Todos sabemos instintivamente que levantar algo muy pesado por encima de la cabeza de alguien representa una situación potencialmente peligrosa. El peso puede estar bien asegurado, así que no es necesariamente peligroso. Nuestra preocupación es que lo que sea que proporciona la fuerza para levantar el peso contra la gravedad pueda fallar. Para usar la terminología correcta de la física, nos preocupa la energía potencial gravitacional del peso.

Todas las fuerzas conservativas tienen energía potencial asociada. La fuerza de la gravedad no es una excepción. Por lo general, a la energía potencial gravitacional se le da el símbolo $U_g$‍, y representa el potencial que un objeto tiene para hacer trabajo como resultado de estar situado en una posición particular en un campo gravitacional.

Considera que un objeto de masa $m$‍ se levanta a una altura $h$‍ contra la fuerza de gravedad como se muestra a continuación. El objeto se levanta verticalmente mediante una polea y una cuerda, por lo que la fuerza debida a la elevación del objeto y la fuerza debida a la gravedad, $F_g$‍, son paralelas. Si $g$‍ es la magnitud de la aceleración de la gravedad, podemos encontrar el trabajo realizado por la fuerza sobre el peso al multiplicar la magnitud de la fuerza de la gravedad, $F_g$‍, por la distancia vertical, $h$‍, que ha recorrido. Suponemos que la aceleración de la gravedad es constante al lo largo de la altura $h$‍.

Si quitáramos esa fuerza, el objeto se caería al suelo y la energía potencial gravitacional se transferiría a energía cinética del objeto en movimiento. En nuestro artículo sobre la conservación de la energía incluimos algunos problemas de ejemplo que se resuelven estudiando cómo la energía potencial gravitacional se convierte en otras formas de energía.

Lo interesante de la energía potencial gravitacional es que podemos elegir el cero de manera arbitraria. En otras palabras, somos libres de elegir cualquier nivel vertical como la ubicación donde $h=0$‍. Para problemas sencillos de mecánica, un punto cero conveniente sería el piso del laboratorio o la superficie de una mesa. Sin embargo, en principio podríamos elegir cualquier punto de referencia, a veces llamado un datum. La energía potencial gravitacional incluso podría ser negativa si el objeto estuviera por debajo del punto cero. Esto no presenta un problema, pero tenemos que asegurarnos de utilizar el mismo punto cero de manera consistente en los cálculos.

Ejercicio 1a: ¿cuánta energía eléctrica utilizaría un elevador que levanta una persona de 75 kg a una altura de 50 m si el sistema del elevador tiene una eficiencia total del 25%? Supón que la masa del elevador vacío está correctamente equilibrada por un contrapeso.

Ejercicio 1b (extensión): ¿cuál es el costo del viaje en elevador suponiendo que el costo de la electricidad es $0.10{\displaystyle \frac{\mathrm{\$}}{\text{kW}\cdot \text{hr}}}$‍?

Ejercicio 2: la energía potencial gravitacional es una de las pocas formas de energía que podemos almacenar de manera práctica a gran escala. Necesitamos almacenar el exceso de energía eléctrica proveniente de fuentes como el viento y la energía solar para poder transferirla a la red eléctrica en los momentos de mayor demanda. Esto lo podemos lograr con centrales hidroeléctricas de almacenamiento reversible. La imagen de abajo muestra un ejemplo de tal sistema. Se bombea agua a un depósito superior usando el exceso de energía para poner en marcha un motor que opera una bomba de turbina. Cuando la demanda de energía es alta, se invierte el flujo. La bomba se convierte en un generador impulsado por la energía potencial gravitacional del agua en el depósito superior. Se puede soltar el agua muy rápidamente para proporcionar la máxima potencia necesaria de una ciudad entera o incluso varias ciudades.

La central hidroeléctrica de Bath County es el sistema hidroeléctrico de almacenamiento por bombeo más grande del mundo. Sirve a 60 millones de personas y tiene una capacidad de generación de alrededor de 3 GW ${}^1$‍. La diferencia de altura del sistema, $h$‍, es de 380 m. Supón que el sistema tiene una eficiencia energética general del 80%. ¿Qué volumen de agua del depósito superior debería fluir a través de la turbina en un período de 30 minutos para proveer a una ciudad con 3 GW de energía durante ese tiempo?

Si el problema involucra grandes distancias, ya no podemos suponer que el campo gravitacional es uniforme. Si recordamos la ley de gravitación de Netwon, la fuerza de atracción entre dos masas, $m_1$‍ y $m_2$‍, disminuye como el inverso de la distancia de separación, $r$‍, al cuadrado. Si $G$‍ es la constante de gravitación universal,

$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$‍.

Tratándose de energía potencial gravitacional entre grandes distancias, por lo general elegimos una ubicación de nuestro punto cero que puede parecer contraria a la intuición. Colocamos el punto cero de la energía potencial gravitacional en una distancia $r$‍ igual al infinito. Esto hace que todos los valores de la energía potencial gravitacional sean negativos.

Resulta que tiene sentido hacer esto porque cuando la distancia $r$‍ se vuelve cada vez más grande, la fuerza gravitacional tiende rápidamente a cero. Cuando estás cerca de un planeta, realmente estás atado a él por la gravedad y necesitas mucha energía para escapar. Estrictamente, habrás escapado solamente cuando $r=\mathrm{\infty }$‍, pero debido a la relación del inverso del cuadrado, podemos llegar a una asíntota donde la energía potencial gravitacional se hace casi cero. Para una nave espacial que deja atrás la Tierra, podemos decir que esto ocurre a una altura de aproximadamente $5\cdot {10}^7$‍metros sobre la superficie, que es cerca de cuatro veces el diámetro de la Tierra. A esa altura, la aceleración debida a la gravedad ha disminuido a cerca del 1% del valor que tiene en la superficie.

Si recordamos que el trabajo realizado es la fuerza por la distancia, entonces podemos ver que multiplicar la fuerza de gravedad por una distancia $r$‍ cancela el cuadrado del denominador. Si ponemos nuestro cero de energía potencial en el infinito, entonces no debería sorprenderte que la energía potencial gravitacional como función de $r$‍ sea:

Esta formulación es muy conveniente para describir los requerimientos energéticos para viajar entre diferentes cuerpos del sistema solar. Podemos imaginar que vamos a aterrizar en un planeta. Conforme nos acercamos a ese planeta, ganamos energía cinética. Como la energía se conserva, perdemos energía potencial gravitacional. En otras palabras, $U_g$‍ se hace más negativa.

Este cuadro lleva al concepto de un pozo gravitacional que necesitas "escalar" con el fin de moverte de un cuerpo planetario a otro. La imagen de abajo muestra una representación de los pozos gravitacionales de Plutón y su luna Caronte, calibrados para una nave de 1000 kg.

Ejercicio 3: con base en el diagrama que se muestra en la imagen de arriba, ¿cuánto trabajo hay que hacer contra la gravedad en un viaje que comienza en reposo sobre la superficie de Caronte y termina al llegar con velocidad cero a la superficie de Plutón?