Entre cargas existe una fuerza eléctrica, como lo describe la ley de Coulomb. Ejemplo resuelto: la fuerza entre una recta cargada y una carga puntual q. Escrito por Willy McAllister.
Nuestro estudio de la electricidad comienza con la electrostática y la fuerza electrostática, una de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza. La fuerza electrostática está descrita por la ley de Coulomb. Usamos la ley de Coulomb para encontrar las fuerzas generadas por configuraciones de carga.
La electrostática se ocupa de las fuerzas entre las cargas. La palabra estática significa que las cargas no se mueven, o por lo menos que no se mueven tan rápido.
¿Qué tan rápido es "no tan rápido"?
Cuando una carga se mueve, genera un campo magnético que puede producir una fuerza magnética. Como apenas comenzamos con nuestro estudio de la electricidad, queremos minimizar la complejidad y enfocarnos solo en la fuerza eléctrica. Para mantener las cosas simples, dejamos que las cargas permanezcan en reposo, o que se muevan muy lentamente. Así que "no tan rápido" significa un movimiento tan lento que los efectos magnéticos son insignificantes comparados con las fuerzas eléctricas.

La carga

¿Cómo sabemos que existe una cosa como la carga? El concepto de carga surge de una observación de la naturaleza: fuerzas entre los objetos. La carga eléctrica es la propiedad de los objetos que da lugar a esta fuerza observada. Como la gravedad, la fuerza eléctrica "actúa a distancia". La idea de que una fuerza puede "actuar a distancia" es bastante alucinante, pero es lo que la naturaleza realmente hace.
Las fuerzas eléctricas son muy grandes, mucho más grandes que la fuerza de la gravedad. A diferencia de la gravedad, hay dos tipos de carga eléctrica, (mientras que solo hay un tipo de gravedad, que solo es atractiva).
Las cargas opuestas se atraen:
Las cargas iguales se repelen. Las cargas opuestas se atraen.
Las cargas iguales se repelen:

La fuerza entre cargas: la ley de Coulomb de la fuerza eléctrica

La ley de Coulomb describe muy bien este fenómeno natural. Matemáticamente, la ley tiene la forma
F=Kq0q1r2r^\vec F = K \,\dfrac{q_0\, q_1}{r^2} \,\hat r
donde
  • F\vec F es la fuerza eléctrica, y va en dirección de la recta que une los dos cuerpos cargados.
  • KK es una constante de proporcionalidad que relaciona el lado izquierdo de la ecuación (newtons) con el lado derecho (coulombs y metros). Es necesaria para hacer que la respuesta sea correcta cuando llevamos a cabo un experimento real.
  • q0q_0 y q1q_1 representan la cantidad de carga en cada cuerpo, en unidades de coulombs (la unidad del SI para la carga).
  • rr es la distancia entre los cuerpos cargados.
  • r^\hat r es un vector unitario variable que nos recuerda que la fuerza apunta en la dirección de la recta que une las dos cargas. Si las cargas son iguales, la fuerza es repulsiva; si las cargas son opuestas, la fuerza es atractiva.

La constante eléctrica ϵ0\epsilon_0: la permitividad del vacío

A menudo escribimos la constante de proporcionalidad KK de la forma
Esta notación está motivada por una teoría que nos encontraremos después, el teorema de flujo de Gauss. Ahí, descubrimos que la constante KK contiene un factor geométrico y otro factor debido a la configuración experimental. El teorema de Gauss involucra el área de la superficie de una esfera. El factor geométrico 4π4\pi es el ángulo sólido de una esfera (análogo al ángulo total 2π2\pi de un círculo). El resto de la constante de proporcionalidad representa lo que nos da la configuración experimental, capturada en el término ϵ0\epsilon_0. Esta notación resulta en una expresión sencilla de la ley de Gauss. Algunos profesores piensan que es mejor mostrar la forma completa de la constante en este punto que presentarla al comienzo del estudio de la electricidad, donde a menudo la vemos en la ley de Coulomb.
K=14πϵ0K = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}
y expresamos la ley de Coulomb como
F=14πϵ0q0q1r2r^\vec F = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{q_0\, q_1}{r^2} \,\hat r
La letra griega ϵ0\epsilon_0 es la constante eléctrica, también conocida como la permitividad del vacío. La ley de Coulomb describe algo que ocurre en la naturaleza. La constante eléctrica, ϵ0\epsilon_0, describe la configuración experimental y el sistema de unidades. Por "configuración experimental" nos referimos a medir F\vec F sobre cargas puntuales (o, mejor dicho, algún objeto que actúa como carga puntual, como esferas cargadas). La constante ϵ0{\epsilon_0} ha sido medida experimentalmente y su valor es, en el sistema de unidades SI,
coulomb2/^2/ newton-metro2^2
Con este valor de ϵ0\epsilon_0,
Para propósitos de cálculo, podemos redondear el valor de KK a algo fácil de recordar:
K=14πϵ0=9×109K = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^{9}
Las dimensiones de KK son: newton-metro2/^2/coulomb2^2.

Ejemplo: tres cargas puntuales

En nuestro primer ejemplo, usamos la ley de Coulomb para calcular la fuerza que actúa sobre una carga debida a otras dos cargas que están en la cercanía. Las tres cargas se encuentran sobre los vértices de un tríangulo cuyos ángulos son 30609030 ^{\circ}-60 ^{\circ}-90 ^{\circ}. La carga q2q_2, con contorno negro, es nuestra carga de prueba.
Ahora asignamos ciertos valores a las cargas (en coulombs) y las distancias entre ellas (en metros).

Encuentra la fuerza (magnitud y dirección) que actúa sobre q2q_2, la carga de +3C+3 \,\text C.

Necesitamos calcular la fuerza entre cada par de cargas. En este ejemplo, hay dos vectores de fuerza en los que debemos pensar, {q0q_0 a q2q_2} y {q1q_1 a q2q_2}. Cada vector de fuerza apunta en la dirección que une el par de cargas respectivo.
Por simplicidad, usaremos KK como la constante de proporcionalidad. Para calcular la fuerza, vamos a aplicar la ley de Coulomb, donde manejaremos la magnitud y la dirección por separado. La magnitud de cada fuerza es
F=Kq0q1r2F = K \,\dfrac{q_0\, q_1}{r^2}
F02=K43(3)2=K4\blueD{F_{02} = K \dfrac{4 \cdot 3}{(\sqrt{3})^2} = K \cdot 4\qquad}Fuerza sobre q2q_2 debida a q0q_0 (repulsión).
F12=K13(1)2=K3\greenD{F_{12} = K \dfrac{1 \cdot 3}{( \,\,1\,\, )^2} = K \cdot 3\qquad}Fuerza sobre q2q_2 debida a q1q_1 (atracción).
Hemos calculado la magnitud de la fuerza para cada par.
El paso final es hacer una suma vectorial para obtener la magnitud y la dirección del vector de fuerza total.
Los vectores de fuerza forman los lados de un triángulo rectángulo con longitudes de 3K, 4K y 5K.
La magnitud de la fuerza resultante es
F2=K32+42=K5|F_2| = K \cdot \sqrt{3^2 + 4^2} = K \cdot 5
Encuentra el ángulo F2\angle \vec F_2 al contar los grados desde la horizontal, empezando en la carga de 4C4\,C.
Ángulos interiores para nuestros triángulos,
Los ángulos agudos del triángulo 3-4-5 son arcsin(4/5)=53.13\arcsin( 4 / 5 ) = 53.13 ^{\circ} y arcsin(3/5)=36.86.\arcsin( 3 / 5 ) = 36.86 ^{\circ}.
Al juntar los triángulos, podemos ver cómo se combinan los ángulos (flechas azules):
El ángulo de 3030^{\circ} es negativo, pues está medido en sentido de las manecillas del reloj, mientras que el ángulo de 36.936.9^{\circ} es positivo, pues está medido en el sentido opuesto.
F2=30+36.9=+6.9\angle \vec F_2 = -30 ^{\circ} + 36.9 ^{\circ} = +6.9 ^{\circ}
Al combinar la magnitud y el ángulo, la fuerza F2\vec F_2 sobre q2q_2, en newtons, es
F2=K56.9\vec{F_2} = K \cdot 5 \,\angle \,6.9^{\circ}
F2=(9×109)56.9\vec{F_2} = (9 \times 10^9) \cdot 5 \,\angle \,6.9^{\circ}
F2=4.5×10106.9newtons\large \vec{F_2} = 4.5 \times 10^{10} \,\angle \,6.9^{\circ}\,\text{newtons}

Ejemplo: fuerza entre una recta cargada y una carga

Una recta cargada de LL metros de longitud tiene una carga total de QQ. Supón que la carga total, QQ, está uniformemente distribuida a lo largo de la recta. Una carga puntual qq se encuentra a una distancia de aa metros de uno de los extremos la recta, en la misma dirección que esta.

Encuentra la fuerza total sobre la carga qq colocada en la misma dirección en la que apunta la recta cargada.

La recta contiene una carga total de QQ coulombs. Podemos abordar este problema al pensar la recta como un montón de cargas individuales colocadas una junto a la otra. Para calcular la fuerza total sobre la carga qq debida a la recta, sumamos (integramos) las fuerzas individuales debidas a cada carga puntual en la recta.
Definimos la densidad de carga en la recta como QL\dfrac{Q}{L} coulombs/metro.
El concepto de "densidad de carga" nos permite expresar la cantidad de carga, dQ\text dQ, en un pequeño segmento de la recta, dx\text dx, como
dQ=QLdx\text dQ = \dfrac{Q}{L}\,\text dx
El término dQ\text dQ es lo suficientemente pequeño para aproximar una carga puntual, lo que nos permite aplicar la ley de Coulomb. Podemos determinar la dirección de la fuerza inmediatamente: la fuerza sobre qq debida a cada dQ\text dQ va en la misma dirección que la recta que une qq con dQ\text dQ. Ya que determinamos la dirección, calculamos la magnitud de la fuerza:
dF=14πϵ0qdQx2\text dF = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q \,\text dQ}{x^2}
El numerador multiplica las dos cargas, qq y dQ\text dQ; el denominador xx representa la distancia entre las dos cargas.
Para encontrar la fuerza total, sumamos todas la fuerzas debidas a cada dQ\text dQ al integrar del extremo cercano (a\text a) al extremo lejano de la recta (a+L\text a + \text L).
F=aa+LdF=aa+L14πϵ0qdQx2\displaystyle F = \int_a^{a+L} \text d\vec F = \int_a^{a+L} \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q \,\text dQ}{x^2}
Esta ecuación incluye tanto xx como dQ\text dQ como variables. Para reducirla a una sola variable independiente, reemplazamos el término dQ\text dQ por la expresión Q/LdxQ/L \,\text dx determinada arriba; así,
F=aa+L14πϵ0qQL1x2dx\displaystyle F = \int_a^{a+L} \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{qQ}{L} \dfrac{1}{x^2} \text{d}x
Sacamos de la integral todo lo que no depende de xx.
F=14πϵ0qQLaa+L1x2dx\displaystyle F = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{qQ}{L} \int_a^{a+L}\dfrac{1}{x^2} \text{d}x
Y resolvemos la integral
La integral indefinida de una potencia de xx es xndx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n \text d x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para toda n1n \neq -1. En nuestro ejemplo, n=2n = -2.
aa+Lx2dx=x2+12+1=x11=1x\displaystyle \int_a^{a+L} x^{-2} \text dx = \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} = \dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{x}
Al evaluar los límites y resolver, la integral definida es
1xaa+L=[ 1(a+L)1a]=1a1(a+L)-\dfrac{1}{x}\bigg|_a^{a+L} = -\left [\ \dfrac{1}{(a+L)} - \dfrac{1}{a}\,\right ] = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{(a+L)}
Al multiplicar cada término por la identidad y combinar fracciones,
1a(a+La+L)1(a+L)(aa)=(a+L)aa(a+L)\dfrac{1}{a} \left ( \dfrac{a+L}{a+L}\right ) - \dfrac{1}{(a+L)} \left ( \dfrac{a}{a} \right ) = \dfrac{(a+L)-a}{a(a+L)}
Al simplificar el numerador, los términos en aa se cancelan y terminamos con el valor de la integral definida:
aa+Lx2dx=La(a+L)\displaystyle \int_a^{a+L} x^{-2} \text dx = \dfrac{L}{a(a+L)}
Sustituimos la solución de la integral definida en la ecuación de fuerza,
F=14πϵ0qQLLa(a+L)\displaystyle \vec F = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{qQ}{\cancel L} \dfrac{\cancel L}{a(a+L)}
lo que nos deja con la ecuación final de la fuerza ejercida por la recta cargada sobre la carga...
F=14πϵ0qQa(a+L)\large F = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{qQ}{a(a+L)}
Algunas cosas a observar sobre la solución:
  • El numerador es el producto de la carga de prueba y la carga total de la recta, lo cual tiene sentido.
  • El denominador tiene la forma "distancia2\text{distancia}^2", generada por una combinación de la distancia en los extremos cercano y lejano de la recta. La forma a(a+L)a(a+L) del denominador resulta de la geometría particular de este ejemplo.
  • Si la carga puntual qq se mueve muy lejos de la recta, LL se vuelve insignificante en comparación con aa, y el denominador se aproxima a a2a^2. Por lo tanto, a una distancia muy grande, la recta comienza a parecer una carga puntual lejana y, como uno esperaría, la ecuación se aproxima a la ley de Coulomb para dos cargas puntuales.
Vamos a hacer una par de ejercicios más de electrostática que involucran objetos cargados con geometrías sencillas. Después de estos, los cálculos se vuelven muy intrincados, por lo que una estrategia común con geometrías complicadas es: separar la geometría en versiones más sencillas que sepamos hacer y luego combinar las respuestas.

Estrategias para aplicar la ley de Coulomb

La ley de Coulomb es una buena elección para situaciones que involucran cargas puntuales y geometrías simétricas sencillas como rectas o esferas cargadas.
Ya que la ley de Coulomb se basa en fuerzas generadas por pares de cargas, cuando te enfrentes a múltiples (más de dos) cargas puntuales:
  1. Trabaja por separado la fuerza entre cada par de cargas.
  2. Concluye con una suma de vectores para combinar las fuerzas debidas a la interacción de cada par en una sola fuerza resultante.
Para una situación con carga distribuida, modela creativamente la carga distribuida como una colección de cargas puntuales:
  1. Define un pequeño término dQ\text dQ que represente una carga infinitesimal dentro de la región de carga distribuida.
  2. Trabaja las fuerzas entre los pares formados por la carga puntual y cada dQ\text dQ.
  3. Suma las fuerzas con una integral. Esta es una suma vectorial que culmina en la fuerza resultante.

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Referencias

Kip, A. H. (1972), Fundamentos de electricidad y magnetismo (McGraw-Hill)
Este artículo está bajo la licencia CC BY-NC-SA 4.0.
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