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Resolver problemas de choques elásticos de la manera difícil

En este video, vemos cómo resolver problemas de choques elásticos de la manera difícil. En otras palabras, al usar la conservación del momento y de la energía cinética, Aquí sustituimos una ecuación en la otra y resolvemos para las velocidades finales. Creado por David SantoPietro.

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Transcripción del video

busque la masa de una pelota de tenis y resulta que una pelota de tenis tiene una masa de 58 gramos o de punto 0 58 kilogramos y yo me pregunto si lanzamos esta pelota de tenis hacia la derecha directo hacia esta pelota de golf y busco la masa de esta pelota de golf me encuentro que es de casi 45 gramos o puntos 0 45 kilogramos así que si lanzamos estas pelotas hacia ellas con cierta rapidez digamos que la pelota de golf se está moviendo a 50 metros por segundo y la pelota de tenis se está moviendo a 40 metros por segundo ambas pelotas van a chocar directamente entre sí las vamos a lanzar de manera que mantenga en esta dirección no quiero que por ejemplo esta pelota de golf se desvíe hacia acá así que todo va a ocurrir en una dimensión mi pregunta es si solo nos dan las velocidades iniciales y las masas podremos encontrar las velocidades finales de la pelota de tenis y la pelota de golf vamos a intentarlo por donde comenzamos cuando resolvemos un problema de colisión normal comenzamos con la conservación del momento yo sé que si es una colisión rápida el momento justo antes de que ocurra la colisión va a ser igual al momento justo después de la colisión al menos con respecto a las cantidades totales porque se cumple esto al menos por ejemplo para esta pelota de golf justo en el instante en el que está en contacto con la pelota de tenis va a ser tan pequeño que cualquier fuerza externa no va a tener oportunidad de actuar fuerzas externas como la gravedad no van a tener el tiempo suficiente de afectar o de agregarle un impulso extra a este sistema y si no tengo un impulso externo entonces el momento total justo antes de la colisión va a ser igual al momento total justo después de la colisión el momento total de nuestro sistema de la pelota de tenis y la pelota de golf se va a mantener constante y esto se cumple básicamente para cualquier colisión entre dos objetos que se mueven libremente así que podemos suponer que el momento total se va a conservar qué significa esto matemáticamente tengo en el momento que estoy representando con la letra p p y es el momento inicial y además voy a agregar sigma porque estoy hablando del momento total inicial no es el momento de un solo objeto sino el momento de todos los objetos involucrados y además voy a poner un símbolo de vector aquí arriba ya que el momento es un vector lo cual es importante ya que el momento puede ser negativo y no podemos olvidar los signos negativos aquí y si se conserva el momento entonces este momento inicial total debe ser igual al momento total final esto es a lo que nos referimos cuando decimos que se conserva el momento total recuerden que la fórmula para el momento es masa por velocidad así que el momento inicial de la pelota de tenis va a ser masa por velocidad es decir 0.58 kilogramos por su velocidad inicial que es de 40 metros por segundo y como va hacia la derecha va a ser positiva el momento inicial de la pelota de tenis también va a ser masa por velocidad 0.0 45 kilogramos su velocidad inicial que es de 50 metros por segundo a la izquierda la voy a poner con signo negativo ya que esto me indica la dirección normalmente suponemos que la dirección a la derecha es positiva y la dirección a la izquierda es negativa así pues todo esto es el momento inicial total y como el momento total se conserva esto debe ser igual al momento total final el momento final de la pelota de tenis ese 0 punto 0 58 kilogramos por su velocidad final que no sabemos y esta incógnita le voy a llamar vete te de tenis más el momento final de la pelota de golf + 0 puntos 0 45 kilogramos por su velocidad final que también desconozco entonces a esta incógnita le voy a llamar eje de mi pelota de golf esta va a ser su velocidad después de la colisión y ahora puedo encontrar los valores de la velocidad final de la pelota de tenis y la velocidad final de la pelota de golf pues no no puedo porque tengo una ecuación y dos incógnitas en otras palabras puedo calcular el valor de este lado izquierdo de la ecuación todo esto me queda 0.07 kilogramos metros por segundo como el momento total inicial pero esto va a ser igual a dos incógnitas entonces necesito un pedazo más de información para poder resolver esto por ejemplo si yo conociera alguna de estas velocidades finales desconocidas podría fácilmente encontrar la segunda por ejemplo si el problema me diera como dato la velocidad final de la pelota de tenis pues yo podría encontrar sin ningún problema el valor final de la pelota de golf o quizá el problema podría decirnos qué tipo de colisión es si nos dijera que estos dos objetos se quedan pegados yo podría saber que se mueven juntos la cual sería una colisión perfectamente inelástica y si este fuera el caso yo aquí tendría una gran masa total la masa de la pelota de tenis más la masa de la pelota de golf esto sería una gran masa ya que ambos quedarían juntos si tuviéramos una colisión perfectamente inelástica y esto sería multiplicado a una sola velocidad final ya que ambos estarían moviendo a la misma velocidad tomaría este 0.07 y lo dividiría entre la masa total y encontraría la velocidad final total y encontraría la velocidad final de ambas pelotas combinadas pero esto es muy poco probable estas pelotas no van a permanecer juntas no se juntarán la pelota de tenis ni la pelota de golf a menos que aquí tuviéramos algún tipo de pegamento de otra forma no creo que estas puedan permanecer juntas así que vamos a suponer que esto no ocurre sin embargo si nos dijeran que estas dos masas se quedan juntas después de la colisión de esta forma podríamos resolver el problema pero en este caso con la pelota de tenis y la pelota de golf es más probable que sea una colisión elástica y recuerden que elástico significa que la energía cinética total en esta colisión va a permanecer constante o se va a conservar es decir no vamos a perder energía cinética vamos a perder ni en energía térmica ni en sonido y resulta que si nos dijeran que esta es una colisión elástica sería suficiente para poder encontrar estas dos incógnitas y la razón es que esto implica que se conserva la energía cinética y podemos usar esto para nuestra ventaja ya que no sólo sabemos que se está conservando el momento sino que si la colisión es elástica también se va a conservar la energía cinética así que la energía cinética total inicial tiene que ser igual a la energía cinética total final y recuerden que la energía cinética es igual a un medio de la masa por la velocidad al cuadrado así que puedo decir que un medio de 0.58 kilogramos por 40 metros por segundo al cuadrado esto es la masa y velocidad inicial de la pelota de tenis y aquí nunca olvidemos que es al cuadrado a esto le sumó la energía cinética inicial de la pelota de golf es un medio por 0.45 kilogramos que es la masa de esta pelota de golf por su velocidad inicial que es de 50 metros por segundo lo elevamos al cuadrado y esta cantidad la pongo positiva porque de todas maneras la voy a elevar al cuadrado esta es la rapidez de la energía cinética aquí no importa la dirección aunque en el momento si importa ya que aquí estamos hablando de vectores pero con la energía cinética como lo estamos elevando al cuadrado y de por sí el energía cinética es un escalar no puede ser negativa y no va a importar si usamos el signo aquí o no se va a eliminar cuando elevemos esto al cuadrado y esta energía cinética total inicial debe ser igual a la energía cinética total final por lo que puedo decir que toda esta cantidad inicial debe ser igual a la energía cinética final de la pelota de tenis que es un medio por 0 punto 0 58 kilogramos por la velocidad final de esta pelota al cuadrado a esto le agregamos la energía cinética final de la pelota de golf que es de un medio por cero punto 0 45 kilogramos de g al cuadrado y ustedes me pueden decir a ver cómo es que esto me va a ayudar ahora tenemos estas variables al cuadrado esto luce horrible pero ahora créanme que si podemos resolver esto pues tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas y estas dos incógnitas aquí son las mismas que estas dos incógnitas de acá cuando tenemos esto despejamos la incógnita en una de las ecuaciones y las sustituimos en la otra ecuación y así nos quedara una ecuación con una incógnita en otras palabras déjenme mostrarles esto vamos a calcular este lado derecho es el lado izquierdo que se que está aquí arriba y me queda 102 puntos 65 jules de energía cinética inicial total pero seguimos teniendo estas dos incógnitas en esta ecuación ahora me paso a esta ecuación acá y voy a despejar bg si despejo vejez voy a restar 0 punto 0 58 vete en ambos lados de la igualdad y esto va a ser igual a cero punto 0 45 mg dividido a ambos lados en 30 puntos 0 45 y me queda 0.07 en 30 puntos 0 45 es 1.56 y aquí punto 0 58 entre punto 0 45 es menos 1 punto 29 esto está multiplicado por 20 y esto es igual a bg y mi velocidad final de la pelota de golf es igual a esta expresión de aquí tomamos esta expresión que es igual a bg y la vamos a sustituir en la otra ecuación lo que me da un medio de 0.0 45 kilogramos por 1.56 menos 1.29 vete todo esto al cuadrado ya que tenemos esta vejez al cuadrado solamente estamos sustituyendo esta expresión de vejez aquí en esta vejez al cuadrado que aún tenemos que multiplicar por este un medio y este punto 0 45 y además tenemos toda esta otra parte tenemos 102 puntos 65 jules y y un medio por punto 0 58 kilogramos vete al cuadrado más esta expresión de aquí y sería un poco desordenado pero ahora ya tengo una ecuación con una sola incógnita ya que aquí solamente tenemos vete haciendo los cálculos nos queda que 102 puntos 65 jules es igual a punto 0 58 entre 2 es cero puntos 0 29 vete al cuadrado no voy a estar poniendo las unidades porque se me va a complicar un poco más escribirlo y si dividido 0.0 45 entre 2 me queda punto 0 225 y ahora tengo que elevar al cuadrado esta expresión y si ustedes recuerdan cuando tienen una expresión de a menos b al cuadrado nos queda al cuadrado que es 1.56 al cuadrado menos 2 por a a 1.56 por b o la cantidad del segundo término que es 1.29 y le sumamos el segundo elemento al cuadrado que es 1.29 al cuadrado por la velocidad final de la pelota de tenis al cuadrado lo que estoy haciendo aquí es que si ustedes tienen a menos b todo esto elevado al cuadrado esto va a ser igual a al cuadrado menos 2 por a o por b más b al cuadrado esto es lo que hicimos acá esta es mía y aquí está mía al cuadrado y tenemos este menos 2 por el primer término 1.56 pone el segundo término que es 1.29 bt y al final le sumamos b al cuadrado o 1.29 al cuadrado por bt al cuadrado y ahora tenemos un desastre vamos a tratar de poner un poco de orden aquí el lado izquierdo sigue siendo 102 puntos 65 jules y sigo teniendo este 0 puntos 0 29 vete al cuadrado pero ahora necesito multiplicar este punto 0 225 por todo esto de aquí diego esto me queda 0.05 48 que es la multiplicación de puntos 0 25 x 1.56 al cuadrado y ahora tengo menos 0.09 06 vete qué es la multiplicación de puntos 025 por toda esta cantidad de aquí y finalmente me queda punto cero 374 por bt al cuadrado esto es la multiplicación de puntos 0 25 por esta cantidad de acá vamos a encontrar nuestras veces aquí tengo una vete y aquí tengo una vete al cuadrado así que puedo combinar este término que tiene 20 al cuadrado con este otro término que también tiene a vete al cuadrado y me queda que es igual a punto 0 66 vete al cuadrado menos punto 0 906 vete más puntos 0 5 4 8 y les prometo que ya nos estamos acercando al final restamos este 102 puntos 65 de ambos lados de la igualdad por lo que nos da 0 igual a toda esta cantidad y punto 0 5 48 menos 102 puntos 65 lo que nos da menos 102 puntos 59 5 y esto que tenemos aquí es la eco cuadrática esto quiere decir que no vamos a poder despejar la vete dejándola en un solo lado nunca va a funcionar aquí tenemos que usar la fórmula cuadrática en nuestra fórmula cuadrática este término de punto 066 va a ser a y este menos punto 0 906 va a ser b y finalmente este menos ciento 2.595 va a hacerse y ustedes pueden calcular esto a mano o usar una aplicación para resolver ecuaciones cuadráticas estas aplicaciones las pueden encontrar en línea o incluso en su calculadora y es lo que yo voy a hacer voy a usar la aplicación de mi calculadora y las dos respuestas que obtengo de esto es vete igual a 40 metros por segundo como una de las respuestas y obtengo menos 39 metros por segundo y cuál será la correcta 40 o menos 39 podemos darnos cuenta de cuál es la respuesta correcta por ejemplo si vemos esta vez de igual a 40 pues es la velocidad inicial de esta pelota es la velocidad que ya tenía así que esta otra será la velocidad final y cómo es que encontramos la velocidad inicial aquí pues resulta que una forma de conservar el momento y la energía es que estos objetos no se toquen para nada si la pelota de golf no colisionará con la pelota de tenis simplemente continuará con su trayectoria ambas mantendrían su velocidad inicial lo cual corresponde a esto esta es una colisión que no ocurre así que sabemos que esta colisión no nos interesa estamos buscando esta velocidad de acá después de la colisión esta pelota de tenis va en sentido contrario con una velocidad de menos 39 metros por segundo y ahora como encontramos la velocidad de la pelota de golf después de la colisión pues ya que tengo la velocidad de la pelota de tenis voy a sustituirla en esta otra ecuación y así encontraré la velocidad de la pelota de golf ahora mi velocidad de la pelota de golf va a ser 1 punto 56 - 1.29 que multiplica a la velocidad de la pelota de tenis fue de -39 aquí tengo 52 metros por segundo positivo esta es la velocidad de la pelota de golf después de la colisión lo que quiere decir que esta pelota después de la colisión fue hacia la derecha ya que es una velocidad positiva y rebotó con una velocidad de 52 metros por segundo en resumen lo que hacemos cuando nos dan las velocidades iniciales y las masas tratamos de usar la conservación del momento lo cual estuvo bien a excepción de que nos quedamos con dos incógnitas por lo que tuvimos que escribir otra ecuación con estas dos incógnitas y pudimos hacerlo ya que nos indicaron que esta colisión es elástica por lo que sabemos que la energía cinética total se conserva escribimos esa ecuación y también nos quedamos con dos incógnitas así que despejamos la ecuación del momento para una de las incógnitas y la sustituimos en la otra ecuación la reemplazamos en la vejez de esta ecuación de la energía cinética la elevamos al cuadrado y nos quedamos con una ecuación y una pero desafortunadamente nos dio una ecuación cuadrática así que tuvimos que usar la fórmula cuadrática para resolverla y de los dos resultados uno de ellos corresponde a la velocidad inicial del objeto lo cual no es el dato que nos interesa ya que significaría que no ocurrió ninguna colisión tomamos el segundo resultado y lo usamos para encontrar la velocidad del otro objeto este valor lo sustituimos en esta expresión y así obtenemos la velocidad final del otro objeto