Los coeficientes de Fourier para los términos de coseno

ya hemos pasado bastante tiempo pensando en la en lo que son las series de furia de verdad que básicamente consisten en tomar una función periódica como nuestra onda cuadrada y vamos a tratar de representarla como suma de senos y cosenos con pesos verdad y algunos dirán bueno porque a cero podríamos considerarlo como un seno o un coseno y en realidad es que a cero lo podemos ver como a cero por coseno de cero t porque 0 30 coseno de cero es 1 y si está multiplicando a sub 0 pues entonces nos queda simplemente a sub 0 por eso es que es como un coseno con peso muy bien y en el vídeo anterior empezamos a ver una fórmula justamente para a sub zero verdad utilizando digamos las propiedades que ya hemos visto en muchos vídeos anteriores verdad pudimos concluir que a cero se puede calcular como el promedio el valor promedio de la función f a lo largo del período esta función porque es periódica y de periodo 2 y en este caso muy bien entonces azul 0 se puede calcular de esta forma ahora en lo que lo que quiero dedicar digamos a ver en este vídeo es a encontrar una fórmula para a sub n donde a su vez son los coeficientes que acompañan a las funciones coseno para cualquier n arbitraria que sea positiva es decir n mayor que 0 muy bien esa es la idea para este vídeo y vamos a utilizar una técnica similar ahora vamos a multiplicar ambos lados de nuestra función aquí teníamos una expresión de nuestra función con senos cosenos y el acero a sub zero pero ahora lo que vamos a hacer es multiplicar de ambos lados por coseno de nt multiplicamos de ambos lados por coseno de nt multiplicamos aquí por coseno de g mt entonces quizás puedas darte cuenta de a dónde vamos a llegar con todo esto verdad porque digamos si tienes muy en mente todas las propiedades que ya hemos estado verificando en vídeos anteriores verás más o menos cuál va a ser el procedimiento a seguir entonces una vez que hemos multiplicado por coseno de nt de ambos lados ahora lo que vamos a hacer es integrar sobre el intervalo 0 2 pie entonces integramos en el intervalo 0 2 y por supuesto con respecto a t y aquí de una vez voy a sacar las constantes muy bien aquí es integral de 0 a 2 pi con respecto de t integral de 0 a 2 pi con respecto de verdad por supuesto sacamos las con las constantes de la integral e integral de 0 a 2 pican respecto de t ya me estoy cansando muy bien tenemos la integral de 02 pi con respecto a t integral de 0 con respecto a t ya casi acabamos integral de 0 a 2 pi con respecto a t integral de 0 a 2 y con respecto a t y esto fue bastante divertido pero ya terminamos muy bien tenemos esta integral y ahora vamos a ver cómo es que todo esto se simplifica vamos a utilizar las propiedades que ya teníamos anteriormente integral de seno y cosenos es 0 verdad de estos senos y cosenos para m al arbitrario verdad que se enteró para el seno m tendría que ser no nulo para el caso del coseno y sabemos que el integral del seno por coseno verdad no importando que que enteros estemos considerando es 0 y la integral del producto de cosenos es 0 siempre y cuando sean distintos verdad entonces vamos a ver eso aquí aquí tenemos justamente la integral del cose no de un múltiplo de t entonces éstos y vale 0 acá tenemos la integral de producto de cos en los que cuando son distintos los enteros que multiplican pues vale 0 aquí tenemos la integral del producto de seno y coseno eso siempre valen 0 la integral del producto y cosenos eso es valen 0 cuando no se tiene la misma el mismo coeficiente digamos con el mismo valor de n que acompaña t otra vez integral del producto diseño y coseno todos estos se anulan excepto este de aquí verdad porque cuando coincide digamos el valor de n con el que ya teníamos anteriormente en esta parte amarilla pues nos quedaría coseno cuadrado de nt verdad y nosotros sabemos que la integral del coseno cuadrado de mt cuando cuando es un entero que multiplica t verdad e integramos esto nos debe dar pi cuando el entero es un entero no nulo y aquí justamente tenemos ese caso así que esto de aquí todo esto que tenemos en este integral y todo esto vale así que vamos a vamos a reescribir lo del lado derecho tendríamos a n por mi verdad porque todos los demás términos se cancelan y esto tendrá que ser igual tendrá que ser igual a lo que tenemos del lado izquierdo que es la integral de 0 a 2 pi de nuestra función efe dt ft multiplicada por el coseno de deporte y estamos integrando con respecto a t así que de aquí es muy fácil despejar quien es a n esto simplemente será 1 / pi que multiplica a la integral de 0 a 2 pi verdad a la integral de 0 a 2 pie de ft x coseno de nt y por supuesto integramos con respecto a t entonces en resumen si nosotros queremos saber quién es el coeficiente a sub n simplemente multiplicamos a la función por coseno de nt integramos de 0 a 2 pi y luego dividimos entre pi es bastante simple verdad esto es lo genial de todo este proceso así que espero que hayas disfrutado este vídeo tanto como yo