La ley del inverso del cuadrado

En la ley de Coulomb, la distancia entre cargas aparece en la ecuación como $1/r^2$‍. Esto hace la ley de Coulomb un ejemplo de una ley del inverso del cuadrado. Otra bien conocida ley del inverso del cuadrado es la ley de Newton de la gravitación. Tiene sentido intuitivo que la fuerza eléctrica entre dos cuerpos cargados disminuya conforme la distancia entre ellos aumenta. Pero ¿por qué la forma en que lo hace está relacionada precisamente con el cuadrado de la distancia? ¿Acaso el $2$‍ es una coincidencia? ¿Un truco de la naturaleza?

Una ley del inverso del cuadrado es característica de lo que sea que se propaga en líneas rectas sin perderse. Tanto la gravedad como la fuerza eléctrica tienen esta propiedad. Vamos a ilustrar esta idea con una fábula.

Supón que un restaurante tiene el problema de ponerle mantequilla al pan tostado, y quieren ser muy modernos y hacerlo con una máquina. El dueño del restaurante inventa una pistola de mantequilla, con mantequilla derretida en la culata que puede dispararse en líneas rectas.

Aquí hay una rebanada de pan tostado; las líneas de mantequilla salen disparadas y lo golpean en toda su superficie.

Las líneas de mantequilla podrían continuar, por lo que puedes poner el pan mucho más atrás, al doble de la distancia. En vez de una rebanada, puedes colocar cuatro: dos rebanadas de largo y dos rebanadas de alto.

Las cuatro rebanadas juntas interceptan la mantequilla, y la capa interceptada es de un cuarto del grosor original. Esta es la ley del inverso del cuadrado (de enmantequillar).

Extendamos la idea: al triple de la distancia, puedes colocar $3$‍ rebanadas por $3$‍ rebanadas para que quepan dentro de las líneas de mantequilla, para un total de $9$‍ rebanadas, y obtendrás rebanadas con una capa de mantequilla de ${\displaystyle \frac{1}{9}}$‍ de grueso, el tratamiento "económico".