Solución a la respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón (parte 2 de 3)

en el vídeo anterior sobre la respuesta al escalón vimos la ecuación diferencial que describe al circuito y encontramos que es una ecuación no homogénea aquí vamos a continuar con la estrategia de resolverla con la respuesta natural y la respuesta forzada aquí tenemos dos copias de nuestro circuito en el de arriba vamos a resolver la respuesta natural y usaremos el de abajo para resolver la respuesta forzada comencemos con la respuesta natural para resolverla tenemos nuestras condiciones iniciales del circuito original con q y b 0 en el capacitor vamos a dibujarlas aquí tenemos la carga q ibex 0 en el capacitor otra cosa que hicimos fue poner en cero nuestras entradas para la respuesta natural como lo hacemos aquí la entrada es nuestra fuente de voltaje así que vamos a quitarla es lo que hacemos con la superposición cuando quitamos la fuente de voltaje hacemos que el voltaje de entrada sea cero que es como si tuviéramos o crearemos un cortocircuito así que para la respuesta natural vamos a quitar la fuente de voltaje y la vamos a reemplazar por un cortocircuito así ahora este circuito es idéntico al que usamos cuando calculamos la respuesta natural y si aún no han visto este vídeo sobre la respuesta natural este es un muy buen momento para que lo hagan lo que voy a hacer es escribir la respuesta que obtuvimos aquí tendremos el más a quien menos y a esto lo llamaremos b natural y va a ser igual a k natural por el ala menos t entre porsche esta es la respuesta natural de un circuito rc así que lo resaltamos para recordarlo vamos a dejar esta constante aquí y más adelante veremos a que es igual ahora veamos cuál es la respuesta forzada para este circuito recordemos que las condiciones iniciales son iguales a 0 para la respuesta forzada es tanto el voltaje inicial como la carga en el capacitor son iguales a cero así que aquí escribo cero esto significa poner las cantidades iniciales a cero en este caso si vamos a usar las entradas y nuestra entrada es igual a bs y en particular vamos a resolver nuestra respuesta forzada después de que el tiempo haya sido igual a cero lo que significa que la entrada es de mayúscula s recordemos que aquí tratamos de resolver la ecuación diferencial que vimos anteriormente que es c dvd t y voy a ponerle un subíndice f aquí para indicar que es la respuesta forzada + 1 / r bf por df igual a 1 / r por bs aquí pongo b mayúscula s porque estamos tratando de resolver esto para esta condición inicial esta es nuestra ecuación diferencial para la respuesta forzada y para resolverla haremos algo similar a lo que hicimos para resolver la respuesta natural proponer una solución para b efe sustituirla en esta ecuación diferencial no homogénea y ver si funciona una buena propuesta sería encontrar algo que sea muy similar a la entrada una función que luzca como bs y como luce bs si vemos aquí bs luce como una constante así que vamos a decir que la respuesta forzada luce como una constante que llamaremos acá y vamos a probar nuestra propuesta sustituyendo la aquí en la ecuación diferencial por lo que vamos a hacer lo que es igual a d efe / dt + 1 / r efe igual a 1 / r v s y aquí hay algo interesante que sucede a continuación cuál es la derivada de una constante con respecto al tiempo es 0 así que el término principal de nuestra ecuación diferencial se vuelve 0 y ahora nos quedamos con café por 1 entre r igual a de s por 1 entre r lo cual hace que bs sea igual acá efe nuestra respuesta forzada de f es igual a bs ahora ya tenemos tanto nuestra respuesta natural como nuestra respuesta forzada que es la constante de s estamos listos para calcular la respuesta total que llamaremos b t mayúscula es igual a la respuesta natural más la respuesta forzada ya que estamos usando el principio de superposición de t es igual a kn una constante por el ala menos t / rc más la respuesta forzada que es bs nos estamos acercando lo único que nos falta es encontrar esta constante kn que es el factor de ganancia que está frente a la exponencial de la respuesta natural podemos conocer su valor si conocemos esto bs que si conocemos y si conocemos a 20 en cierto momento así podríamos sustituir dichos valores aquí el de bt y t uno de los valores del tiempo más conveniente es a usar aquí es cero si decimos que t es igual a cero b total cuando te es cero va a ser y volvamos a lo que teníamos al principio quitemos esto que era para dar respuesta forzada y que no vamos a ocupar ahorita y ahora tenemos el circuito completo recordemos que el voltaje inicial aquí era de 0 que es este valor de aquí justo antes de t igual a cero éste era el voltaje en el capacitor así que lo ponemos aquí regresemos a nuestra solución total y sustituyamos estos valores de igual a cero ivette e iguala de cero lo que nos da de cero igual a kn por la menos cero entre el reporte más bs despejamos kn lo que nos da acá en es igual a él a la cero es uno quedando kn más bs de este lado el despeje nos da de cero menos bs esto es nuestra carne la respuesta total es de te iguala de cero - bs por el ala menos de entre reporte más bs esta es la respuesta total de nuestro circuito la resolvimos en dos pasos primero la respuesta natural y después la respuesta forzada luego la sumamos y finalmente calculamos la constante en el siguiente vídeo haremos un ejemplo explícito en donde tendremos valores para r para c y para el escalón y veremos como luce la respuesta total