Derivación de la fórmula de Einstein de la suma de velocidades

digamos que este de aquí soy yo muy bien y que me encuentro flotando en el espacio y voy a llamar a mi marco de referencia es verdad mi marco de referencia será ese y todo evento en este marco de referencia tendrá coordenadas x coma siete verdad como lo hemos hecho hasta este momento en todos los vídeos anteriores entonces cualquier punto en el espacio-tiempo tendrá coordenadas x 7 y digamos que tenemos digamos aquí tenemos a mi amiga verdad es mi amiga de siempre que está viajando en una nave espacial y esa nave espacial tiene una velocidad relativa de verdad con respecto a mi marco de referencia verdad y el marco de referencia para mi amiga vamos a llamarlo s prima y tendrá coordenadas x prima 7 prima vamos a introducir a un tercer personaje digamos que tenemos otro personaje que se esté moviendo en esta nave espacial y que tenga cierta velocidad y que vamos a pensar que es el cambio en la coordenada x dividido entre el cambio en t muy bien entonces con esta información veamos si podemos deducir una forma para saber cuál sería esta velocidad delta x entre delta t pero no en mi marco de referencia como se encuentra aquí sino en el marco de referencia s prima es decir el de mi amiga verdad es decir lo que nosotros queremos calcular es el cambio en x prima dividido entre el cambio en t prima muy bien entonces así sabríamos la velocidad en el marco de referencia s prima entonces en realidad esto es directo verdad vamos a vamos a tratar de hacerlo vamos a calcular el cambio en x prima verdad vamos a calcular lo primero y esto será igual a quién bueno pues será igual la gama verdad como lo hemos visto en el vídeo anterior verdad gama que multiplica al cambio en x menos beta por el cambio en 7 verdad es simplemente aplicarle la transformación del lawrence al cambio en x y al cambio en 7 muy bien entonces ahora lo que tenemos que hacer es dividir esto entre el cambio en t prima pero antes de eso tenemos que recordar quién es el cambio en sete prima verdad que era lo que nosotros pudimos calcular en el vídeo anterior verdad esto simplemente será ce veces el cambio entre prima y esto será igual a gamma o al menos como a mí me gusta siempre ponerlo será gamma que multiplica a el cambio aquí pondríamos el cambio en sete verdad pero esto es lo mismo que por el cambiante - beta que multiplica al cambio en x muy bien entonces ahora cerramos nuestro paréntesis y para conocer quién sería el cambio entre prima verdad que es justamente lo que necesitamos aquí podemos dividir en todos lados entre ser verdad podemos dividir en 13 en todos lados y así podríamos obtener el cambio en de prima verdad entonces lo que obtenemos es que el cambio entre prima será justamente gamma vamos a ponerlo aquí gamma que multiplica a c por el cambiante dividido en 13 será simplemente el cambio entre menos beta dividido en 13 por el cambio en x entonces nada más vamos a recordar quién es beta beta es la velocidad relativa dividido en 13 verdad entonces si tenemos beta en 13 será / / se cuadrada de / / se cuadrada por el cambio en x muy bien y ya podemos cerrar nuestro paréntesis entonces ya podemos usar la expresión para el cambio entre prima verdad esto simplemente nos quedaría entonces dividido entre gamma gamma que multiplica al cambio ente al cambio entre menos b sobre se cuadrada por el cambio en x muy bien entonces ahí lo tenemos esta es una forma de escribir la velocidad verdad que lleva esta nave pero en el marco de referencia s prima muy bien entonces aquí lo que podemos observar es que estas gamas se cancelan verdad simplemente se cancelan y lo que obtenemos es lo siguiente tenemos que el cambio en x prima dividido entre el k mente prima será igual al cambio en x cambio en x menos aquí podríamos poner beta que sería de dividido en 13 verdad por el cambio en 7 que esto sería c por el cambio en t verdad entonces las es se cancelan y lo que podríamos simplemente dejar sería cambio en x menos b por el cambio ente así que vamos a ponerlo así tal cual entonces tendríamos cambio en x menos b por el cambio en t verdad y esto irá dividido entre el cambio entre menos b sobre se cuadrada cambio en x muy bien entonces aquí el detalle es que nosotros no conocemos quién es el cambio ente ni tampoco sabemos quién es el cambio en x lo único que sabemos es que digamos lo único conocido es el cambio en x dividido entre el cambio ente que es nuestra velocidad entonces lo que podemos hacer en esta expresión para poder obtener esta velocidad conocida es dividir en el numerador y en el denominador entre cambio ente verdad entonces esto sería lo mismo que si dividimos en el numerador por el cambio ente y también en el denominador verdad sería justamente cómo multiplicar por 1 entre el cambiante dividido todo eso entre 1 entre el cambiante muy bien entonces esto que será igual bueno pues cambio en x / cambiante será eso en cambio en x dividido entre cambiante menos b por el cambio entre dividido entre el cambio en t simplemente nos queda b y esto va a dividido entre cambiante entre cambio en 31 menos b sobre se cuadrada por el cambio en x dividido entre el cambio en muy bien entonces esto esto es una expresión genial verdad porque podemos calcular ahora la velocidad en el sistema de referencia s prima pero en términos de la velocidad relativa v que ya teníamos verdad s desconocida está esta vez la velocidad relativa entre el sistema s prima y el sistema s y también está tenemos aquí la velocidad digamos de este de esta nave azul en mi marco de referencia verdad que de hecho es cambio en x entre cambios en t entonces como esa le llamábamos y esto será igual a 1 - b dividido entre 1 - purves sobre y cuadrada muy bien simplemente esto será un y esto será fue lo único que hemos hecho y esta fórmula es sumamente útil la cual de hecho vamos a usar en los próximos vídeos para que aprecien qué tan divertido puede llegar a ser hasta cierto nivel