo y cuando usamos mayúsculas significa que estos valores no van a cambiar con el tiempo cuando analizamos el circuito es bueno que veamos cuáles son las ecuaciones de los componentes de este circuito para esta resistencia ya sabemos que br es igual a por r otra forma de escribirlo es y igual r / r y la expresión para el capacitor es su ecuación y ve que es y igual hace debe de t que significa que la pendiente del voltaje o la tasa de cambio del voltaje multiplicada por c es igual a la corriente en este circuito sólo tendremos una corriente por lo que está in de a quien es igual a la idea acá y es bueno que conozcamos esta relación también tenemos dos variables clave del capacitor y verde la resistencia vamos a ver si podemos escribir a ver en términos de ve y viendo este circuito nos damos cuenta de que esto apunta en esta dirección aquí tenemos ads y en este punto de aquí tenemos a de c por lo que escribimos br igual a bs menos veces ahora vamos a igualar estas is y al mismo tiempo vamos a sustituir la expresión de de s - veces en lugar de ver aquí arriba escribimos se debe de t igual a 1 entre r por de r&b es bs menos ve aquí realmente es ver vamos a quitar la sede aquí distribuimos 1 entre r y nos queda se debe dt es igual a 1 entre r por bs menos 1 entre reporte seguimos se debe de t más 1 entre r por ver es igual a bs entre r esta es nuestra ecuación diferencial y es diferencial porque tiene una derivada en particular es una ecuación diferencial ordinaria no homogénea es ordinaria porque tiene una primera derivada las primeras derivadas tienen un 1 como exponente aquí es diferenciar porque tiene una derivada y es no homogénea porque este lado de aquí no tiene un ave o una derivada de b así que esta ecuación es no homogénea cuando hicimos el análisis de la respuesta natural esto era igual a 0 y por eso pudimos resolverlo rápidamente por lo que aquí vamos a desarrollar una nueva estrategia para resolver este tipo de ecuaciones y de o no homogéneas esta ecuación no es tan sencilla de resolver porque no es igual a cero este lado de la ecuación representa a la función forzada que es lo que está alimentando al circuito con la fuente de voltaje escalón este lado de aquí lo vamos a asociar con las condiciones iniciales que tiene el capacitor por lo que aquí están sucediendo dos cosas diferentes y esto complica un poco más el encontrar la solución qué estrategia vamos a usar bueno nuestra estrategia va a ser dividir el problema en dos y es lo que siempre hacen los ingenieros cuando se encuentran con algo complicado lo dividen en problemas más pequeños por lo que nuestra estrategia será encontrar la respuesta natural más y vamos a encontrar algo llamado la respuesta forzada los vamos a sumar y nos dará lo que llamamos la respuesta total que es lo que realmente hace el circuito tenemos dos términos nuevos la respuesta forzada y la respuesta total ya vimos que la respuesta natural es el comportamiento del circuito cuando nada lo está forzando solamente proporcionamos algo de energía inicial algo de carga y dejamos que el circuito llegue a donde tiene que llegar esta es la respuesta natural la respuesta forzada es lo que en el circuito se ve obligado a hacer por la fuente de entrada tomamos ambas cosas las sumamos y esto nos dará el comportamiento total del circuito esta es otra buena aplicación de la superposición tomamos dos cosas que hace el circuito las analizamos por separado la sumamos la super ponemos y tenemos la respuesta total vamos a hacer esto primero analizando la respuesta natural viendo sus condiciones iniciales que es la carga en el capacitor la carga inicial q y el voltaje de 0 después veremos las entradas que son 0 para la respuesta natural estas son las condiciones para la respuesta natural ahora analicemos la respuesta forzada sus condiciones iniciales son 0 para simplificar el circuito y usamos las entradas que aplican en este caso y obtenemos la respuesta total sumando ambas así que para la respuesta total tendremos las condiciones iniciales cv y de 0 y también tenemos de ese todo junto esta es nuestra estrategia al descomponer esto en dos problemas más sencillos hacemos que sea más simple el resolver esta ecuación diferencial en lugar de resolver la completa de una sola vez nos detendremos aquí y en el siguiente vídeo continuaremos con la estrategia de combinar la respuesta natural con la respuesta forzada