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Contenido principal

La fuerza eléctrica

Entre cargas existe una fuerza eléctrica, como lo describe la ley de Coulomb. Ejemplo resuelto: la fuerza entre una recta cargada y una carga puntual q. Escrito por Willy McAllister.
Nuestro estudio de la electricidad comienza con la electrostática y la fuerza electrostática, una de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza. La fuerza electrostática está descrita por la ley de Coulomb. Usamos la ley de Coulomb para encontrar las fuerzas generadas por configuraciones de carga.
La electrostática se ocupa de las fuerzas entre las cargas. La palabra estática significa que las cargas no se mueven, o por lo menos que no se mueven tan rápido.

La carga

¿Cómo sabemos que existe una cosa como la carga? El concepto de carga surge de una observación de la naturaleza: fuerzas entre los objetos. La carga eléctrica es la propiedad de los objetos que da lugar a esta fuerza observada. Como la gravedad, la fuerza eléctrica "actúa a distancia". La idea de que una fuerza puede "actuar a distancia" es bastante alucinante, pero es lo que la naturaleza realmente hace.
Las fuerzas eléctricas son muy grandes, mucho más grandes que la fuerza de la gravedad. A diferencia de la gravedad, hay dos tipos de carga eléctrica, (mientras que solo hay un tipo de gravedad, que solo es atractiva).
Las cargas opuestas se atraen:
Las cargas iguales se repelen. Las cargas opuestas se atraen.
Las cargas iguales se repelen:

La fuerza entre cargas: la ley de Coulomb de la fuerza eléctrica

La ley de Coulomb describe muy bien este fenómeno natural. Matemáticamente, la ley tiene la forma
F, with, vector, on top, equals, K, start fraction, q, start subscript, 0, end subscript, q, start subscript, 1, end subscript, divided by, r, squared, end fraction, r, with, hat, on top
donde
  • F, with, vector, on top es la fuerza eléctrica, y va en dirección de la recta que une los dos cuerpos cargados.
  • K es una constante de proporcionalidad que relaciona el lado izquierdo de la ecuación (newtons) con el lado derecho (coulombs y metros). Es necesaria para hacer que la respuesta sea correcta cuando llevamos a cabo un experimento real.
  • q, start subscript, 0, end subscript y q, start subscript, 1, end subscript representan la cantidad de carga en cada cuerpo, en unidades de coulombs (la unidad del SI para la carga).
  • r es la distancia entre los cuerpos cargados.
  • r, with, hat, on top es un vector unitario variable que nos recuerda que la fuerza apunta en la dirección de la recta que une las dos cargas. Si las cargas son iguales, la fuerza es repulsiva; si las cargas son opuestas, la fuerza es atractiva.

La constante eléctrica \epsilon, start subscript, 0, end subscript: la permitividad del vacío

A menudo escribimos la constante de proporcionalidad K de la forma
K, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction
y expresamos la ley de Coulomb como
F, with, vector, on top, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, start subscript, 0, end subscript, q, start subscript, 1, end subscript, divided by, r, squared, end fraction, r, with, hat, on top
La letra griega \epsilon, start subscript, 0, end subscript es la constante eléctrica, también conocida como la permitividad del vacío. La ley de Coulomb describe algo que ocurre en la naturaleza. La constante eléctrica, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, describe la configuración experimental y el sistema de unidades. Por "configuración experimental" nos referimos a medir F, with, vector, on top sobre cargas puntuales (o, mejor dicho, algún objeto que actúa como carga puntual, como esferas cargadas). La constante \epsilon, start subscript, 0, end subscript ha sido medida experimentalmente y su valor es, en el sistema de unidades SI,
\epsilon, start subscript, 0, end subscript, equals, 8, point, 854187817, times, 10, start superscript, −, 12, end superscript coulombsquared, slash newton-metrosquared
Con este valor de \epsilon, start subscript, 0, end subscript,
K, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, dot, 8, point, 854, times, 10, start superscript, −, 12, end superscript, end fraction, equals, 8, point, 987, times, 10, start superscript, 9, end superscript
Para propósitos de cálculo, podemos redondear el valor de K a algo fácil de recordar:
K, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, equals, 9, times, 10, start superscript, 9, end superscript
Las dimensiones de K son: newton-metrosquared, slashcoulombsquared.

Ejemplo: tres cargas puntuales

En nuestro primer ejemplo, usamos la ley de Coulomb para calcular la fuerza que actúa sobre una carga debida a otras dos cargas que están en la cercanía. Las tres cargas se encuentran sobre los vértices de un tríangulo cuyos ángulos son 30, degrees, minus, 60, degrees, minus, 90, degrees. La carga q, start subscript, 2, end subscript, con contorno negro, es nuestra carga de prueba.
Ahora asignamos ciertos valores a las cargas (en coulombs) y las distancias entre ellas (en metros).

Encuentra la fuerza (magnitud y dirección) que actúa sobre q, start subscript, 2, end subscript, la carga de plus, 3, start text, C, end text.

Necesitamos calcular la fuerza entre cada par de cargas. En este ejemplo, hay dos vectores de fuerza en los que debemos pensar, {q, start subscript, 0, end subscript a q, start subscript, 2, end subscript} y {q, start subscript, 1, end subscript a q, start subscript, 2, end subscript}. Cada vector de fuerza apunta en la dirección que une el par de cargas respectivo.
Por simplicidad, usaremos K como la constante de proporcionalidad. Para calcular la fuerza, vamos a aplicar la ley de Coulomb, donde manejaremos la magnitud y la dirección por separado. La magnitud de cada fuerza es
F, equals, K, start fraction, q, start subscript, 0, end subscript, q, start subscript, 1, end subscript, divided by, r, squared, end fraction
start color #11accd, F, start subscript, 02, end subscript, equals, K, start fraction, 4, dot, 3, divided by, left parenthesis, square root of, 3, end square root, right parenthesis, squared, end fraction, equals, K, dot, 4, end color #11accdFuerza sobre q, start subscript, 2, end subscript debida a q, start subscript, 0, end subscript (repulsión).
start color #1fab54, F, start subscript, 12, end subscript, equals, K, start fraction, 1, dot, 3, divided by, left parenthesis, 1, right parenthesis, squared, end fraction, equals, K, dot, 3, end color #1fab54Fuerza sobre q, start subscript, 2, end subscript debida a q, start subscript, 1, end subscript (atracción).
Hemos calculado la magnitud de la fuerza para cada par.
El paso final es hacer una suma vectorial para obtener la magnitud y la dirección del vector de fuerza total.
Los vectores de fuerza forman los lados de un triángulo rectángulo con longitudes de 3K, 4K y 5K.
La magnitud de la fuerza resultante es
vertical bar, F, start subscript, 2, end subscript, vertical bar, equals, K, dot, square root of, 3, squared, plus, 4, squared, end square root, equals, K, dot, 5
Encuentra el ángulo angle, F, with, vector, on top, start subscript, 2, end subscript al contar los grados desde la horizontal, empezando en la carga de 4, C.
Ángulos interiores para nuestros triángulos,
Los ángulos agudos del triángulo 3-4-5 son \arcsin, left parenthesis, 4, slash, 5, right parenthesis, equals, 53, point, 13, degrees y \arcsin, left parenthesis, 3, slash, 5, right parenthesis, equals, 36, point, 86, degrees, point
Al juntar los triángulos, podemos ver cómo se combinan los ángulos (flechas azules):
El ángulo de 30, degrees es negativo, pues está medido en sentido de las manecillas del reloj, mientras que el ángulo de 36, point, 9, degrees es positivo, pues está medido en el sentido opuesto.
angle, F, with, vector, on top, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, 30, degrees, plus, 36, point, 9, degrees, equals, plus, 6, point, 9, degrees
Al combinar la magnitud y el ángulo, la fuerza F, with, vector, on top, start subscript, 2, end subscript sobre q, start subscript, 2, end subscript, en newtons, es
F, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, equals, K, dot, 5, angle, 6, point, 9, degrees
F, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 9, times, 10, start superscript, 9, end superscript, right parenthesis, dot, 5, angle, 6, point, 9, degrees
F, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, equals, 4, point, 5, times, 10, start superscript, 10, end superscript, angle, 6, point, 9, degrees, start text, n, e, w, t, o, n, s, end text

Ejemplo: fuerza entre una recta cargada y una carga

Una recta cargada de L metros de longitud tiene una carga total de Q. Supón que la carga total, Q, está uniformemente distribuida a lo largo de la recta. Una carga puntual q se encuentra a una distancia de a metros de uno de los extremos la recta, en la misma dirección que esta.

Encuentra la fuerza total sobre la carga q colocada en la misma dirección en la que apunta la recta cargada.

La recta contiene una carga total de Q coulombs. Podemos abordar este problema al pensar la recta como un montón de cargas individuales colocadas una junto a la otra. Para calcular la fuerza total sobre la carga q debida a la recta, sumamos (integramos) las fuerzas individuales debidas a cada carga puntual en la recta.
Definimos la densidad de carga en la recta como start fraction, Q, divided by, L, end fraction coulombs/metro.
El concepto de "densidad de carga" nos permite expresar la cantidad de carga, start text, d, end text, Q, en un pequeño segmento de la recta, start text, d, end text, x, como
start text, d, end text, Q, equals, start fraction, Q, divided by, L, end fraction, start text, d, end text, x
El término start text, d, end text, Q es lo suficientemente pequeño para aproximar una carga puntual, lo que nos permite aplicar la ley de Coulomb. Podemos determinar la dirección de la fuerza inmediatamente: la fuerza sobre q debida a cada start text, d, end text, Q va en la misma dirección que la recta que une q con start text, d, end text, Q. Ya que determinamos la dirección, calculamos la magnitud de la fuerza:
start text, d, end text, F, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, start text, d, end text, Q, divided by, x, squared, end fraction
El numerador multiplica las dos cargas, q y start text, d, end text, Q; el denominador x representa la distancia entre las dos cargas.
Para encontrar la fuerza total, sumamos todas la fuerzas debidas a cada start text, d, end text, Q al integrar del extremo cercano (start text, a, end text) al extremo lejano de la recta (start text, a, end text, plus, start text, L, end text).
F, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, a, plus, L, end superscript, start text, d, end text, F, with, vector, on top, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, a, plus, L, end superscript, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, start text, d, end text, Q, divided by, x, squared, end fraction
Esta ecuación incluye tanto x como start text, d, end text, Q como variables. Para reducirla a una sola variable independiente, reemplazamos el término start text, d, end text, Q por la expresión Q, slash, L, start text, d, end text, x determinada arriba; así,
F, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, a, plus, L, end superscript, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, Q, divided by, L, end fraction, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, start text, d, end text, x
Sacamos de la integral todo lo que no depende de x.
F, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, Q, divided by, L, end fraction, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, a, plus, L, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, start text, d, end text, x
Y resolvemos la integral
F, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, Q, divided by, a, left parenthesis, a, plus, L, right parenthesis, end fraction
Algunas cosas a observar sobre la solución:
  • El numerador es el producto de la carga de prueba y la carga total de la recta, lo cual tiene sentido.
  • El denominador tiene la forma "start text, d, i, s, t, a, n, c, i, a, end text, squared", generada por una combinación de la distancia en los extremos cercano y lejano de la recta. La forma a, left parenthesis, a, plus, L, right parenthesis del denominador resulta de la geometría particular de este ejemplo.
  • Si la carga puntual q se mueve muy lejos de la recta, L se vuelve insignificante en comparación con a, y el denominador se aproxima a a, squared. Por lo tanto, a una distancia muy grande, la recta comienza a parecer una carga puntual lejana y, como uno esperaría, la ecuación se aproxima a la ley de Coulomb para dos cargas puntuales.
Vamos a hacer una par de ejercicios más de electrostática que involucran objetos cargados con geometrías sencillas. Después de estos, los cálculos se vuelven muy intrincados, por lo que una estrategia común con geometrías complicadas es: separar la geometría en versiones más sencillas que sepamos hacer y luego combinar las respuestas.

Estrategias para aplicar la ley de Coulomb

La ley de Coulomb es una buena elección para situaciones que involucran cargas puntuales y geometrías simétricas sencillas como rectas o esferas cargadas.
Ya que la ley de Coulomb se basa en fuerzas generadas por pares de cargas, cuando te enfrentes a múltiples (más de dos) cargas puntuales:
  1. Trabaja por separado la fuerza entre cada par de cargas.
  2. Concluye con una suma de vectores para combinar las fuerzas debidas a la interacción de cada par en una sola fuerza resultante.
Para una situación con carga distribuida, modela creativamente la carga distribuida como una colección de cargas puntuales:
  1. Define un pequeño término start text, d, end text, Q que represente una carga infinitesimal dentro de la región de carga distribuida.
  2. Trabaja las fuerzas entre los pares formados por la carga puntual y cada start text, d, end text, Q.
  3. Suma las fuerzas con una integral. Esta es una suma vectorial que culmina en la fuerza resultante.

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  • Avatar piceratops seedling style para el usuario Edgar Rodas
    hola gracias por la informaión esta muy completa y asi
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  • Avatar blobby green style para el usuario Fabian Hernandez
    quiero saber como se encuentra la fuerza eléctrica de una carga sobre un anillo
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  • Avatar duskpin seed style para el usuario janeth lopez
    mucha informacion gracias
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