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Los coeficientes de Fourier para los términos de seno

Los coeficientes de Fourier para los términos de seno. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

hace ya muchos vídeos vislumbrábamos la idea de representar como digamos una función periódica como una suma infinita de cosenos y senos con peso verdad y también hicimos un buen trabajo desarrollando las bases digamos en términos de integrales definidas de productos de senos y cosenos bueno aquí no hay productos verdad pero tiene que ver con senos y cosenos y con estos empezamos a utilizarlos para poder hallar fórmulas de los coeficientes de nuestra serie de furia verdad entonces y en realidad ya casi tenemos todo verdad tenemos digamos la fórmula de acero y en general tenemos una fórmula para a n verdad y que tiene que ver justamente con integrales de la función periódica con cosenos muy bien entonces en este caso en este vídeo lo que vamos a hacer es digamos tratar de calcular los coeficientes que acompañan a las funciones senos muy bien entonces la pregunta es cómo podemos hacerlo y lo que vamos a hacer es una técnica muy similar a cómo lo hicimos en el vídeo anterior muy bien en donde vamos a multiplicar ambos lados pero ahora en este caso vamos a multiplicar por el seno de nt muy bien vamos a multiplicar por el seno de nt y por supuesto multiplicamos de ambos lados por el seno de nt seno de nt esto es bastante bastante lento verdad pero pero no importa al menos así nos damos una muy buena idea de que estamos haciendo y por supuesto como esto es una suma infinita de términos pues vamos a multiplicar todos y cada uno de estos términos de nuestra suma infinita muy bien entonces ya que hemos multiplicado por el seno de nt ahora lo que vamos a hacer es integrar sobre el intervalo de cero a dos pi verdad y en realidad estamos integrando en ese intervalo porque nuestra función periódica efe tiene periodo dos pi muy bien entonces lo que vamos a hacer es integrar de cero a dos pi la expresión de la izquierda y que corresponde a integrar cada uno de estos términos verdad porque la integral de una suma de términos es la suma de las integrales verdad entonces vamos a integrar cada uno de estos términos y por supuesto si te das cuenta ya de una vez estoy sacando las constantes a 0 a 1 v1 fuera de la integral verdad entonces aquí será la integral de 0 a 2 pi respecto a t verdad la integral de 0 a 2 pi respecto a t ya casi terminamos la integral de 0 a 2 pib respecto de t la integral de 0 a 2 pi con respecto a p muy bien entonces ahora ya que tenemos esta expresión de aquí lo que podemos ver es o más bien lo que vamos a hacer es utilizar nuestras propiedades que ya tenemos demostradas para empezar a cancelar términos verdad por ejemplo este primer término la integral del seno de nt pues sabemos que tiene que valer 0 verdad la integral del seno de un entero por t verdad con respecto a t y de cero a dos pies cero para cualquier entero cualquiera verdad entonces este término de aquí se hace cero muy bien ahora bien acá tenemos integrales de productos de xenón con coseno y nosotros ya sabemos que la integral del seno de cualquier entero por t por el coseno de cualquier otro entero por t con respecto a t y de cero a dos pi vale cero verdad entonces todos estos términos todos estos términos se cancelan muy bien vamos a ver qué pasa de este lado nosotros tenemos integral de cero a dos pi de productos de senos con distintos enteros verdad y nosotros ya sabemos también que la integral del seno del producto de senos con distintos enteros nos tiene que dar 0 excepto cuando tengamos el mismo entero verdad entonces y que por supuesto tiene que ser no nulo entonces todos estos se van a cancelar y lo único que nos va a quedar es justamente este término verdad porque es justo cuando n coincide con el otro pues digamos coeficiente que acompaña muy bien entonces esto en lugar de digamos integrar el seno de emt por el seno de nt en realidad lo podríamos pensar como que estamos integrando el seno al cuadrado de deporte verdad por supuesto con respecto a t y nosotros ya sabemos cuánto vale es verdad la integral del seno cuadrado de un entero por t de cero a dos pi con respecto a te vale pi siempre y cuando el entero sea no nulo es decir sea distinto de cero pero en este caso es distinto de cero así que todo esto que tenemos aquí vale pi muy bien entonces en resumen que es lo que tenemos en resumen del lado derecho todo se canceló verdad excepto el término este término que sería b n por pi vamos a poner esto tendríamos bn por pi sería igual a lo que tenemos ahora del lado izquierdo que es la integral de 0 a 2 pi de nuestra función periódica efe dt por el seno de nt y todo esto por supuesto lo integramos con respecto dt y si queremos ser más explícitos y quienes bn pues simplemente despejamos verdad bn sería uno entre pi por la integral de cero a dos pi de nuestra función efe dt por el seno tnt por el seno de nt y esto lo integramos con respecto a t muy bien entonces como te darás cuenta esto fue bastante simple una vez que ya conocemos las propiedades que habíamos denunciado antes para las integrales verdad en donde vamos a integrar productos de senos y cosenos y usando estas tres fórmulas que ya tenemos el de acero más bien la fórmula de acero la fórmula de adn y la fórmula de bn utilizando esas tres fórmulas podemos intentar hallar el desarrollo en serie de furia para la onda cuadrada