Redes delta-estrella de resistencias

A veces, al simplificar una red de resistores, te quedas atorado. Algunas redes de resistores no se pueden simplificar mediante las combinaciones comunes en serie y paralelas. A menudo, esta situación puede manejarse al probar con la transformación $\Delta - \text Y$delta, minus, start text, Y, end text, o transformación "delta-estrella".

Los nombres de delta y estrella vienen de la forma de los esquemas, parecidos a la letra griega y a la figura. La transformación te permite reemplazar tres resistores en una configuración de $\Delta$delta por tres resistores en una configuración en $\text Y$start text, Y, end text, y viceversa.

Con el estilo de trazado de $\Delta - \text Y$delta, minus, start text, Y, end text se hace hincapié en que estas son configuraciones de tres terminales. Es importante darse cuenta del número diferente de nodos en las dos configuraciones. $\Delta$delta tiene tres nodos, mientras que $\text Y$start text, Y, end text tiene cuatro nodos (uno adicional en el centro).

Se pueden volver a trazar las configuraciones para que los resistores queden en una distribución cuadrada. A esta se le conoce como configuración $\pi - \text T$pi, minus, start text, T, end text,

El estilo $\pi - \text T$pi, minus, start text, T, end text es un dibujo más convencional que encontrarías en un esquema típico. Las ecuaciones de transformación que desarrollamos a continuación también son aplicables a $\pi - \text T$pi, minus, start text, T, end text.

Para que la transformación sea equivalente, la resistencia entre ambos pares de terminales debe ser la misma antes y después. Es posible escribir tres ecuaciones simultáneas para hacer evidente esta restricción.

Considera las terminales $x$x y $y$y (y por el momento supón que la terminal $z$z no está conectada a nada, así que la corriente en $\text R3$start text, R, end text, 3 es $0$0). En la configuración $\Delta$delta, la resistencia entre $x$x y $y$y es $Rc$R, c en paralelo con $Ra +Rb$R, a, plus, R, b .

Del lado de la $\text Y$start text, Y, end text, la resistencia entre $x$x y $y$y es la combinación en serie de $R1+R2$R, 1, plus, R, 2 (de nuevo, supón que la terminal $z$z no está conectada a nada, así que $\text R1$start text, R, end text, 1 y $\text R2$start text, R, end text, 2 llevan la misma corriente y se pueden considerar en serie). Igualamos estas entre sí para obtener la primera de tres ecuaciones simultáneas,

Podemos escribir dos expresiones parecidas para los otros dos pares de terminales. Observa que los resistores en $\Delta$delta tienen nombres de letras, $(Ra$left parenthesis, R, a, etc.$)$right parenthesis y los resistores en $\text Y$start text, Y, end text tienen nombres con números, $(R1$left parenthesis, R, 1, etc.$)$right parenthesis.

Después de resolver las ecuaciones simultáneas (no se muestran), obtenemos las ecuaciones para transformar cualquier red en otra.

Las ecuaciones para transformar una red $\Delta$delta en una red $\text Y$start text, Y, end text:

La transformación de $\Delta$delta a $\text Y$start text, Y, end text introduce un nodo adicional.

Las ecuaciones para transformar una red $\text Y$start text, Y, end text en una red $\Delta$delta:

La transformación de $\text Y$start text, Y, end text a $\Delta$delta elimina un nodo.

Hagamos un ejemplo simétrico. Supón que tenemos un circuito $\Delta$delta con resistores de $3\,\Omega$3, \Omega. Obtén el equivalente de $\text Y$start text, Y, end text mediante las ecuaciones $\Delta \rightarrow \text Y$delta, right arrow, start text, Y, end text.

Ir en la otra dirección, de $\text Y \rightarrow\Delta$start text, Y, end text, right arrow, delta, se ve así,

Hagamos un ejemplo un poco menos predecible. Queremos encontrar la resistencia equivalente entre las terminales superior e inferior.

Por más que lo intentemos, no hay resistores en serie o en paralelo. Pero no estamos atorados. Primero, volvamos a trazar el esquema para hacer énfasis en que tenemos dos conexiones $\Delta$delta apiladas una sobre la otra.

Ahora elige una de la las $\Delta$delta para hacer una conversión a $\text Y$start text, Y, end text. Realizaremos una transformación $\Delta \rightarrow \text Y$delta, right arrow, start text, Y, end text y veremos si salimos del atasco, abriendo otras oportunidades para la simplificación.

Empezamos con la $\Delta$delta inferior (una elección arbitraria). Con mucho cuidado nombramos los resistores y nodos. Para obtener las respuestas correctas de las ecuaciones de transformación, es fundamental tener siempre bien los nombres de los resistores y los nodos. $Rc$R, c debe conectar entre los nodos $x$x y $y$y, y así sucesivamente. Consulta el diagrama 1 de arriba para ver la convención de nomenclatura.

Cuando realicemos la transformación sobre la $\Delta$delta inferior, los resistores $\Delta$delta negros serán reemplazados por los nuevos resistores $\text Y$start text, Y, end text grises, de esta forma:

Haz la transformación tú mismo antes de ver la respuesta. Revisa que elijas el conjunto de ecuaciones adecuado.
Computa tres nuevos valores de resistores para convertir la $\Delta$delta a $\text Y$start text, Y, end text, y traza todo el circuito.

¡Y listo! Mira nuestro circuito. Ahora tiene resistores en serie y paralelo donde no había ninguno. Continúa la simplificación con combinaciones en serie y paralelo hasta llegar a un solo resistor entre las terminales. Vuelve a trazar el esquema para que los símbolos queden en una distribución cuadrada conocida.

Procedemos a los pasos de simplificación restantes como lo hicimos en el artículo sobre simplificación de redes de resistores.

En la rama izquierda, $3.125 + 1.25 = 4.375 \,\Omega$3, point, 125, plus, 1, point, 25, equals, 4, point, 375, \Omega

En la rama derecha, $4 + 1 = 5\,\Omega$4, plus, 1, equals, 5, \Omega

Los dos resistores en paralelo se combinan como $4.375\,||\, 5 = \dfrac{4.375 \cdot 5}{4.375 + 5} = 2.33\,\Omega$4, point, 375, vertical bar, vertical bar, 5, equals, start fraction, 4, point, 375, dot, 5, divided by, 4, point, 375, plus, 5, end fraction, equals, 2, point, 33, \Omega

Y terminamos con la suma de los últimos dos resistores en serie,

Las transformaciones $\Delta - \text Y$delta, minus, start text, Y, end text son otra herramienta de nuestra bolsa de trucos para la simplificación de circuitos antes de su análisis detallado.

No memorices las ecuaciones de transformación. De ser necesario, puedes buscarlas.