La integral del seno por el coseno

estamos en la tarea de verificar algunas relaciones matemáticas con integrales definidas de combinaciones de funciones trigonométricas para que sea directo al poder hallar los coeficientes de la serie de furia verdad y en realidad ya hemos iniciado el trayecto ya hemos visto que por ejemplo la integral de 0 a 2 pi del seno de mt dt esto es igual a 0 y lo mismo para el coseno la integral de 0 a 2 pi del coseno de mt dt es igual a 0 para cualquier m entero que sea no nulo es decir que no sea 0 verdad pero de hecho voy a generalizar lo en realidad este primer resultado es válido para cualquier m entero aún pudiendo ser 0 verdad también podría ser cero ya que seno de cero es cero y la integral de cero pues es cero verdad ahora bien este resultado de aquí abajo sí es cierto que es para cualquier m cualquier valor m entero que sea verdad no nulo porque en este caso si m vale 0 tendríamos coseno de 0 que es 1 y estaríamos integrando uno desde cero a dos y eso sería dos pi y eso por supuesto no es cero verdad entonces ahí lo tenemos vamos ahora a generar más bases para poder trabajar con las series de furia y ahora vamos a tratar de calcular la integral de cero a dos pi de un producto de xenón con coseno verdad vamos a poner el seno de me porte por el coseno de n por t de t y yo afirmo que esto vale cero para cualesquiera dos enteros y me llene verdad entonces para cualesquiera dejen de escribir bien esto cuales quiera para cualesquiera m y n enteros verdad ambos tienen que ser números enteros y en realidad no importa si son 0 pueden ser distintos pues pueden ser iguales verdad así que lo que vamos a hacer es tratar de resolver este problema reescribiendo toda esta parte de enmedio utilizando funciones perdón identidades trigonométricas muy bien que a lo mejor si no recuerdas muy bien te invito a que lo revisen en khan academy verdad entonces vamos a reescribir esto esto es la integral de 0 a 2 pi y lo que vamos a ver es que esto es igual a un medio un medio del seno del seno de m más n por t m más en el porte y le sumamos el seno de m - n por t y todo esto va multiplicando verdad todo esto sería con respecto a t que de hecho lo voy a hacer con el color de la integral que es entonces esto es desde entonces con está digamos forma de reescribir lo que teníamos arriba ahora lo que hacemos es distribuir este producto vamos a multiplicar un medio por cada una de estas dos funciones y entonces esta primera parte esta primera parte la ponemos como un medio de la integral de 0 a 2 y déjenme hacer bien es integral vamos a poner bien la integral la integral de 0 a 2 pi del seno seno de m más n por t verdad de t y luego vamos a poner esta otra parte verdad esta otra parte sería un medio de la integral de 0 a 2 y del seno de m - n que multiplica t dt muy bien y de todo esto que es lo que hay que notar bueno este número de aquí m n es un número entero verdad porque pues m y n ambos serán enteros al sumar los dos otro entero lo mismo obtenemos acá verdad m yenes son enteros entonces a la hora de restar los vuelve a darnos otro número entero y nosotros sabemos que la integral del seno de un entero por t verdad utilizando esta relación está integral nos debe dar 0 entonces esta integral de aquí es 0 esta otra integral de aquí es 0 verdad y en realidad no importa que estemos multiplicando por un medio porque un medio por 0 es 0 entonces esto de aquí nos dio 0 y con esto verificamos que la relación que habíamos puesto inicialmente verdad esta de aquí en efecto nos da 0 y ya lo hemos demostrado