La integral de sin(mt) y cos(mt)

en el último vídeo introdujimos la idea de que podemos representar funciones periódicas por una serie de senos y cosenos con pesos verdad y lo que voy a hacer ahora es justamente empezar a establecer las bases matemáticas para que sea directo el cálculo de estos coeficientes o pesos en la serie de furia y verdad entonces lo primero que quiero hacer es enfocarme en el intervalo 0 2 y verdad porque este es digamos un ciclo de nuestra función f aunque en realidad date cuenta que podríamos hacerlo en cualquier otro intervalo de longitud 2 pi y además por ejemplo si el periodo fuera otro entonces lo haríamos sobre intervalos de esa longitud verdad pero al menos así con con el intervalo 0 2 pi las cuentas son mucho más sencillas verdad así que ahora vamos a establecer algunas relaciones de integrales definidas de funciones trigonométricas y vamos a hacerlo un poquito más abajo muy bien entonces la primera que vamos a ver es que la integral de 0 de 0 a 2 pide la función seno de m t de m t de t es igual a 0 muy bien esa será la primera relación que veremos y esto será cierto para cualquier valor de m que sea un número entero entonces vamos a poner cualquier m entero y que no sea 0 verdad entonces vamos a ponerle no nulo muy bien entonces es para cualquier m entero no nulo y esta integral que vamos a calcular abajo es la integral de 0 a 2 pi del coseno de mt dt y esto también será 0 para cualquier m entero no nulo y en realidad puedes saltarte esta parte oeste vídeos y los y das por hecho estas dos estos dos resultados o si sabes cómo demostrar que en efecto valen cero pero esto es en realidad un muy buen repaso de cálculo integral así que vamos a hacerlo vamos a copiar lo aquí abajo vamos a calcular la integral de cero del seno de mt dt muy bien y lo que vamos a hacer es tratar de ver cuál es la anti derivada de esta función y en realidad lo que vamos a hacer es primero ver quién es la derivada con respecto a t del coseno de mt entonces si nosotros usamos la regla de la cadena en realidad tendríamos la derivada de m por teques m por la derivada del coseno verdad que sería menos seno de mt muy bien entonces ésta sería la derivada y esto en realidad si lo escribimos mejor sería menos m por el seno del deporte entonces si nos damos cuenta aquí necesitamos que aparezca menos m entonces para que aparezca podríamos poner menos m y también dividir entre menos m o multiplicar por menos uno entre m de esta forma no estamos cambiando el resultado de esta integral verdad entonces lo que podemos ver es que aquí ya tenemos la anti derivada del coseno de mt entonces esto será igual esto será igual a menos 1 entre m por la anti derivada de menos m seno de emt que es coseno de mt vamos a ponerlo con otro color esto es coseno de mt y está arriba irá evaluado desde 0 hasta 2 pi muy bien entonces cuánto vale esto bueno nuevamente tendremos menos 1 entre m por el coseno de 2 p por m verdad o lo que es lo mismo coseno de m por 2 - el coseno de m por 0 que es coseno de 0 verdad entonces veamos cuánto vale cada uno de estos el coste no de un múltiplo de 2 para siempre vale 1 y el coseno de 0 también vale 1 así que toda esta parte toda esta parte lo voy a poner con azulito toda esta parte vale 0 y si 0 lo multiplicamos por cualquier número entre sigue siendo 0 y así es cómo obtenemos que esté integral vale 0 como habíamos dicho en un principio vamos a hacer lo mismo o algo muy parecido con la integral del de 0 a 2 pi del coseno de mt dt muy bien y vamos a hacer algo muy similar que antes vamos a multiplicar por m aquí y dividir entre m afuera verdad entonces esto será igual a 1 entre m por la anti derivada de esta expresión verdad m por el coseno de mdt pero nosotros podemos ver que eso es la anti derivada perdón la anti derivada de esta expresión es seno de un deporte de verdad y esto irá evaluado de 0 a 2 y muy bien entonces esto será igual 1 / m que multiplica a vamos a poner lo mejor con el verde que ya teníamos que multiplica al seno de 2 pi por m menos el seno de 0 verdad entonces nuevamente el seno de un múltiplo de dos pies cero el seno de cero es cero y entonces toda esta expresión que tenemos aquí vale cero verdad que multiplicado por cualquier otra cosa sigue siendo cero y por lo tanto esta segunda relación que teníamos aquí es cierta así que esta será una buena base de donde partir ahora vamos a hacer algunas integrales un poco más complejas en los próximos vídeos para que así sea directo el encontrar coeficientes de furia con un poquito de cálculo y manipulación algebraica